7.1.1 第1课时 条件概率的概念与计算-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教A版)

该教案聚焦条件概率的概念与计算，通过抛掷硬币两次的问题导入，先回顾古典概型样本空间，再提出“第一次正面条件下第二次正面概率”的情境，搭建新旧知识联系的学习支架。 以问题链驱动概念抽象，结合动物存活、产品检验等实例培养数学抽象，分题型例题（定义计算、缩小样本空间）强化数学运算，帮助学生用数学语言表达现实问题，提升思维与运算能力，为教师提供结构化教学资源，提高课堂效率。

第七章　随机变量及其分布 7.1　条件概率与全概率公式 7.1.1　条件概率 第1课时　条件概率的概念与计算 新课程标准解读 核心素养 1.结合古典概型，了解条件概率的概念 数学抽象、数学运算 2.能计算简单随机事件的条件概率 数学抽象、数学运算 　　同学们，我们已经知道：抛掷一枚质地均匀的硬币两次，其试验结果的样本点组成样本空间Ω＝{正正，正反，反正，反反}. 【问题】　（1）两次都是正面向上的事件记为B，P（B）是多少？ （2）在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　条件概率的概念 条件 设A，B为两个随机事件，且P（A）＞0 含义 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 公式 P（B｜A）＝　　 读作 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 提醒　P（B｜A）与P（A｜B）意义不同，由条件概率的定义可知P（B｜A）表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率；而P（A｜B）表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在事件A发生的条件下，事件B发生的概率等于A，B同时发生的概率.（　×　） （2）P（B｜A）＝可能成立.（　√　） （3）若事件A，B满足A⊆B，则P（B｜A）＝1.（　√　） 2.已知A与B是两个事件，P（B）＝，P（AB）＝，则P（A｜B）＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：D　由条件概率的计算公式，可得P（A｜B）＝＝＝. 3.已知某种动物由出生算起活到60岁的概率是0.8，活到65岁的概率是0.6，则一头60岁的该种动物活到65岁的概率是　0.75　. 解析：记事件A为活到60岁，事件B为活到65岁，则P（A）＝0.8，P（AB）＝0.6，所以P（B｜A）＝＝＝0.75. 题型一 条件概率的理解 【例1】　判断下列几种概率哪些是条件概率？ （1）某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高一的女生获得冠军的概率； （2）掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率； （3）在一副扑克的52张（去掉两张王牌后）中任取1张，已知抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率. 解：（1）由于求高一的女生获得冠军的概率是在一名女生获得冠军的条件下求出的概率，所以所求概率是条件概率. （2）掷一个骰子出现有1，2，3，4，5，6的6个不同结果，求掷出的点数为3的概率是古典概型概率，所以掷出的点数为3的概率不是条件概率. （3）由于求抽到梅花5的概率是在抽到梅花的条件下求出的概率，所以求抽到的是梅花5的概率是条件概率. 通性通法 条件概率概念的理解 　　判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的. 【跟踪训练】 　下面几种概率是条件概率的是（　　） A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率 B.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，在甲投中的条件下乙投中的概率 C.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学路上遇到红灯的概率 解析：B　由条件概率的定义知B选项中的概率为条件概率，A、C、D中的不是条件概率.故选B. 题型二 利用定义求条件概率 【例2】　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： （1）第1次抽到舞蹈节目的概率； （2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； （3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率. 解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB. （1）从6个节目中不放回地依次抽取2个，试验的样本空间Ω包含的样本点数n（Ω）＝＝30. 根据分步乘法计数原理，得n（A）＝＝20， 所以P（A）＝＝＝. （2）因为n（AB）＝＝12，所以P（AB）＝＝＝. （3）由（1）（2），得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P（B｜A）＝＝＝. 【母题探究】 （变设问）本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率. 解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC. P（A）＝，P（AC）＝， ∴P（C｜A）＝＝. 通性通法 利用定义计算条件概率的步骤 （1）分别计算概率P（AB）和P（A）； （2）将它们相除得到条件概率P（B｜A）＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生. 【跟踪训练】 1.已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（　　） A.22.5%　 B.30% C.40%　 D.75% 解析：C　设事件A为“抽到喜欢文学阅读的学生”，设事件B为“抽到喜欢科普阅读的学生”，则P（A）＝0.75，P（AB）＝0.3，则P（B｜A）＝＝＝0.4，即在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为40%.故选C. 2.抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，则P（B｜A）＝　　；P（A｜B）＝　　. 解析：抛掷红、蓝两颗骰子，样本空间共有6×6＝36个等可能的样本点，其中事件A包含的样本点的个数为6×2＝12，所以P（A）＝＝；事件B包含的样本点为（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）共10个，所以P（B）＝＝；事件AB包含的样本点为（3，6），（4，6），（5，4），（5，6），（6，4），（6，6）共6个，故P（AB）＝＝；由条件概率公式得：P（B｜A）＝＝＝；P（A｜B）＝＝＝. 题型三 缩小样本空间求条件概率 【例3】　某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名.现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲.假设事件A为“选取的两名学生性别相同”，事件B为“选取的两名学生为男生”，则P（B｜A）＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：D　由题意得，事件A包含的样本点数n（A）＝＋＝9，事件AB包含的样本点数n（AB）＝＝6，所以P（B｜A）＝＝＝.故选D. 通性通法 缩小样本空间求条件概率的步骤 （1）缩：将原来样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB； （2）数：数出A中事件AB所包含的样本点； （3）算：利用P（B｜A）＝求得结果. 【跟踪训练】 1.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M＝“两次所得点数均为奇数”，N＝“至少有一次点数是3”，则P（N｜M）＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：B　事件M＝“两次所得点数均为奇数”，则事件M包含的样本点有（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5），故n（M）＝9；N＝“至少有一次点数是3”，则事件MN包含的样本点有（1，3），（3，1），（3，3），（3，5），（5，3），故n（MN）＝5，所以P（N｜M）＝. 2.甲、乙和另外5位同学站成两排拍照，前排3人，后排4人.若每个人都随机站队，且前后排不认为相邻，则在甲、乙站在同一排的条件下，两人不相邻的概率为（　　） A.　　　 B.　　C.　　　 D. 解析：B　记事件A＝“甲与乙站在同一排”，事件B＝“甲与乙不相邻”，则n（A）＝＋，n（AB）＝＋3.由条件概率公式，得P（B｜A）＝＝. 1.已知P（AB）＝0.6，P（B｜A）＝0.8，则P（A）＝（　　） A.0.75　 B.0.6 C.0.48　 D.0.2 解析：A　由条件概率的公式P（B｜A）＝，得0.8＝，解得P（A）＝0.75. 2.设A，B为两个事件，若事件A和事件B同时发生的概率为，在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为，则事件B发生的概率为（　　） A.　 B. C.　 D.1 解析：C　因为P（A｜B）＝，而P（AB）＝，P（A｜B）＝，所以P（B）＝＝＝. 3.掷一个均匀的骰子.记A为“掷得点数大于等于2”，B为“掷得点数为奇数”，则P（B｜A）＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：D　事件A有下列可能：2，3，4，5，6，共5种；在事件A条件下满足B条件有：3，5共2种，所以P（B｜A）＝. 4.在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为　　. 解析：设事件A＝“第1次抽到代数题”，事件B＝“第2次抽到几何题”，则P（A）＝，P（AB）＝＝，所以P（B｜A）＝＝＝. 1.已知事件A，B满足P（A）＝0.7，P（AB）＝0.42，则P（B｜A）＝（　　） A.0.7　 B.0.42 C.0.5　 D.0.6 解析：D　P（B｜A）＝＝＝0.6. 2.根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.02.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为（　　） A.0.08　 B.0.02 C.0.25　 D.0.4 解析：A　设发生中度雾霾为事件A，刮四级以上大风为事件B，所以P（A）＝0.25，P（B）＝0.4，P（AB）＝0.02，P（B｜A）＝＝＝0.08. 3.在单词“warbarrier”中不放回地任取2个字母，则在第一次取到“a”的条件下，第二次取到“r”的概率为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：B　在第一次取到“a”的条件下，还剩余9个字母，其中“r”有4个，故所求概率为. 4.盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球，10个是F型玻璃球.E型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的.现从中任取1个，已知取到的是蓝球，则该球是E型玻璃球的概率为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：B　法一　设取到的球是蓝球为事件A，取到的球是E型玻璃球为事件B，则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，∴P（B｜A）＝＝＝. 法二　设取到的球是蓝球为事件A，取到的球是E型玻璃球为事件B，∵n（A）＝7＋4＝11，n（AB）＝4，∴P（B｜A）＝＝.故取到的是蓝球，该球是E型玻璃球的概率是. 5.逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究.据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两不诱发这种疾病的概率为（　　） A.　　　 B.　　　　C.　　　 D. 解析：A　记事件A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，事件B：这人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病，则B⊆A，P（A）＝1－0.04＝0.96，P（AB）＝P（B）＝1－0.16＝0.84，所以P（B｜A）＝＝＝＝. 6.（多选）某校高二（1）班有学生40人，其中共青团员15人.全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人.从该班任选一人作为学生代表，下列说法正确的是（　　） A.选到的是第一组的学生的概率为 B.选到的是第一组的学生的概率为 C.已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率为 D.已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率为 解析：BD　设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”，由题意，P（A）＝＝，故选项A错误，选项B正确；要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P（A｜B），在事件B发生的条件下（即已所选到的学生是共青团员为前提），有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择，因此P（A｜B）＝，故选项C错误，选项D正确. 7.已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且P（A）＝，P（B）＝，P（A｜B）＝，则P（B｜A）＝　　. 解析：∵P（A｜B）＝＝＝，∴P（AB）＝，∴P（B｜A）＝＝＝. 8.在某学习软件中，小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为.事件A表示小明第一关闯关成功，事件B表示小明第二关闯关成功，则P（B｜A）＝　　. 解析：由题意，得P（A）＝，P（AB）＝，所以P（B｜A）＝＝＝. 9.连续抛掷一枚质地均匀的骰子3次，观察向上的点数.在第1次出现奇数的条件下，3次出现的点数之积为偶数的概率为　　. 解析：设第一次出现奇数为事件A，3次出现的点数之积为偶数为事件B，则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，所以P（B｜A）＝＝＝. 10.某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动. （1）求男生甲被选中的概率； （2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； （3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率. 解：（1）从7名成员中挑选2名成员，共有＝21种情况， 记“男生甲被选中”为事件A，事件A所包含的样本点个数为， 故P（A）＝＝. （2）记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B， 由（1），P（AB）＝，且P（A）＝， 故P（B｜A）＝＝＝. （3）记“挑选的2人一男一女”为事件C，事件C所包含的样本点个数为×＝12， 由（1），则P（C）＝＝，“女生乙被选中”为事件B，则P（BC）＝＝， 故P（B｜C）＝＝＝. 11.甲、乙、丙三人报考A，B，C三所大学，每人限报一所，设事件A为“三人报考的大学均不相同”，事件B为“甲报考的大学与其他两人均不相同”，则P（A｜B）＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：D　每人报考大学有3种选择，故总的报考方法共有33＝27（种），三人报考的大学均不相同的报考方法有＝6（种），故P（AB）＝＝，甲报考的大学与其他两人均不相同的报考方法有＝12（种），故P（B）＝＝，所以P（A｜B）＝＝＝. 12.（多选）盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个正品1个次品.依次不放回取出两个球，记事件Ai＝“第i次取球，取到白球”，事件Bi＝“第i次取球，取到正品”，i＝1，2.则下列结论正确的是（　　） A.P（A1｜B1）＝　 B.P（B2）＝ C.P（A2B1）＝　 D.P（B2｜A1）＝ 解析：AD　对A，P（B1）＝＝，P（A1B1）＝＝，所以P（A1｜B1）＝＝，故A正确；对B，事件B2＝“第2次取球，取到正品”，P（B2）＝＝，故B错误；对C，事件A2B1＝“第1次取球，取到正品且第2次取球，取到白球”，包括（正白，正白），（正白，次白），（正黄，正白），（正黄，次白），共有6×5＋6×2＋3×6＋3×2＝66种情况，P（A2B1）＝＝，故C错误；对D，事件A1B2＝“第1次取球，取到白球且第2次取球，取到正品”，包括（白正，白正），（白正，黄正），（白次，白正），（白次，黄正），共有6×5＋6×3＋2×6＋2×3＝66种情况，P（A1B2）＝＝，又因为P（A1）＝＝，所以P（B2｜A1）＝＝，故D正确. 13.如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是，，，已知在系统正常工作的前提下，求只有K和A1正常工作的概率是　　. 解析：设事件A为系统正常工作，事件B为只有K和A1正常工作，因为并联元件A1或A2能正常工作的概率为1－（1－）×（1－）＝，所以P（A）＝×＝，又因为P（AB）＝P（B）＝××（1－）＝，所以P（B｜A）＝＝. 14.一袋中共有10个大小相同的黑球和白球.若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为. （1）求白球的个数； （2）现从中不放回地取球，每次取1球，取两次，已知第二次取得白球，求第一次取得黑球的概率. 解：（1）设白球的个数为a，则黑球个数为10－a， ∵从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为. ∴P＝1－＝，解得a＝5， ∴白球的个数为5. （2）记“第二次取到白球”为事件A，“第1次取到黑球”为事件B， 则P（A）＝×＋×＝，P（AB）＝×＝， ∴第2次取得白球时第1次取得黑球的概率为 P（B｜A）＝＝＝. 15.春季是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里患鼻炎的概率是，患感冒的概率是，鼻炎和感冒均未患的概率是，则此人在患鼻炎的条件下患感冒的概率为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：B　设“此人在春季里患鼻炎”为事件A，“此人在春季里患感冒”为事件B，则P（A）＝，P（B）＝，P（A∪B）＝1－＝，由P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB），可得P（AB）＝P（A）＋P（B）－P（A∪B）＝＋－＝，则此人在患鼻炎的条件下患感冒的概率为P（B｜A）＝＝＝. 16.某单位入口处有一台摄像机用于记录进入该入口的人员.下面是在系统测试中对不同气候条件下检测到的人数与未检测到的人数的统计表： 晴天 阴天 雨天 下雪 刮风 检测到的人数 21 228 226 7 185 未检测到的人数 0 6 6 3 10 合计 21 234 232 10 195 （1）在阴天条件下，摄像机检测到进入者的概率是多少？ （2）已知摄像机漏检了一个进入者，气候条件是下雪天的概率是多少？ 解：（1）阴天条件下检测到的人数为228，未检测到的人数为6，故阴天条件下，摄像机检测到进入者的概率为P1＝＝. （2）设摄像机漏检了一个进入者为事件A，气候条件是下雪天为事件B， 根据表格数据可得P（A）＝＋＋＋＋＝， 则摄像机漏检了一个进入者，气候条件是下雪天的概率为P（B｜A）＝＝＝. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $