数学探究 杨辉三角的性质与应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教A版)

该教案聚焦杨辉三角的性质与应用，从二项式展开式系数入手，结合图形观察引导学生通过圈、连、算等活动发现对称性、递归性等规律，构建从具体到抽象的知识支架。 以探究式学习为主线，融合数学眼光（观察图形规律）、数学思维（猜想与证明）、数学语言（问题解决表达），如性质探究中通过递归性推导培养推理能力，应用例题提升问题解决能力，助力学生发展创新意识，帮助教师高效落实核心素养教学。

数学探究　杨辉三角的性质与应用 一、杨辉三角性质的探究 1.结合杨辉三角与二项式（a＋b）n的展开式的二项式系数如图①，发现有如下规律： 且具有如下性质： （1）第n行的n＋1个数是二项式（a＋b）n的展开式的系数； （2）当行数n为偶数时，最大； （3）当行数n为奇数时，和最大. 2.对杨辉三角中的数从不同视角采用圈一圈、连一连、算一算等方法，结合数学探究中的猜想、实验、证明等手段得到各数字之间存在如下性质： （1）对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即＝，如图②； （2）递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即＝＋； （3）第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即＋＋＋…＝＋＋＋…，如图③； （4）第n行数的和为2n，即＋＋＋…＋＝2n，如图④； （5）第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即（）2＋（）2＋（）2＋…＋（）2＝，如图⑤； （6）自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，即＋＋＋…＋＝，如图⑥. 二、杨辉三角性质的应用 【例】　如图称为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是我国古代数学伟大成就之一. 杨辉三角中，我们称最上面一行为第0行，第1行有2个数，第2行有3个数，…，第10行有11个数. （1）求杨辉三角中第10行的各数之和； （2）求杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和. 解：（1）杨辉三角中第10行的各数之和为＋＋＋…＋＝210＝1 024. （2）杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为 ＋＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋ ＝…＝＋＝＝＝560. 通性通法 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 【跟踪训练】 1.在杨辉三角中，除每行两边的数都是1外，其余每一个数都是它“肩上”两个数的和，它的开头几行如图所示，那么在杨辉三角中出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5的行数为（　　） 　　第0行　　　　　　　1 　　第1行　　　　　　1　 1 　　第2行　　　　　1　2　1 　　第3行　　　　1　 3　 3　 1 　　第4行　　　1　 4　6　 4　 1 　　第5行　　1　 5　10　10　5　 1 　　　︙　　　　　 　　　︙ A.58　 B.62 C.63　 D.64 解析：B　根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，使得连续三项，，满足＝且＝，化简得＝且＝，解得k＝27，n＝62，故第62行会出现满足条件的三个相邻的数. 2.我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项式系数的规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，记作数列{an}，则a14＝　4　；若数列{an}的前n项和为Sn，则S67＝　2 048　. 解析：由题意可得a14＝4.由杨辉三角可知，行数与该行的项数相等，则第k行最后一项在数列{an}中的项数为.设a67位于第k（k∈N*）行，则＜67≤，解得k＝12，且第11行最后一项在数列{an}中的项数为＝66，∴a67位于杨辉三角的第12行第1个，而第一行各项的和为20＝1，第二行各项的和为21＝2，第三行各项的和为22＝4，依此类推，第k行各项的和为2k－1，∴S67＝（20＋21＋22＋…＋210）＋＝＋1＝211＝2 048. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $