6.3.2 二项式系数的性质-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教A版)

该教案聚焦二项式系数的性质这一核心知识点，以杨辉三角为课堂导入，结合我国古代数学成就引导学生观察数字规律，衔接二项式定理，通过问题驱动梳理对称性、增减性与最大值、系数和等性质，搭建知识支架。 资料以新课标为导向，融合逻辑推理与数学运算核心素养，设置分层题型与母题探究，如通过赋值法求系数和、待定系数法找最大项，帮助学生深化理解，提升解决问题能力，教师易上手，有效提高课堂效率。

6.3.2　二项式系数的性质 新课程标准解读 核心素养 1.了解杨辉三角各行数字特点，归纳二项式系数间的关系 逻辑推理 2.理解二项式系数的性质并解决与二项展开式有关的问题 数学运算 　　我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释（a＋b）n的展开式的各项系数. 【问题】　观察上图，你能借助二项式系数的性质分析上图中的数吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　二项式系数的性质 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由　＝　得到.直线　r＝　将函数f（r）C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. 2.增减性与最大值 （1）当k＜时，随k的增加而　增大　；由对称性知，二项式系数的后半部分随k的增加而　减小　； （2）当n是偶数时，中间的一项　　取得最大值；当n是奇数时，中间的两项　　与　　相等，且同时取得最大值. 3.各二项式系数的和 （1）＋＋＋…＋＝　2n　； （2）＋＋＋…＝＋＋＋…＝　2n－1　. 【想一想】 　二项展开式中系数最大项就是二项式系数的最大项，对吗？ 提示：不对. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）二项展开式中各项系数和等于二项式系数和.（　×　） （2）二项展开式的二项式系数和为＋＋…＋.（　×　） （3）＋＋＋＝28－1.（　√　） 2.在（x＋y）n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则n＝（　　） A.4　 B.6 C.8　 D.10 答案：D 3.（1＋x）n（n∈N*）的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝（　　） A.7　 B.8 C.10　 D.11 答案：C 4.（2x－1）6展开式中各项系数的和为　1　；各项的二项式系数的和为　64　. 解析：令x＝1，得各项系数和为1；各二项式系数之和为26＝64. 题型一 各二项式系数的和 【例1】　已知（1＋2x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（　　） A.512　 B.210 C.211　 D.212 解析：A　∵（1＋2x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，∴＝，解得n＝10，各二项式系数之和为210，∵奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等，∴（1＋2x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝29＝512. 通性通法 　　（a＋b）n的展开式中各二项式系数的和为2n，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和等于2n－1. 【跟踪训练】 已知（x－my）n的展开式中二项式系数之和为64，x3y3的系数为－160，求实数m的值. 解：由题意得，2n＝64，解得n＝6， 而（x－my）6的通项公式为Tk＋1＝x6－k·（－my）k，0≤k≤6，k∈N， 所以x3y3的系数为（－m）3＝－160， 解得m＝2. 题型二 二项展开式的各项系数的和 【例2】　已知（2x－1）5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值. （1）a0＋a1＋a2＋…＋a5； （2）｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜； （3）a1＋a3＋a5. 解：（1）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1. （2）令x＝－1，得（－3）5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5. 由（2x－1）5的通项Tr＋1＝（－1）r×25－rx5－r知a1，a3，a5为负值， 所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243. （3）由（1）（2）得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝（－3）5， 两式相加得2（a1＋a3＋a5）＝1－35， 所以a1＋a3＋a5＝＝－121. 【母题探究】 　（变设问）在本例条件下，求下列各式的值： （1）a1＋a2＋a3＋a4＋a5； （2）5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4. 解：（1）因为a0是（2x－1）5展开式中x5的系数， 所以a0＝25·（－1）0＝32. 又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31. （2）因为（2x－1）5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，所以两边求导数，得10（2x－1）4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4. 令x＝1，得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10. 通性通法 二项展开式的各项系数的和的求法 （1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可； （2）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f（1）， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 【跟踪训练】 　设（2－x）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值： （1）a0； （2）a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100； （3）a1＋a3＋a5＋…＋a99； （4）（a0＋a2＋…＋a100）2－（a1＋a3＋…＋a99）2. 解：（1）令x＝0，则a0＝2100. （2）令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝（2－）100，　① 故a1＋a2＋…＋a100＝（2－）100－2100. （3）令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝（2＋）100.　② ①②联立可得a1＋a3＋…＋a99＝. （4）原式＝[（a0＋a2＋…＋a100）＋（a1＋a3＋…＋a99）][（a0＋a2＋…＋a100）－（a1＋a3＋…＋a99）]＝（a0＋a1＋a2＋…＋a100）·（a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100）＝[（2－）（2＋）]100＝1100＝1. 题型三 二项式系数性质的应用 【例3】　已知（＋2x）n的展开式前三项的二项式系数的和等于37，求： （1）展开式中二项式系数最大的项的系数； （2）展开式中系数最大的项. 解：（1）由（＋2x）n的展开式前三项的二项式系数的和等于37，即＋＋＝37，解得n＝8，即二项式为（＋2x）8， 所以展开式中第5项的二项式系数最大，T5＝（）4×24x4＝x4， 所以展开式中二项式系数最大的项的系数为. （2）设二项展开式的第r＋1项的系数最大， 则 解得7≤r≤8，所以展开式中系数最大的项为第8项或第9项， 即T8＝（）1×27x7＝28x7，T9＝（）0×28x8＝28x8. 通性通法 1.二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对（a＋b）n中的n进行讨论： （1）当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大； （2）当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 2.展开式中系数最大的项的求法 求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数最大的项. 【跟踪训练】 1.（多选）已知（x－）9，则该展开式中二项式系数最大的项可以是（　　） A.第4项　 B.第5项 C.第6项　 D.第7项 解析：BC　由题意知，展开式中二项式系数最大为和，故二项式系数最大的项是第5项和第6项. 2.已知（＋）n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项. 解：由题意可知＋1＝6，解得n＝10，故展开式的通项为Tr＋1＝2r. 设第r＋1项的系数最大， 则即 解得≤r≤. ∵r∈N，∴r＝7， ∴展开式中的系数最大的项为T8＝27＝15 360. 1.观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是（　　） 1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　a　4　1 1　5　10　10　5　1 A.8　 B.6 C.4　 D.2 解析：B　由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6. 2.二项式（x－1）n的展开式中奇数项的二项式系数和是64，则n＝（　　） A.5　 B.6 C.7　 D.8 解析：C　二项式（a＋b）n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，∴2n－1＝64，∴n＝7.故选C. 3.在（2－3x）15的展开式中，二项式系数的最大值为（　　） A.　 B. C.－　 D.－ 解析：B　（2－3x）15的展开式中共有16项，中间的两项为第8项和第9项，这两项的二项式系数相等且最大，为＝，故选B. 4.已知二项式（1－x）8，求： （1）展开式中二项式系数最大的项； （2）展开式中系数最小的项. 解：（1）因为（1－x）8的展开式中共有9项，所以中间一项（第5项）的二项式系数最大，所以展开式中二项式系数最大的项为（－x）4＝70x4. （2）二项展开式中系数的最小值应在各负项中确定.由题意知第4项和第6项系数相等且最小，T4＝（－x）3＝－56x3，T6＝（－x）5＝－56x5，所以展开式中系数最小的项是－56x3和－56x5. 1.在（a－b）20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是（　　） A.第15项　 B.第16项 C.第17项　 D.第18项 解析：B　第6项的二项式系数为，又＝，所以第16项符合条件. 2.在（3x2－）n的展开式中，所有二项式系数和为64，则n＝（　　） A.6　 B.7 C.8　 D.9 解析：A　由题意可知：2n＝64⇒n＝6，故选A. 3.（x2－）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则该展开式的常数项是（　　） A.－15　 B.－20 C.15　 D.20 解析：C　因为只有第4项的二项式系数最大，得n＝6，所以（x2－）n的展开式的通项为Tk＋1＝（x2）6－k（－）k＝（－1）kx12－3k.令12－3k＝0，得k＝4，所以展开式中的常数项是（－1）4＝15.故选C. 4.在（x－）2 024的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S＝（　　） A.23 035　 B.－23 035 C.23 030　 D.－23 030 解析：B　因为S＝，当x＝时，S＝－＝－23 035. 5.（多选）下列关于（x－1）11的说法正确的是（　　） A.展开式中的二项式系数之和为2 048 B.展开式中只有第6项的二项式系数最大 C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最大 解析：AC　（x－1）11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，所以A正确；因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以B不正确，C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以D不正确.故选A、C. 6.（多选）对任意实数x，有（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋a3（x－1）3＋…＋a9（x－1）9.则下列结论成立的是（　　） A.a2＝－144 B.a0＝1 C.a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1 D.a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39 解析：ACD　对任意实数x，有（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋a3（x－1）3＋…＋a9（x－1）9＝[－1＋2（x－1）]9，所以a2＝－×22＝－144，故A正确；令x＝1，可得a0＝－1，故B不正确；令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，故C正确；令x＝0，可得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39，故D正确. 7.已知展开式的各项系数和为243，则展开式中含x7的项的二项式系数为　10　. 解析：∵展开式的各项系数和为243，∴令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5.∴展开式的通项Tr＋1＝25－rx15－4r，r∈{0，1，…，5}.令15－4r＝7，得r＝2，∴展开式中含x7的项的二项式系数为＝10. 8.在的二项展开式中，常数项是8，则实数a＝　－1　，第　3　项的二项式系数最大. 解析：在的二项展开式中，常数项是8，由二项展开式通项可知Tk＋1＝（2x）4－k＝·24－k·（－a）k·，所以当k＝3时为常数项，代入可得·24－3·（－a）3＝8，解得a＝－1，由二项式定理可知展开式共有5项，则根据二项式系数可知第3项二项式系数最大. 9.已知（1－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝　－256　. 解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，两式相加可得2（a0＋a2＋a4）＝32，两式相减可得2（a1＋a3＋a5）＝－32，则a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝－256. 10.已知（a2＋1）n展开式中的各项系数之和等于（x2＋）5的展开式的常数项，而（a2＋1）n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值. 解：由（x2＋）5得Tr＋1＝（）5－r·（）r＝（）5－r， 令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0， 所以r＝4，常数项T5＝·＝16. 又（a2＋1）n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n＝16，n＝4. 所以（a2＋1）4展开式中系数最大项是中间项T3＝a4＝54， 解得a＝±. 11.若（1－2x）2 024＝a0＋a1x＋…＋a2 024x2 024（x∈R），则＋＋…＋＝（　　） A.2　 B.0 C.－2　 D.－1 解析：D　（1－2x）2 024＝a0＋a1x＋…＋a2 024x2 024，令x＝0，得a0＝1，令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－1. 12.（多选）在（x＋2）n（n∈N*）的展开式中，若含x2的项的二项式系数为21，则下列结论正确的是（　　） A.n＝7 B.展开式中的常数项是64 C.展开式中二项式系数的最大值是35 D.展开式中各项系数的和是2 187 解析：ACD　在（x＋2）n（n∈N*）的展开式中，含x2的项的二项式系数为＝＝21，即n2－n－42＝0，∵n∈N*，∴n＝7，A正确；展开式中常数项为T8＝27＝128，B错误；展开式中二项式系数的最大值是＝＝35，C正确；令x＝1可得展开式中各项系数的和是37＝2 187，D正确.故选A、C、D. 13.若x4（x＋3）8＝a0＋a1（x＋2）＋a2（x＋2）2＋…＋a12（x＋2）12，则log2（a1＋a3＋…＋a11）＝　7　. 解析：令x＝－1，得28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12，令x＝－3，得0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，∴28＝2（a1＋a3＋…＋a11），∴a1＋a3＋…＋a11＝27，∴log2（a1＋a3＋…＋a11）＝log227＝7. 14.已知（1＋m）n（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112. （1）求m，n的值； （2）求展开式中偶数项的二项式系数之和； （3）求（1＋m）n（1－x）的展开式中含x2项的系数. 解：（1）由题意可得2n＝256，解得n＝8， ∴展开式的通项为Tk＋1＝mk， ∴含x项的系数为m2＝112， 解得m＝2或m＝－2（舍去）. 故m，n的值分别为2，8. （2）展开式中偶数项的二项式系数之和为＋＋＋＝28－1＝128. （3）∵（1＋2）8（1－x）＝（1＋2）8－x（1＋2）8， ∴含x2项的系数为24－22＝1 008. 15.已知（2x－1）n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则＋＋＋…＋＝　255　. 解析：设（2x－1）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知，B－A＝38.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an（－1）n＝（－3）n，即（a0＋a2＋a4＋a6＋…）－（a1＋a3＋a5＋a7＋…）＝（－3）n，即B－A＝（－3）n.∴（－3）n＝38＝（－3）8，∴n＝8.由二项式系数的性质，可得＋＋＋…＋＝2n－＝28－1＝255. 16.已知（ax－）n（a∈R，n∈N*）的展开式中，前三项的二项式系数之和为16，所有项的系数之和为1. （1）求n和a的值； （2）展开式中是否存在常数项？若存在，求出常数项；若不存在，请说明理由； （3）求展开式中二项式系数最大的项. 解：（1）由题意得，＋＋＝16， 即1＋n＋＝16. 解得n＝5，或n＝－6（舍去）， 所以n＝5. 因为所有项的系数之和为1，令x＝1， 所以（a－1）5＝1，解得a＝2. （2）不存在.理由如下： 因为（ax－）n＝（2x－）5， 所以Tk＋1＝（2x）5－k（－）k＝（－1）k25－k（k∈N*）. 令5－＝0，解得k＝∉N，所以展开式中不存在常数项. （3）由二项式系数的性质知，展开式中中间两项的二项式系数最大， 二项式系数最大的两项为T3＝（－1）2·25－2x5－3＝80x2，T4＝（－1）3·25－3＝－40. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $