6.2.2 第1课时 排列数公式-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教A版)

该教案聚焦排列数公式核心知识点，以“上海交大校庆29位名人排列顺序”问题导入，衔接计数原理推导公式，通过定义、符号、阶乘及公式（乘积式与阶乘式）构建知识支架。 资料特色在于情境导入激发兴趣，表格化呈现知识点清晰，分层练习（判断、例题、跟踪训练）强化逻辑推理与数学运算，实例（送书、医生护士分配）培养数学建模，助力学生理解应用，为教师提供结构化教学资源。

6.2.2　排列数 新课程标准解读 核心素养 1.能利用计数原理推导排列数公式 逻辑推理 2.能运用排列数公式解决简单的实际问题 数学建模、数学运算 第1课时　排列数公式 　　在上海交通大学建校120周年之际，有29位曾是交大学子的名人大家，要在庆祝会上逐一介绍…… 【问题】　这29位名人大家的排列顺序有多少种？这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　排列数及排列数公式 排列数定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有　不同排列　的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 符号表示 全排列 把n个不同的元素全部取出的一个排列 阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用　n！　表示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成＝　n！　.规定0！＝　1　 排列数 公式 乘积式 ＝　n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）　（m，n∈N*，且m≤n） 阶乘式 ＝　　（m，n∈N*，且m≤n） 提醒　“排列”和“排列数”的区别：“排列”和“排列数”是两个不同的概念，排列不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；排列数是一个数. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在式子中，m，n的值都可以为0.（　×　） （2）甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有4种.（　×　） （3）若＝9×10×11×12，则m＝4.（　√　） （4）排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数小1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数.（　√　） 2.若＝10×9×…×5，则m＝　6　. 3.从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，求不同的送书方法的种数. 解：此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数，即共有＝20（种）不同的送书方法. 题型一 排列数与排列数公式 【例1】　计算下列各式： （1）2＋； （2）. 解：（1）2＋＝2×4×3×2＋4×3×2×1＝72. （2）原式＝ ＝＝＝. 通性通法 排列数的计算方法 （1）排列数的计算主要是利用排列数公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数（因式）的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用； （2）应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量. 【跟踪训练】 1.7×8×9×…×15可表示为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：D　7×8×9×…×15＝＝. 2.＝　－　. 解析：＝＝＝－＝－. 题型二 排列数的计算与证明 【例2】　（1）解方程：＝140； （2）求证：－＝m. 解：（1）因为所以x≥3，x∈N*. 由＝140得（2x＋1）2x（2x－1）（2x－2）＝140x（x－1）（x－2）. 化简得4x2－35x＋69＝0， 解得x1＝3，x2＝（舍去）. 所以原方程的解为x＝3. （2）证明：∵－＝－＝·（－1）＝·＝m·＝m，∴－＝m. 通性通法 　　排列数的第二个公式＝适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n，m∈N*，m≤n”的运用. 【跟踪训练】 1.不等式＜6的解集为（　　） A.[2，8]　 B.[2，6] C.（7，12）　 D.{8} 解析：D　由＜6，得＜6×，化简得x2－19x＋84＜0，解得7＜x＜12①，又所以2＜x≤8②，由①②及x∈N*，得x＝8. 2.求证：＝（n＋1）. 证明：因为＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1， （n＋1）＝（n＋1）·n！＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，所以＝（n＋1）. 题型三 无约束条件的排列问题 【例3】　将4名医生与4名护士分配到四个不同单位，每个单位分配一名医生与一名护士，共有多少种不同的分配方案？ 解：完成这件事可以分为两步. 第一步：把4名医生分配到四个不同的单位，等价于从4个不同元素中取出4个元素的排列问题，有种方法； 第二步：把4名护士分配到四个不同的单位，也有种方法. 根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有×＝576（种）. 通性通法 无约束条件的排列问题 　　无约束条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别限制的问题.这一类型题目相对简单，分清元素和位置即可.把m个元素按一定顺序排列到n（n≥m）个位置上，排列数为，从n个元素中选 m个（m≤n），排列到m个位置上，排列数也是. 【跟踪训练】 　用排列数表示下列问题： （1）利用1，2，3，4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ （2）一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有几种排法？ 解：（1）本题实质是求从1，2，3，4四个数字中，任意选出三个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故排列数，即为没有重复数字的三位数的个数. （2）这是6个元素的全排列问题，其排列数，即为一天的课程的排法种数. 1.－＝（　　） A.480　 B.520 C.600　 D.1 320 解析：C　＝12×11×10＝1 320，＝10×9×8＝720，故－＝1 320－720＝600. 2.一个禁毒宣传讲座要到四个学校开讲，一个学校讲一次，则不同的次序种数为（　　） A.4　 B.44 C.24　 D.48 解析：C　由题意可知，不同的次序种数为＝4×3×2×1＝24. 3.不等式－n＜7的解集为　{3，4}　. 解析：由－n＜7，得（n－1）（n－2）－n＜7，整理，得n2－4n－5＜0，解得－1＜n＜5.又n－1≥2且n∈N*，即3≤n＜5且n∈N*，所以n＝3或n＝4. 4.用0～9这10个数字，可以组成　648　个没有重复数字的三位数. 解析：第1步，确定百位上的数字，可以从1～9这9个数字中取出1个，有种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法.根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为×＝9×9×8＝648. 1.某电影要在5所大学里轮流放映，则不同的轮映方法有（　　） A.25种　 B.55种 C.种　 D.53种 解析：C　不同的轮映方法相当于将5所大学全排列，即轮映方法有种. 2.已知3＝4，则n＝（　　） A.5　 B.7 C.10　 D.14 解析：B　由×3＝×4，得（11－n）·（10－n）＝12，解得n＝7，n＝14（舍）. 3.89×90×91×92×…×100可表示为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：C　89×90×91×92×…×100＝＝＝. 4.某学习小组共5人，约定假期彼此给对方发起微信聊天，共需发起的聊天次数为（　　） A.20　 B.15 C.10　 D.5 解析：A　由题意得共需发起的聊天次数为＝5×4＝20. 5.（多选）满足不等式＞12的n的值可能为（　　） A.12　 B.11 C.10　 D.8 解析：ABC　由排列数公式得＞12，则（n－5）（n－6）＞12，解得n＞9或n＜2（舍去）.又n∈N*，结合选项，所以n可以取10，11，12. 6.（多选）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（　　） A.　　　　　　　 B. C.　 D.－ 解析：CD　①（直接法）：因为末位数字排法有种，其他位置排法有种，共有×个. ②（间接法）：－×.故选C、D. 7.计算＋＝　726　. 解析：由条件得得n＝3，所以＋＝＋＝726. 8.已知＝89，则n＝　15　. 解析：根据题意，＝89，则＝90，变形可得＝90，则有＝90×，变形可得：（n－5）（n－6）＝90，解可得：n＝15或n＝－4（舍），故n＝15. 9.有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘1名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有　60　种不同的招聘方案（用数字作答）. 解析：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题.所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60（种）. 10.（1）解不等式：3≤2＋6； （2）解方程：3＝4. 解：（1）由题意可知，x∈N*且x≥3， 因为＝x（x－1）（x－2），＝（x＋1）x，＝x（x－1）， 所以原不等式可化为3x（x－1）（x－2）≤2x（x＋1）＋6x（x－1），整理得（3x－2）（x－5）≤0， 所以≤x≤5.又x∈N*且x≥3， 所以原不等式的解集为{3，4，5}. （2）3＝4可化为3×＝4×，即3×＝4×，化简得x2－19x＋78＝0，解得x＝6或x＝13，由题意知解得1＜x≤8，故原方程的解为x＝6. 11.（多选）下列等式一定成立的是（　　） A.＝（n－2）　 B.＝ C.n＝　 D.＝ 解析：ACD　A中，右边＝（n－2）（n－1）n＝＝左边；C中，左边＝n（n－1）（n－2）×…×2＝n（n－1）（n－2）×…×2×1＝＝右边；D中，左边＝·＝＝＝右边；只有B不正确. 12.化简：＋＋＋…＋＝　1－　. 解析：因为＝－＝－，所以＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－. 13.若把英文单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误拼写方式有　11　种. 解析：单词中含4个字母，其全排列有＝24个，但其中两个字母一样，因此排列方法种数为＝12，其中只有一种组合是正确的，因此错误拼写方式有12－1＝11种. 14.一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，则原有　15　个车站；现在有　17　个车站. 解析：由题意可知，原有车票的种数是种，现有车票的种数是种，所以－＝62，即（n＋m）（n＋m－1）－n（n－1）＝62，所以m（2n＋m－1）＝62＝2×31，因为m＜2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*，所以解得m＝2，n＝15，故原有15个车站，现有17个车站. 15.已知圆的方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）.从0，3，4，5，6，7，8，9，10这9个数中选出3个不同的数，分别作为圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径.求： （1）可以作多少个不同的圆？ （2）经过原点的圆有多少个？ （3）圆心在直线x＋y－10＝0上的圆有多少个？ 解：（1）可分两步完成：第一步，选r，因为r＞0，所以r有种选法，第二步，选a，b，在剩余8个数中任取2个，有种选法，所以由分步乘法计数原理可得有·＝448个不同的圆. （2）若圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2经过原点，则a，b，r满足a2＋b2＝r2， 满足该条件的a，b，r共有3，4，5与6，8，10两组， 考虑a，b的顺序，有2种情况， 即符合题意的圆有2＝4个. （3）圆心在直线x＋y－10＝0上，即满足a＋b＝10， 则满足条件的a，b有三组：0，10；3，7；4，6. 当a，b取10，0时，r有7种情况， 当a，b取3，7或4，6时，r不可取0，有6种情况， 考虑a，b的顺序，有种情况， 所以满足题意的圆共有（＋2）＝38个. 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $