第07讲 四边形及多边形（2个知识点+9个题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材人教版

第07讲 四边形及多边形 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：9大核心题型精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 四边形及其内角和】 1.四边形的定义 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点，如下图，画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. 2.四边形的内角与外角性质 （1）四边形的内角和等于360°. （2）四边形的外角和等于360°. （3）四边形具有不稳定性. 【知识点2 多边形及其内角和】 1．多边形相关概念 定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的概念与四边形相应的概念类似，多边形有几条边就叫作几边形.与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形，今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形。 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 一个n边形从一个顶点出发有(n-3)条对角线,所有对角线的数量是条. 2．多边形的内角和、外角和 多边形的内角和计算：多边形的内角和计算公式为(n-2)×180°(n≥3，n是正整数)。 多边形的外角和计算：任意多边形的外角和都等于360°，它与边数的多少无关. 正多边形的每个内角度数计算：，每个外角度数计算： 【题型1 四边形的内角和外角性质】 【例1-1】若一个四边形的四个内角之比为，则这个四边形中最大内角的度数为 ． 【答案】 【分析】设四个内角度数分别为，根据四边形内角和为，列出方程求解x，再求最大角的度数． 本题考查了多边形内角和，熟练掌握多边形的内角和计算方法是解题的关键． 【详解】解：由四边形内角和公式，得， 即， 解得， 则最大内角为． 故答案为：． 【例1-2】如图，，则的值是 ． 【答案】70 【分析】本题考查了四边形外角和定理与邻补角的性质，掌握四边形外角和为、邻补角的和为是解题的关键． 先利用四边形外角和为，求出第四个外角的度数，再根据邻补角的和为，计算出的值． 【详解】解：∵四边形的外角和为，且， ∴ 第四个外角的度数为， ∵ 与这个外角互为邻补角， ∴． 故答案为： ． 【变式1-1】求出下列图形中的值． 【答案】36；40 【分析】本题考查了四边形内角和，解题的关键是结合四边形的内角和寻求等量关系，构建方程． 先根据四边形内角和为，用建立方程，对每个逐一求解即可． 【详解】解：图①：四边形的内角和等于， ， 解得． 图②：四边形的内角和等于， ， 解得． 【变式1-2】如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了四边形的外角和定理，掌握四边形的外角和为是解题的关键． 先利用四边形的外角和为的性质，再求出对应的外角，最后用外角和减去的外角，得到的和． 【详解】解：， 的外角为， ． 【变式1-3】如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理、角平分线的性质与三角形外角性质，掌握四边形内角和为，及利用角平分线、三角形外角性质转化角的关系是解题的关键． 先利用四边形内角和求出的度数，再得到其外角的度数；接着通过角平分线分别求出相关角的度数，最后利用三角形的外角性质计算的度数． 【详解】解：，， ， ． 平分， ． 平分， ， ． 【变式1-4】如图，在四边形中，，与的外角平分线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了四边形的内角和，角平分线的定义，三角形的内角和，解答本题的关键是掌握三角形的内角和定理． 先通过邻补角的定义，四边形的内角和为，得到；再通过角平分线的定义结合三角形内角和为即可求出． 【详解】解：如图， ,， ． 又， ． 与的外角平分线交于点， ，． ． ． 故选：A． 【题型2 四边形的不稳定性】 【例2】下列图形具有稳定性的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，四边形的不稳定性．观察四个选项，图形全部都是三角形组成，则这个图形具有稳定性，据此进行分析，即可作答． 【详解】 解：A、是四边形，不是三角形，不具有稳定性，故该选项不符合题意； B、含有四边形，不具有稳定性，故该选项不符合题意； C、含有四边形，不具有稳定性，故该选项不符合题意； D、都是有三角形组成的，具有稳定性，故该选项符合题意； 故选：D 【变式2-1】要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查三角形的稳定性，四边形的不稳定性，掌握相关知识是解决问题的关键．根据三角形的稳定性，再顶上一根木条把四边形分成两个三角形即可． 【详解】解：根据三角形的稳定性，再钉上一根木条把四边形分成两个三角形即可． 故选：A． 【变式2-2】下列图形中具有稳定性的是 ．（填序号） 【答案】①④⑥ 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记，关键是根据三角形具有稳定性解答． 根据三角形具有稳定性进行求解即可． 【详解】解：图形中具有稳定性的是①④⑥． 故答案为：①④⑥． 【题型3 多边形截角后的边数问题】 【例3】若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：若一个四边形截去一个角后，可能为3或4或5边形． 故选：C． 【变式3-1】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 【变式3-2】若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， 【变式3-3】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．　 【详解】解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11， ∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12： 故选D． 【题型4 多边形对角线的条数问题】 【例4】学习了多边形后，我们知道过多边形（三角形除外）的一个顶点可作若干条对角线，过十边形的一个顶点可以作 条对角线． 【答案】7/七 【分析】本题考查了多边形对角线的性质，根据多边形对角线的性质，从边形的一个顶点出发可以作条对角线，即可得出结果，熟练掌握多边形对角线的性质是解此题的关键． 【详解】解：对于一个边形，从一个顶点出发，不能与自己连对角线，也不能与相邻的两个顶点连对角线，因此只能与剩下的个顶点连对角线，故可以作条对角线， 对于十边形，，故可以作条对角线， 故答案为：7． 【变式4-1】过n边形的一个顶点可以画6条对角线，则n的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多边形的一个顶点作对角线的条数，过n边形的一个顶点可以作条对角线，给定为6条，因此，求出答案即可． 【详解】解：由题意得，解得． 故答案为：9． 【变式4-2】学习了多边形后，我们知道过多边形（三角形除外）的一个顶点可作若干条对角线．如图，过四边形的一个顶点可以作1条对角线，过五边形的一个顶点可以作2条对角线，过十边形的一个顶点可以作 条对角线． 【答案】7 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，掌握相关知识是解题的关键．根据从一个多边形的一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案． 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画1条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画2条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画3条对角线， ∴边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十边形从一个顶点出发，可以画条对角线． 故答案为：． 【变式4-3】探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【答案】（1）2；（2）2，5，9；（3）；（4）35． 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）根据对角线的定义，可得答案； （2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据对角线的公式，可得答案． 【详解】解：（1）四边形有4个顶点，每个顶点可作1条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线）； 由于每条对角线被两个顶点各计算一次，因此总对角线数为条； （2）过五边形每个顶点可作条对角线，共有5个顶点，总对角线数为条； 过六边形每个顶点可作条对角线，共有6个顶点，总对角线数为条； （3）对于边形，每个顶点可作条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线），总顶点数为； 由于每条对角线被两个顶点重复计算，因此总对角线数为：； （4）将代入计算，得， 故十边形共有35条对角线． 【题型5 对角线分成的三角形个数问题】 【例5】从十边形的一个顶点出发，分别用线段连接与它不相邻的其他顶点，可将这个十边形分成三角形的个数是（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的性质，熟练掌握多边形的性质是解题关键．从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形，据此解答即可得． 【详解】解：∵十边形的边数为10， ∴分成三角形的个数是（个）． 故选：C． 【变式5-1】从多边形的一个顶点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到10个三角形，那么这个多边形为 边形． 【答案】十二 【分析】本题考查多边形的性质，解题的关键是掌握对角线分成的三角形个数的规律． 从边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为，依此进行解答． 【详解】设多边形有条边， 则， 解得， 故多边形是十二边形， 故答案为：十二． 【变式5-2】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是 边形，该多边形有 条对角线． 【答案】 七 14 【分析】本题考查了多边形的对角线，多边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点得出，求出n的值，再代入，计算即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得， 解得， 所以． 即这个多边形是七边形，该多边形有14条对角线． 故答案为：七；14． 【变式5-3】（1）如图①，为四边形内一点，连接，，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （2）如图②，点在五边形的边上，连接，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （3）如图③，过点作六边形的对角线，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ 【答案】（1）4个．三角形的个数与边数相等．（2）4个．三角形的个数比边数小1．（3）4个．三角形的个数比边数小2． 【分析】（1）数出四边形内点连接各顶点后得到的三角形个数，对比四边形的边数，找出两者的关系； （2）数出五边形边上的点连接其他顶点后得到的三角形个数，对比五边形的边数，找出关系； （3）数出六边形过顶点A作对角线后得到的三角形个数，对比六边形的边数，找出关系． 【详解】解：（1）连接后，得到，共4个三角形； ∵四边形边数为， ∴三角形个数等于边数． （2）连接后，得到，共个三角形； ∵五边形边数为， ∴三角形个数等于边数少． （3）过点作对角线，连接后，得到，共个三角形； ∵六边形边数为， ∴三角形个数等于边数少． 【题型6 多边形内角和的问题】 【例6.1】一个多边形内角和为，那么它的边数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和，掌握多边形内角和公式是解题关键．设多边形的边数为，利用多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为，则内角和为， ∵ 内角和为， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 【例6.2】正十二边形的内角和为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形内角和公式的应用，解题的关键是熟记多边形内角和公式（其中为多边形的边数），并准确代入正十二边形的边数计算． 先明确正十二边形的边数；再将代入多边形内角和公式；最后计算得出内角和，与选项对比确定答案． 【详解】解：多边形内角和公式为（为边数），正十二边形的边数，则其内角和为：． 故选：D． 【变式6-1】一个7边形的内角和是 ． 【答案】/900度 【分析】本题考查多边形的内角和，根据多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：。 故答案为：． 【变式6-2】如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加 度． 【答案】180 【分析】本题考查了多边形内角和．此题比较简单，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 根据n边形的内角和公式求解作差即可． 【详解】解：五边形的内角和为 将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是6， 则， ∴内角和增加 故答案为：180． 【变式6-3】（1）一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数． （2）小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数． 【答案】（1）13或14或15；（2）边数为14，内角为 【分析】本题考查多边形的内角和与切割问题： （1）先根据多边形的内角和公式，求出现在多边形的边数，再分三种情况讨论即可； （2）根据多边形的内角和为的整数倍，用2024°除以的结果中的整数加1再加2即为边数，再求出多边形的内角和减去2024°，即可． 【详解】解：（1）设新的多边形的边数为，由题意，得：， ∴， ∵切去一角有如图所示的三种切法，切完后新多边形的边数可以比原多边形多一条边，相等，少一条边，三种情况，      故：原多边形的边数为13或14或15； （2）设多边形的边数为， ∵， ∴， ∴， ∴少算的内角的度数为， 故多边形的边数为14，少算的内角度数为． 【题型7 复杂图形的内角和计算】 【例7】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式7-1】如图，图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，三角形外角的定义和性质，设与，分别交于点，，与交于点，由三角形外角的定义得出，，则同理进而转化成求五边形的内角和求解即可． 【详解】解：设与，分别交于点，，与交于点， 则，， 同理 ． 故选A 【变式7-2】如图，的度数为 ． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式7-3】如图，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理以及多边形内角和定理，作出辅助线，把六个角的和转化为三角形的内角和以及四边形的内角和是解题的关键． 连接，则，，根据内角和定理计算即可； 【详解】如图，连接， 则，， ， ． 【题型8 多边形内角和与外角和综合】 【例8】（1）一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． （2）一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，这个多边形的边数是多少？ （3）如果一个边形的内角和等于它的外角和，则 ． 【答案】（1）6；（2）该多边形的边数为9；（3）4 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理，熟知多边形内角和公式是解题的关键． （1）设这个多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形的外角和为建立方程求解即可； （2）设这个多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形的外角和为建立方程求解即可； （3）这个n边形的内角和为，外角和为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：（1）设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， 故答案为：6． （2）设这个多边形的边数为n， 根据题意得： 解得． ∴该多边形的边数为9． （3）这个n边形的内角和为，外角和为， ∴， 解得， 故答案为：4． 【变式8-1】（1）已知一个正多边形的一个内角为，求正多边形的边数n； （2）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大，求这个多边形对角线的条数． （3）一个多边形的内角和为，截去一个角后，求得到的多边形的内角和． 【答案】（1）8；（2）14；（3）或或 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和的综合应用，解题的关键是熟练掌握多边形内角和公式，多边形的外角和为． （1）根据多边形内角和公式列出方程，解方程即可； （2）设这个多边形的边数是，根据多边形内角和公式和外角和列出方程，解方程即可； （3）多边形截去一个角后，新的多边形的边数有3种情况：增加一条边；边数与原多边形相同；减少一条边，求出结果即可． 【详解】解：（1）由多边形的内角和公式可得： ， 解得：． （2）设这个多边形的边数是，由题意得： ， 解得， 这个多边形对角线的条数是． （3）由题意可得：， 解得：， 一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，可能加1， 新多边形的边数可能是11，12，13， 新多边形的内角和可能是： ， ， ． 【变式8-2】请根据下面甲与乙的对话解答下列问题：甲：我和乙都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为；乙：甲的边数与我的边数之比为． (1)求甲与乙的外角和相加的度数； (2)分别求出甲与乙的边数． 【答案】(1) (2)甲的边数为3，乙的边数为9 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形外角和定理，一元一次方程的几何应用： （1）根据多边形的外角和均为360度进行求解即可； （2）设甲的边数为n，则乙的边数为，根据n边形的内角和为结合题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵多边形外角和都为360度， ∴甲与乙的外角和相加的度数为； （2）解：设甲的边数为n，则乙的边数为， 由题意得，， 解得， ∴， ∴甲的边数为3，乙的边数为9． 【变式8-3】如图的七边形中，、的延长线相交于点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查多边形内角和定理及内外角关系，解题的关键是根据题意得到是五边形． 首先求出，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：、、、的外角的角度和为， ， ， 五边形内角和， ， ， 故答案为：． 【题型9 平面镶嵌问题】 【例9】某城市进行旧城区人行道的路面翻新，准备对地面密铺彩色地砖，有人提出了4种地砖的形状供设计选用：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中不能进行密铺的地砖的形状是 ． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合内角度数能整除的条件． 分别求出各个正多边形每个内角的度数，结合密铺的条件即可作出判断． 【详解】解：①正三角形的每个内角都是，能整除，6个能组成镶嵌； ②正方形的每个内角都是，能整除，4个能组成镶嵌； ③正五边形每个内角都是，不能整除，不能镶嵌； ④正六边形的每个内角都是，能整除，3个能组成镶嵌； ∴不能进行密铺的地砖的形状是③． 故答案为：③． 【变式9-1】建筑师要为客户设计一种新颖的地砖图样，准备从边长相同的正三角形与正方形，正六边形，正八边形中同时选择其中两种地砖密铺地面，如果从图样上考虑，选择的方式有（   ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形内角和定理的运用，掌握以上知识是解题的关键．根据多边形内角和定理分别求出正三角形，正方形，正六边形，正八边形的每个内角，根据密铺可知不同多边形相接的内角之和为，由此即可求解． 【详解】解：∵正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，正六边形的每个内角为，正八边形的每个内角为， ∴选择两种不同的正多边形地砖密铺地面，则不同多边形相接的内角之和为， ∴正三角形和正六边形，即或； 正方形和正三角形，即； 正方形和正八边形，即； 综上所述，可供选择的方法共有种， 故选：C． 【变式9-2】下列正多边形的组合中，不能铺满地面的是（　　） A．正三角形和正六边形 B．正方形和正六边形 C．正三角形和正十二边形 D．正三角形、正方形和正六边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满，据此即可解答． 【详解】解：A．正三角形和正六边形内角分别为，因为，所以能构成的周角，故能铺满，不符合题意； B．正方形和正六边形内角分别为，不能构成360°的周角，故不能铺满，符合题意； C．正三角形和正十二边形内角分别为，因为，所以能构成的周角，故能铺满，不符合题意； D．正三角形、正方形和正六边形内角分别为，因为，所以能构成的周角，故能铺满，不符合题意． 故选：B． 【变式9-3】相信很多人家里都有“巧手妈妈”，图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫，图2是某学校操场铺的地砖．它们或是用单独的正多边形，或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． (1)如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由； (2)如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？如果能，应如何搭配进行平铺，请说明理由． 【答案】(1)能，理由见解析 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了平面镶嵌，解题的关键是根据围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角来解答． （1）利用内角的整数倍能等于即可； （2）利用两种正多边形镶嵌内角之间关系求解即可； 【详解】（1）解：能，理由如下： ∵正三角形的内角和为， ∴正三角形的每一个内角为． ∵， ∴正三角形能镶嵌成一个平面图形． （2）解：能，理由如下： ∵正十二边形的内角和为， ∴正十二边形的每一个内角为． ∵， ∴同时用1块正三角形和2块正十二边形能镶嵌成一个平面图形． 1．下列图形中，具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，准确分析判断是解题的关键． 根据题目选项是否分为三角形为依据判断即可； 【详解】解：A中分为两个四边形，四边形不具有稳定性； B中分为2个三角形和1个长方形，长方形不具有稳定性； C中分为1个四边形和2个三角形，四边形不具有稳定性； D中分为4个三角形，具有稳定性； 故选D． 2．正十二边形的每一个内角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解． 【详解】解：正十二边形的每个外角的度数是：， 则每一个内角的度数是：， 故选：D． 3．如图，在五边形中，，，，是五边形的外角，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键． 根据两直线平行，同旁内角互补得到以点、点为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：延长，， ， ， 根据多边形的外角和定理可得， ． 故选：A． 4．要使一个多边形具有稳定性，从该多边形的一个顶点出发，连接其余各顶点转化得到2022个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线，设多边形的边数为n，根据n边形从一个顶点出发画对角线，可分成个三角形进行计算． 【详解】解：设多边形的边数为n，则： ， 解得． 故选：C． 5．如图所示，的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形外角的性质以及四边形内角和定理，掌握四边形内角和等于360°，是解题的关键，根据三角形外角的性质以及四边形内角和等于，即可求解． 【详解】解：如图，先标注顶点， ∵，， 又∵， ∴， 故选：C． 6．已知从六边形的一个顶点出发，可以引条对角线，这些对角线可以把这个六边形分成个三角形，则 . 【答案】﹣1 【分析】多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（n﹣3）；组成的三角形的个数为（n﹣2），分别求出m、n的值即可得出. 【详解】根据题意，画出图形： 总结规律“多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（n﹣3）；组成的三角形的个数为（n﹣2）”可知， 对角线共有6﹣3=3条，分成6﹣2=4个三角形， 则 所以 故答案为﹣1 7．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少．求这个多边形的边数和总对角线条数． 【答案】这个多边形的边数是7，总对角线条数是14 【分析】本题考查了多边形的内角和公式、外角和定理及对角线条数公式，掌握多边形内角和公式、外角和为、对角线条数公式​是解题的关键． 先利用多边形外角和为的定理，结合内角和公式，根据内角和是外角和的倍少列方程求边数；再用多边形对角线条数公式计算总对角线条数． 【详解】解：设这个多边形的边数为． 由题意，得， 解得，即这个多边形的边数为． 总对角线条数为． 8．下面是明明与佳佳在探究某多边形的内角和时的一段对话：    请根据以上对话内容解答下列问题： (1)明明求的是几边形的内角和？ (2)少加的那个内角为多少度？ 【答案】(1)明明求的是七边形的内角和； (2) 【分析】（1）设少加的那个内角为，这个多边形的边数为，根据题意，列方程求解即可； （2）根据题意，列式求解即可； 【详解】（1）解：设少加的那个内角为，这个多边形的边数为． 根据题意，得， 则． 因为，所以． 解得． 因为为整数，所以． 所以明明求的是七边形的内角和． （2）解：当时，． 所以少加的那个内角为． 9．如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)11或12或13 【分析】本题考查了多边形截角后的内角和问题，多边形的内角和；根据多边形内角和公式求解即可； （1）使得原多边形增加一条边，即可求解； （2）不改变原多边形的边数，即可求解； （3）使得原多边形减少一条边，即可求解； （4）由多边形内角和公式得，按不同截法，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 （3）解：由题意得 （4）解：设新多边形的边数为n， 则， 解得：， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为， 故答案为：11或12或13． 10．【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 【答案】（1）；；；（2）①③；（3） 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌的相关知识． （1）用再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数与相邻外角的度数之各为进行求解即可； （3）根据正五边形每一个内角的度数结合周角进行求解即可． 【详解】（1）解：正五边形每个外角的度数为， 正六边形每个外角的度数为， 正八边形每个外角的度数为， 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 （2）解：正三角形每个内角的度数为 ， 正五边形每个内角的度数为 ， 正六边形每个内角的度数为 ， 正七边形每个内角的度数为 ， 正八边形每个内角的度数为 ， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：∵正五边形的内角为， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 四边形及多边形 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：9大核心题型精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 四边形及其内角和】 1.四边形的定义 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点，如下图，画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. 2.四边形的内角与外角性质 （1）四边形的内角和等于360°. （2）四边形的外角和等于360°. （3）四边形具有不稳定性. 【知识点2 多边形及其内角和】 1．多边形相关概念 定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的概念与四边形相应的概念类似，多边形有几条边就叫作几边形.与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形，今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形。 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 一个n边形从一个顶点出发有(n-3)条对角线,所有对角线的数量是条. 2．多边形的内角和、外角和 多边形的内角和计算：多边形的内角和计算公式为(n-2)×180°(n≥3，n是正整数)。 多边形的外角和计算：任意多边形的外角和都等于360°，它与边数的多少无关. 正多边形的每个内角度数计算：，每个外角度数计算： 【题型1 四边形的内角和外角性质】 【例1-1】若一个四边形的四个内角之比为，则这个四边形中最大内角的度数为 ． 【例1-2】如图，，则的值是 ． 【变式1-1】求出下列图形中的值． 【变式1-2】如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 【变式1-3】如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 【变式1-4】如图，在四边形中，，与的外角平分线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 四边形的不稳定性】 【例2】下列图形具有稳定性的是（    ） A．B． C． D． 【变式2-1】要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】下列图形中具有稳定性的是 ．（填序号） 【题型3 多边形截角后的边数问题】 【例3】若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【变式3-1】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【变式3-2】若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【变式3-3】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 【题型4 多边形对角线的条数问题】 【例4】学习了多边形后，我们知道过多边形（三角形除外）的一个顶点可作若干条对角线，过十边形的一个顶点可以作 条对角线． 【变式4-1】过n边形的一个顶点可以画6条对角线，则n的值为 ． 【变式4-2】学习了多边形后，我们知道过多边形（三角形除外）的一个顶点可作若干条对角线．如图，过四边形的一个顶点可以作1条对角线，过五边形的一个顶点可以作2条对角线，过十边形的一个顶点可以作 条对角线． 【变式4-3】探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【题型5 对角线分成的三角形个数问题】 【例5】从十边形的一个顶点出发，分别用线段连接与它不相邻的其他顶点，可将这个十边形分成三角形的个数是（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【变式5-1】从多边形的一个顶点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到10个三角形，那么这个多边形为 边形． 【变式5-2】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是 边形，该多边形有 条对角线． 【变式5-3】（1）如图①，为四边形内一点，连接，，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （2）如图②，点在五边形的边上，连接，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （3）如图③，过点作六边形的对角线，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ 【题型6 多边形内角和的问题】 【例6.1】一个多边形内角和为，那么它的边数是（    ） A． B． C． D． 【例6.2】正十二边形的内角和为（   ）． A． B． C． D． 【变式6-1】一个7边形的内角和是 ． 【变式6-2】如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加 度． 【变式6-3】（1）一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数． （2）小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数． 【题型7 复杂图形的内角和计算】 【例7】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，的度数为 ． 【变式7-3】如图，求的度数． 【题型8 多边形内角和与外角和综合】 【例8】（1）一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． （2）一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，这个多边形的边数是多少？ （3）如果一个边形的内角和等于它的外角和，则 ． 【变式8-1】（1）已知一个正多边形的一个内角为，求正多边形的边数n； （2）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大，求这个多边形对角线的条数． （3）一个多边形的内角和为，截去一个角后，求得到的多边形的内角和． 【变式8-2】请根据下面甲与乙的对话解答下列问题：甲：我和乙都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为；乙：甲的边数与我的边数之比为． (1)求甲与乙的外角和相加的度数； (2)分别求出甲与乙的边数． 【变式8-3】如图的七边形中，、的延长线相交于点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为 ． 【题型9 平面镶嵌问题】 【例9】某城市进行旧城区人行道的路面翻新，准备对地面密铺彩色地砖，有人提出了4种地砖的形状供设计选用：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中不能进行密铺的地砖的形状是 ． 【变式9-1】建筑师要为客户设计一种新颖的地砖图样，准备从边长相同的正三角形与正方形，正六边形，正八边形中同时选择其中两种地砖密铺地面，如果从图样上考虑，选择的方式有（   ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【变式9-2】下列正多边形的组合中，不能铺满地面的是（　　） A．正三角形和正六边形 B．正方形和正六边形 C．正三角形和正十二边形 D．正三角形、正方形和正六边形 【变式9-3】相信很多人家里都有“巧手妈妈”，图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫，图2是某学校操场铺的地砖．它们或是用单独的正多边形，或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． (1)如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由； (2)如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？如果能，应如何搭配进行平铺，请说明理由． 1．下列图形中，具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 2．正十二边形的每一个内角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在五边形中，，，，是五边形的外角，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．要使一个多边形具有稳定性，从该多边形的一个顶点出发，连接其余各顶点转化得到2022个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 5．如图所示，的度数是（     ） A． B． C． D． 6．已知从六边形的一个顶点出发，可以引条对角线，这些对角线可以把这个六边形分成个三角形，则 . 7．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少．求这个多边形的边数和总对角线条数． 8．下面是明明与佳佳在探究某多边形的内角和时的一段对话：    请根据以上对话内容解答下列问题： (1)明明求的是几边形的内角和？ (2)少加的那个内角为多少度？ 9．如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 10．【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $