专题7.3 组合（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第二册

本讲义聚焦组合与组合数核心知识点，系统梳理组合定义、组合数公式（连乘与阶乘表示）、性质（对称性及分类加法原理应用），并构建组合问题分类（含不含元素、至少至多）、分组分配（均匀与非均匀分组、分配方法）的学习支架，形成从概念到应用的递进脉络。 该资料以9大题型系统覆盖组合知识，例题与变式题结合，如实际问题中的教师派遣、产品次品抽取，几何问题中的正八边形对角线计算等，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理的能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化数学语言表达与应用意识。

专题7.3 组合（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 组合数的计算】 2 【题型2 利用组合数公式证明】 4 【题型3 组合数方程和不等式】 5 【题型4 组合数的性质及应用】 7 【题型5 实际问题中的组合计数问题】 8 【题型6 代数中的组合计数问题】 10 【题型7 几何组合计数问题】 12 【题型8 分组分配问题】 13 【题型9 排列、组合综合】 16 知识点1 组合与组合数 1．组合 (1)组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. (3)排列与组合的联系与区别 联系：都是从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素. 区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. 2．组合数与组合数公式 (1)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式 ①连乘表示： . 这里，n,m∈N*，并且m≤n. ②阶乘表示：. 规定：. 3．组合数的性质 (1)性质1： 这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素后，剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. (2)性质2： 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法. 由分类加法计数原理可得：. 在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等. 4．组合问题的分类与解法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 5．分组分配问题 (1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题. (2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可. (3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解. 【题型1 组合数的计算】 【例1】（24-25高二下·广东江门·期末）计算的值是（ ） A．41 B．61 C．62 D．82 【答案】B 【解题思路】利用排列数和组合数公式计算即可． 【解答过程】， ，， 因此. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二下·广东深圳·期中）若，则（    ） A．28 B．56 C．112 D．120 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用组合数的性质求出，再利用组合性质求解. 【解答过程】由，得，解得， 所以 . 故选：B. 【变式1-2】（24-25高二下·浙江台州·期中）计算：（用数字作答） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用排列数，组合数和阶乘的定义计算即可； （2）利用组合数的定义直接计算或者是利用组合数的性质计算即可. 【解答过程】（1）原式. （2）法一（直接计算）：原式 法二（组合数的性质）：原式 . 【变式1-3】（24-25高二·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)70 (2)253 【解题思路】（1）运用组合公式进行计算； （2）运用组合公式进行计算. 【解答过程】（1）； （2）． 【题型2 利用组合数公式证明】 【例2】（24-25高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由组合数公式计算即可； （2）由组合数公式计算即可. 【解答过程】（1）因为， ， 所以； （2）因为， ， 所以． 【变式2-1】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）（1）计算：； （2）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解题思路】（1）利用排列数公式可求得所求代数式的值； （2）利用组合数公式可证得结论成立. 【解答过程】（1）； （2）证明：， ， 因此，. 【变式2-2】（2025高三·全国·专题练习）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】利用组合数公式和性质计算推导即可. 【解答过程】（1） ． （2） ． 【变式2-3】（24-25高二上·上海·课后作业）已知m是自然数，n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】代入阶乘公式，化简证明. 【解答过程】（1）根据组合数公式，可以得到． （2）根据组合数公式，可以得到 ． 【题型3 组合数方程和不等式】 【例3】（24-25高二下·广西来宾·月考）已知，则（   ） A．7 B．21 C．35 D．42 【答案】B 【解题思路】根据组合数性质列出关于x的方程和不等式组求出，再根据组合数定义即可求解. 【解答过程】由，得或，且， 解得或， 当时，， 当时，. 故选：B． 【变式3-1】（24-25高二下·云南保山·期中）已知，则（   ） A．2 B．6 C．2或5 D．2或6 【答案】D 【解题思路】由，利用组合公式,列方程进行求解. 【解答过程】由，可得或，解得或. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）（1）已知，计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）126；（2）． 【解题思路】（1）根据给定条件，利用组合数的性质求出并计算得解. （2）利用组合计算公式、排列数公式求解即得. 【解答过程】（1）因为，则，解得，经验证符合题意， 所以 . （2）由，得， 即，而由，知，解得， 所以原方程的解为. 【变式3-3】（24-25高二下·安徽芜湖·期中）解下列方程或不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，利用组合数的性质，得到，求得或，结合，即可求得的值. （2）由不等式，求得，结合且，即可得到答案. 【解答过程】（1）解：由组合数的性质，可得，且， 即，则， 整理得，解得或， 又因为，即，所以. （2）解：由不等式， 可得， 化简得，解得， 又因为且，所以， 所以原不等式的解集是. 【题型4 组合数的性质及应用】 【例4】（2025高三·全国·专题练习）计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用组合数的性质化简得解. 【解答过程】 . 故选：C. 【变式4-1】（24-25高二下·广东深圳·期中）若，则（    ） A．28 B．56 C．112 D．120 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用组合数的性质求出，再利用组合性质求解. 【解答过程】由，得，解得， 所以 . 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二下·河北邯郸·月考）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用代换和组合数的性质计算即可 【解答过程】因为，， ， 故选：C. 【变式4-3】（24-25高二上·吉林长春·期末）下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用组合数的性质可判断AB，利用组合数的计算公式可判断 【解答过程】解：对于A，由组合数的性质可知，，故A正确； 对于B，由组合数的性质可知，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，， 所以，故D错误． 故选： 【题型5 实际问题中的组合计数问题】 【例5】（25-26高二上·甘肃白银·期末）某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 【答案】B 【解题思路】根据丙校派遣的人数进行讨论，结合计数原理即可求解． 【解答过程】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种； 若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种； 所以满足条件的不同的派遣方案有种． 故选：B． 【变式5-1】（24-25高二下·广东广州·期末）在10件产品中，有8件合格品，2件次品.从这10件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法种数是（    ） A．56 B．64 C．72 D．120 【答案】B 【解题思路】利用分类计数原理和分步计数原理结合组合列式计算即可. 【解答过程】根据题意，抽出的3件产品中至少有1件是次品包含1件次品、2件正品和2件次品、1件正品两个事件， 当抽取的为1件次品、2件正品时，抽法有种， 当抽取的为2件次品、1件正品时，抽法有种， 所以抽出的3件产品中至少有1件是次品共有种. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高二下·新疆·期末）某节目要从三名男演员和六名女演员中选出两人，并安排一人做领唱，另一人做领舞，且领唱者或领舞者至少有一人是女性，则不同的安排方法种数为（    ） A．64 B．66 C．68 D．72 【答案】B 【解题思路】应用间接法求2人至少有一人是女性的不同选法数，再将2人全排列，并应用分步乘法求结果. 【解答过程】从9人任选2人有种，若所选2人都是男性有种，故2人至少有一人是女性有种， 所以不同的安排方法种数为. 故选：B. 【变式5-3】（24-25高二下·贵州黔南·期末）贵州是中国旅游资源极为丰富的省份，目前集观光、度假和深度文化体验为一体的新型和谐旅游目的地正在悄然形成.世界旅游组织称赞贵州是“生态之州、文化之州、歌舞之州、美酒之州”.其中黄果树瀑布、梵净山、荔波小七孔、织金洞、镇远古镇、西江千户苗寨都是风景宜人的旅游胜地，小王同学计划在高考结束后从上面6个景点中选择3个游玩，其中镇远古镇和西江千户苗寨最多只去一处，若不考虑游玩顺序，则不同的选择方案有（   ） A．20种 B．18种 C．16种 D．14种 【答案】C 【解题思路】分情况讨论，利用组合数计算. 【解答过程】因为镇远古镇和西江千户苗寨最多只去一处，故可分为两种情况讨论； 当镇远古镇和西江千户苗寨只去一处时，则不同的选择方案为； 当镇远古镇和西江千户苗寨一处也不去时，则不同的选择方案为； 综上：满足题意的不同选择方案有（种）. 故选：C. 【题型6 代数中的组合计数问题】 【例6】（24-25高二下·江苏徐州·月考）用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．105个 B．42个 C．146个 D．52个 【答案】A 【解题思路】对个位数字分四种情况讨论，按照分类加法计数原理及组合数公式计算可得. 【解答过程】若个位数字为，则有个； 若个位数字为，则有个； 若个位数字为，则有个； 若个位数字为，则有个； 综上可得一共有个. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高二下·山西·月考）由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（    ） A．360 B．280 C．156 D．150 【答案】C 【解题思路】分个位的数字为0、2、4并求出对应满足条件的偶数个数即可. 【解答过程】若个位上的数字为0，可以组成个无重复数字的4位数的偶数， 若个位上的数字为2或4，可以组成， 故可以组成个符合条件的数． 故选：C. 【变式6-2】（2025·浙江金华·三模）从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数个数为（    ） A．36 B．54 C．60 D．72 【答案】D 【解题思路】利用分步计数原理与插空法即可求解. 【解答过程】根据题意，完成这件事可分三部： 第一步，选数字，有种； 第二步，将选好的三个数字确定一个重复的数字，有种； 第三步，安排这三个数字在三个位置上，且相邻数位上的数字不同， 即先安排两个不同的数字，再让两个相同的数字取插空，则有种排序方法； 由分步计数原理可得这样的四位数共有个. 故选：D. 【变式6-3】（2025高二·全国·专题练习）用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数？ (1)四位数是奇数； (2)四位数大于3125． 【答案】(1)144 (2)162 【解题思路】（1）结合排列数和组合数的应用，利用分步乘法原理求解即可； （2）结合排列数和组合数的应用，利用分类加法原理求解即可. 【解答过程】（1）第一步，从1．3．5这3个奇数中选择1个放在个位，有种； 第二步，从余下的除0外的4个数中选择1个放在千位上，有种； 第三步，从剩下的4个数中选择2个放在百位和土位，有种． 由分步乘法计数原理可得，共有个满足条件的四位数． （2）第一类，在千位和百位不变的情况下，十位可以是4或者5，共有6个； 第二类，在千位不变的情况下，需要百位大于1，则从2，4，5这3个数中任选1个，有种， 再从剩下的4个数中任选2个放在十位和个位，有种，故共有个； 第三类，千位是4或5，有种，再从余下的5个数中选出3个放在百位、十位和个位上，有种，则共有个． 由分类加法计数原理可得，满足条件的四位数有个． 【题型7 几何组合计数问题】 【例7】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）正八边形的对角线的条数是（    ） A．16 B．20 C．28 D．40 【答案】B 【解题思路】正八边形中，任取2个顶点可以得到一条线段，利用组合数计算可得得到线段的数目，再排除其中正八边形的8条边即可得对角线条数． 【解答过程】正八边形中，任取2个顶点可以得到一条线段，则可以得到条线段，其中包括了正八边形的8条边，则正八边形对角线的条数为条. 故选：B． 【变式7-1】（2025·安徽·模拟预测）在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解题思路】根据棱锥的结构特征，应用组合数及列举法确定所有选取方法数、共面情况的选取方法数，即可得. 【解答过程】如下图，共有个点任选个有种， 每个侧面的个点都共面，任选个有种，共个面，则有种共面情况， 如、、分别构成一个平面，有种， 如、、、、、分别构成一个平面，有种， 综上，在三棱锥的顶点和各棱中点取个不共面的点，不同的取法共有种. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高二下·广西河池·月考）从正六边形的个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出选出的三个点能构成三角形的选法种数，并求出等边三角形的个数，结合间接法可得结果. 【解答过程】在正六边形中，为其中心，如下图所示： 从这七个点中任选三个点，共有种，其中三点共线的情形有种， 所以，能构成的三角形的个数为个， 其中，构成的等边三角形分别为、、、、、 、、，共个， 所以，构成的三角形不是等边三角形的个数是个. 故选：A. 【变式7-3】（24-25高二下·河南郑州·期中）如图，已知图形，内部连有线段．图中矩形总计有（    ）个． A．75 B．111 C．102 D．120 【答案】C 【解题思路】由题意转化为条件为从竖线中选出两条，横线中选出两条组成图形，按照矩形的边不在上和在上两种情况讨论，利用分步乘法和组合的知识求解即可. 【解答过程】由题意，要组成矩形应从竖线中选两条、横线中选两条，可分两种情况： 当矩形的边不在上时，共有个， 当矩形的边在上时，共有个， 所以图中矩形总计有个. 故选：C. 【题型8 分组分配问题】 【例8】（25-26高三上·重庆·月考）某班 5 名学生负责校内 3 个不同地段的卫生工作. 每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作，每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有（   ） A．300 种 B．90 种 C．240 种 D．150 种 【答案】D 【解题思路】利用先分组后分配原则来进行求解即可. 【解答过程】先将5名学生分成三组的分法有：（种） 再将这三组学生分配到三个地段共有：（种） 所以利用分步乘法原理，可知每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有（种） 故选：D. 【变式8-1】（24-25高二下·福建福州·期末）某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ） A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 【答案】D 【解题思路】先将论文分成3组，再分配给专家. 【解答过程】先将5篇论文分成3组且每组至少一篇，只有两种分组方法：和 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法； 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法. 因此总计种分配方式. 故选：D. 【变式8-2】（2025高二·全国·专题练习）将6个不同的球分别按如下方式来分，写出不同分法的种数． (1)平均分成3堆，每堆2个； (2)分给甲、乙、丙3人，每人2个； (3)分成3堆，每堆个数分别为1个、2个、3个： (4)分给甲1个、乙2个、丙3个； (5)分给3人，3人分别得到1个、2个、3个． 【答案】(1)15 (2)90 (3)60 (4)60 (5)360 【解题思路】（1）利用平均分组法求解即可； （2）利用平均分组分配求解即可； （3）利用不平均分组法求解即可； （4）利用不平均分组分配求解即可； （5）利用不平均分组，结合排列数公式求解即可； 【解答过程】（1）本题是平均分组无归属问题，则共有种分法． （2）本题是平均分组有归属问题，则共有种分法． （3）本题是不平均分组问题，则共有种分法． （4）本题是不平均分组有归属且归属确定问题，将球按照分成3堆， 甲、乙、丙3人来拿，只有1种拿法，则共有种分法． （5）本题是不平均分组目归属不确定问题，先将球按照分成3堆， 有种分法，再分给3人，有种分法， 因此共有种分法. 【变式8-3】（24-25高二下·山东临沂·期中）学校有一队含有2名教师、3名高一学生、3名高二学生和2名高三学生的志愿者队伍，现从这10名志愿者中选调6名志愿者平均分配到、两个社区作宣传活动.求： (1)若选调的志愿者中必须有教师，则有多少种选调方法（不需要分配到社区）？ (2)若每个社区必须有教师带队，且不含高三学生，则有多少种分配方法？ (3)若选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，则有多少种分配方法？ 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）分恰有1名教师和恰有2名教师两种情况讨论，利用组合数公式计算可得； （2）从高一、高二6名学生中选4人，然后在进行平均分配，其中两名教师有两种分配方法； （3）分高一高二各选1、、名学生三种情况讨论，先选人，再平均分配到社区. 【解答过程】（1）选调的志愿者中恰有1名教师，先选1名教师，再从剩余8人中选5人，共有种选法． 选调的志愿者中恰有2名教师，先选2名教师，再从8人中选4人，共有种选法． 所以志愿者中有教师的选调方法为：种． （2）若每个社区中必有教师，则2名教师均需选用， 再从高一、高二6名学生中选4人，然后在进行分配，共有种分配方法． （3）选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，有分配时有三种情况： 当高一高二各选1名学生时，种分配方法； 当高一高二各选2名学生时，种分配方法； 当高一高二各选3名学生时，种分配方法； 则共有种分配方法. 【题型9 排列、组合综合】 【例9】（24-25高二下·海南三亚·月考）某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（   ） A．12种 B．24种 C．36种 D．30种 【答案】B 【解题思路】根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解. 【解答过程】因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素， 因此原问题转化为要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素， 若A学校只安排一个元素，该元素不为丙，则有种分配方法； 若A学校只安排两个元素，则需从甲乙、丁、戊中选两个元素， 则有种分配方法； 所以不同的安排方式有种； 故选：B. 【变式9-1】（24-25高三上·河北邢台·期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（   ） A．72 B．96 C．114 D．124 【答案】C 【解题思路】根据题意，先将5人分为三组并分配到各个场地，再计算得出甲乙不在同一个场地的情况即可求解. 【解答过程】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 故不同的安排方法共有种. 故选：C. 【变式9-2】（24-25高二下·全国·课后作业）现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据特殊元素优先安排求解即可. （2）利用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的名男学生即可. （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可. 【解答过程】（1）由题意可得共种不同的站法． （2）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法， 最后排剩余的名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法． （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法， 两老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法． 【变式9-3】（24-25高二下·福建三明·月考）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程. (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 【答案】(1)504 (2)360 (3)1140种 【解题思路】（1）利用间接法计算可得； （2）首先确定甲和乙的不同课程、相同的课程，最后再确定丙的课程，按照分步乘法计数原理计算可得； （3）分只任教1科和任教2科两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得. 【解答过程】（1）依题得，共有种； （2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲，乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. （3）①当只任教1科时：先排任教科目，有种； 再从剩下5科中排的任教科目，有种； 接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种； 所以当只任教1科时，共有种； ②当任教2科时：先选任教的2科有种， 这样6科分为4组共有种， 所以当任教2科时，共有种， 综上课程安排方案有1140种. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 组合（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 组合数的计算】 2 【题型2 利用组合数公式证明】 3 【题型3 组合数方程和不等式】 4 【题型4 组合数的性质及应用】 5 【题型5 实际问题中的组合计数问题】 5 【题型6 代数中的组合计数问题】 6 【题型7 几何组合计数问题】 6 【题型8 分组分配问题】 7 【题型9 排列、组合综合】 8 知识点1 组合与组合数 1．组合 (1)组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. (3)排列与组合的联系与区别 联系：都是从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素. 区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. 2．组合数与组合数公式 (1)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式 ①连乘表示： . 这里，n,m∈N*，并且m≤n. ②阶乘表示：. 规定：. 3．组合数的性质 (1)性质1： 这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素后，剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. (2)性质2： 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法. 由分类加法计数原理可得：. 在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等. 4．组合问题的分类与解法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 5．分组分配问题 (1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题. (2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可. (3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解. 【题型1 组合数的计算】 【例1】（24-25高二下·广东江门·期末）计算的值是（ ） A．41 B．61 C．62 D．82 【变式1-1】（24-25高二下·广东深圳·期中）若，则（    ） A．28 B．56 C．112 D．120 【变式1-2】（24-25高二下·浙江台州·期中）计算：（用数字作答） (1)； (2)． 【变式1-3】（24-25高二·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)． 【题型2 利用组合数公式证明】 【例2】（24-25高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 【变式2-1】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）（1）计算：； （2）证明：. 【变式2-2】（2025高三·全国·专题练习）求证： (1)； (2)． 【变式2-3】（24-25高二上·上海·课后作业）已知m是自然数，n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 【题型3 组合数方程和不等式】 【例3】（24-25高二下·广西来宾·月考）已知，则（   ） A．7 B．21 C．35 D．42 【变式3-1】（24-25高二下·云南保山·期中）已知，则（   ） A．2 B．6 C．2或5 D．2或6 【变式3-2】（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）（1）已知，计算：； （2）解方程：． 【变式3-3】（24-25高二下·安徽芜湖·期中）解下列方程或不等式： (1)； (2). 【题型4 组合数的性质及应用】 【例4】（2025高三·全国·专题练习）计算的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二下·广东深圳·期中）若，则（    ） A．28 B．56 C．112 D．120 【变式4-2】（24-25高二下·河北邯郸·月考）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·吉林长春·期末）下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型5 实际问题中的组合计数问题】 【例5】（25-26高二上·甘肃白银·期末）某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 【变式5-1】（24-25高二下·广东广州·期末）在10件产品中，有8件合格品，2件次品.从这10件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法种数是（    ） A．56 B．64 C．72 D．120 【变式5-2】（24-25高二下·新疆·期末）某节目要从三名男演员和六名女演员中选出两人，并安排一人做领唱，另一人做领舞，且领唱者或领舞者至少有一人是女性，则不同的安排方法种数为（    ） A．64 B．66 C．68 D．72 【变式5-3】（24-25高二下·贵州黔南·期末）贵州是中国旅游资源极为丰富的省份，目前集观光、度假和深度文化体验为一体的新型和谐旅游目的地正在悄然形成.世界旅游组织称赞贵州是“生态之州、文化之州、歌舞之州、美酒之州”.其中黄果树瀑布、梵净山、荔波小七孔、织金洞、镇远古镇、西江千户苗寨都是风景宜人的旅游胜地，小王同学计划在高考结束后从上面6个景点中选择3个游玩，其中镇远古镇和西江千户苗寨最多只去一处，若不考虑游玩顺序，则不同的选择方案有（   ） A．20种 B．18种 C．16种 D．14种 【题型6 代数中的组合计数问题】 【例6】（24-25高二下·江苏徐州·月考）用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．105个 B．42个 C．146个 D．52个 【变式6-1】（24-25高二下·山西·月考）由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（    ） A．360 B．280 C．156 D．150 【变式6-2】（2025·浙江金华·三模）从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数个数为（    ） A．36 B．54 C．60 D．72 【变式6-3】（2025高二·全国·专题练习）用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数？ (1)四位数是奇数； (2)四位数大于3125． 【题型7 几何组合计数问题】 【例7】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）正八边形的对角线的条数是（    ） A．16 B．20 C．28 D．40 【变式7-1】（2025·安徽·模拟预测）在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式7-2】（24-25高二下·广西河池·月考）从正六边形的个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二下·河南郑州·期中）如图，已知图形，内部连有线段．图中矩形总计有（    ）个． A．75 B．111 C．102 D．120 【题型8 分组分配问题】 【例8】（25-26高三上·重庆·月考）某班 5 名学生负责校内 3 个不同地段的卫生工作. 每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作，每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有（   ） A．300 种 B．90 种 C．240 种 D．150 种 【变式8-1】（24-25高二下·福建福州·期末）某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ） A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 【变式8-2】（2025高二·全国·专题练习）将6个不同的球分别按如下方式来分，写出不同分法的种数． (1)平均分成3堆，每堆2个； (2)分给甲、乙、丙3人，每人2个； (3)分成3堆，每堆个数分别为1个、2个、3个： (4)分给甲1个、乙2个、丙3个； (5)分给3人，3人分别得到1个、2个、3个． 【变式8-3】（24-25高二下·山东临沂·期中）学校有一队含有2名教师、3名高一学生、3名高二学生和2名高三学生的志愿者队伍，现从这10名志愿者中选调6名志愿者平均分配到、两个社区作宣传活动.求： (1)若选调的志愿者中必须有教师，则有多少种选调方法（不需要分配到社区）？ (2)若每个社区必须有教师带队，且不含高三学生，则有多少种分配方法？ (3)若选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，则有多少种分配方法？ 【题型9 排列、组合综合】 【例9】（24-25高二下·海南三亚·月考）某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（   ） A．12种 B．24种 C．36种 D．30种 【变式9-1】（24-25高三上·河北邢台·期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（   ） A．72 B．96 C．114 D．124 【变式9-2】（24-25高二下·全国·课后作业）现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 【变式9-3】（24-25高二下·福建三明·月考）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程. (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $