专题7.2 排列（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第二册

本讲义聚焦排列核心知识点，系统梳理排列定义、排列数公式及阶乘表示，构建从概念理解到公式应用的递进学习支架，涵盖全排列、元素（位置）有限制、相邻与不相邻等排列应用问题类型。 资料按“知识点+题型”设计，7类题型含例题与变式，通过捆绑法解相邻问题、插空法解不相邻问题等，培养数学思维与逻辑推理。结合排数字、排队照相等实例，引导用数学眼光观察现实，课中辅助教师系统教学，课后助力学生强化练习查漏补缺。

专题7.2 排列（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 排列数的计算】 2 【题型2 用排列数公式证明】 3 【题型3 排列数方程和不等式】 4 【题型4 全排列问题】 5 【题型5 元素（位置）有限制的排列问题】 5 【题型6 相邻问题的排列问题】 5 【题型7 不相邻排列问题】 6 知识点1 排列与排列数 1．排列 (1)排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意. (3)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m(m≤n，n,m∈N*)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 2．排列数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式 n(n-1)(n-2)…(n-m+1).这里，n,m∈N*)，并且m≤n. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；…；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数. 3．全排列和阶乘 (1)全排列 特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n，即有n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1. (2)阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成， 规定0!=1. (3)排列数公式的阶乘表示 . 【题型1 排列数的计算】 【例1】（24-25高二下·广东清远·期末）（    ） A．8 B．13 C．63 D．66 【变式1-1】（25-26高二上·全国·单元测试）可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·全国·课后作业）计算下列各式． (1)； (2)． 【变式1-3】（24-25高二下·广东茂名·月考）计算： (1)； (2)； (3)若，求值. 【题型2 用排列数公式证明】 【例2】（24-25高二·江苏·课后作业）求证： (1)； (2)． 【变式2-1】（2025高二·江苏·专题练习）求证： 【变式2-2】（2025高三·全国·专题练习）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． 【变式2-3】（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【题型3 排列数方程和不等式】 【例3】（24-25高二下·福建莆田·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二下·新疆哈密·月考）已知，则等于（    ） A．12 B．7 C．6或13 D．6 【变式3-2】（24-25高二下·江苏盐城·月考）（1）计算：； （2）解不等式：. 【变式3-3】（24-25高二下·江苏扬州·月考）计算下列各题： (1)； (2)解方程：. 知识点2 排列应用问题的分类与求解思路 1．排列应用问题的分类与求解思路 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中. (4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可. (5)间接法：正面分类太多从反面入手. 【题型4 全排列问题】 【例4】（24-25高二下·四川南充·期末）用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【变式4-1】（24-25高二下·广东清远·期中）A，B，C，D，E五个人站成一排照相留念，不同的排法种数有（   ） A．240 B．120 C．96 D．60 【变式4-2】（24-25高二下·河南·月考）现将一个7、两个3、三个5排成一排，不同的排列方法有 种. 【变式4-3】（24-25高二上·上海·期末）甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到，，，四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位服务的排法有 种. 【题型5 元素（位置）有限制的排列问题】 【例5】（24-25高二下·内蒙古·期末）已知甲、乙、丙、丁、戊5名同学站一排照相，要求甲、乙站在丙、丁之间，则不同站法有（   ） A．20 B．30 C．36 D．48 【变式5-1】（24-25高二下·广东广州·期末）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 【变式5-2】（24-25高二下·天津滨海新·期末）有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（   ） A．8种 B．12种 C．20种 D．24种 【变式5-3】（24-25高二下·四川眉山·期末）某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行．为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，踢毽在跳绳的前面，则不同的安排方案种数为（  ） A．9 B．18 C．21 D．24 【题型6 相邻问题的排列问题】 【例6】（24-25高二下·吉林·月考）甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的方案共有（   ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【变式6-1】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【变式6-2】（24-25高二下·江苏徐州·期末）某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有（   ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【变式6-3】（24-25高二下·湖北黄冈·期末）某地下车库有8个连在一排的车位.现有6辆不同型号的车需要停放，若其中A，B，C，3辆车相邻停放，另3辆车也相邻停放，但这6辆车不停放在一起的不同停放种数为（    ） A．72 B．144 C．216 D．432 【题型7 不相邻排列问题】 【例7】（24-25高二下·贵州遵义·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 【变式7-1】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 【变式7-2】（24-25高二下·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 【变式7-3】（24-25高二下·陕西西安·期末）为了加强家校协作，华清中学4月召开了2024-2025学年度家长会，高二某班计划让1名班干部，2名家长，3名优秀学生代表发言，会后合影留念，要求2名家长不相邻，3名优秀学生代表也不能相邻，则不同排法共有（   ） A．72 B．84 C．120 D．150 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 排列（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 排列数的计算】 2 【题型2 用排列数公式证明】 3 【题型3 排列数方程和不等式】 5 【题型4 全排列问题】 6 【题型5 元素（位置）有限制的排列问题】 7 【题型6 相邻问题的排列问题】 9 【题型7 不相邻排列问题】 10 知识点1 排列与排列数 1．排列 (1)排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意. (3)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m(m≤n，n,m∈N*)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 2．排列数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式 n(n-1)(n-2)…(n-m+1).这里，n,m∈N*)，并且m≤n. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；…；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数. 3．全排列和阶乘 (1)全排列 特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n，即有n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1. (2)阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成， 规定0!=1. (3)排列数公式的阶乘表示 . 【题型1 排列数的计算】 【例1】（24-25高二下·广东清远·期末）（    ） A．8 B．13 C．63 D．66 【答案】D 【解题思路】根据排列数公式计算即可. 【解答过程】. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·全国·单元测试）可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据排列数的计算公式进行判断. 【解答过程】中总共有个数连乘， 故． 故选：A. 【变式1-2】（24-25高二下·全国·课后作业）计算下列各式． (1)； (2)． 【答案】(1)480 (2)16 【解题思路】（1）（2）利用排列数的计算公式直接计算即可得结果. 【解答过程】（1）； （2）. 【变式1-3】（24-25高二下·广东茂名·月考）计算： (1)； (2)； (3)若，求值. 【答案】(1)5040 (2)5 (3)6 【解题思路】（1）（2）（3）根据排列数的计算公式即可求解. 【解答过程】（1） （2） （3）若，则 所以 解得或（舍），所以. 【题型2 用排列数公式证明】 【例2】（24-25高二·江苏·课后作业）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用排列数公式化简可证得等式成立； （2）利用排列数公式化简可证得等式成立. 【解答过程】（1）证明：. （2）证明：. 【变式2-1】（2025高二·江苏·专题练习）求证： 【答案】证明见解析 【解题思路】利用排列数公式将展开，即可证结论. 【解答过程】， ， ， 综上，. 【变式2-2】（2025高三·全国·专题练习）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据排列数公式计算； （2）根据排列数公式计算可得左右两边相等. 【解答过程】（1）. （2），. 【变式2-3】（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解. 【解答过程】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 【题型3 排列数方程和不等式】 【例3】（24-25高二下·福建莆田·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用排列数公式展开化简，得，再结合即可. 【解答过程】则，得， 得，又因为，则. 故选：C. 【变式3-1】（24-25高二下·新疆哈密·月考）已知，则等于（    ） A．12 B．7 C．6或13 D．6 【答案】D 【解题思路】根据排列数公式，化简计算，结合的取值范围，即可得答案. 【解答过程】由题意，，即， 化简可得，即，解得或 因为，所以，故 故选：D. 【变式3-2】（24-25高二下·江苏盐城·月考）（1）计算：； （2）解不等式：. 【答案】（1）64；（2）3或4 【解题思路】（1）利用排列数公式计算即可； （2）根据排列数公式运算求解即可. 【解答过程】（1）. （2）因为，可知，且， 整理可得，解得， 且，所以或. 【变式3-3】（24-25高二下·江苏扬州·月考）计算下列各题： (1)； (2)解方程：. 【答案】(1) (2)6 【解题思路】（1）根据排列数公式计算，可得答案； （2）根据排列数公式化简可得一元二次方程，结合排列数性质，即可求得答案. 【解答过程】（1）； （2）由，得， 即，即， 解得或， 又因为且，故， 故的解为. 知识点2 排列应用问题的分类与求解思路 1．排列应用问题的分类与求解思路 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中. (4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可. (5)间接法：正面分类太多从反面入手. 【题型4 全排列问题】 【例4】（24-25高二下·四川南充·期末）用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【解题思路】根据全排列规则，计算结果即可. 【解答过程】可知4个数字组成没有重复数字的四位数的个数是， 故选：B. 【变式4-1】（24-25高二下·广东清远·期中）A，B，C，D，E五个人站成一排照相留念，不同的排法种数有（   ） A．240 B．120 C．96 D．60 【答案】B 【解题思路】应用排列数求不同排法数即可. 【解答过程】根据题意，只需将5人作全排列，故共有种排法. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二下·河南·月考）现将一个7、两个3、三个5排成一排，不同的排列方法有 种. 【答案】60 【解题思路】根据全排列公式计算即可求解. 【解答过程】由题意知，一个7，两个3，三个5共6个数字全排列，共种方法， 又因为6个数字中有两个3和三个5是重复的， 所以共有种方法. 故答案为：60. 【变式4-3】（24-25高二上·上海·期末）甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到，，，四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位服务的排法有 种. 【答案】 【解题思路】依题意只需另外三个人在､､三个位置进行全排列，利用排列数公式计算可得. 【解答过程】当甲､乙两人同时参加岗位服务时，另外三个人在､､三个位置进行全排列， 满足条件的事件数是，即甲､乙两人同时参加岗位服务的排法有6种. 故答案为：. 【题型5 元素（位置）有限制的排列问题】 【例5】（24-25高二下·内蒙古·期末）已知甲、乙、丙、丁、戊5名同学站一排照相，要求甲、乙站在丙、丁之间，则不同站法有（   ） A．20 B．30 C．36 D．48 【答案】A 【解题思路】由题意甲、乙站在丙、丁之间，先排丙、丁，再将甲、乙排在丙、丁之间，再排戊以及分步乘法计算原理即可得出. 【解答过程】由题意先将丙、丁排列有种站法， 再将甲、乙排在丙、丁之间有种站法， 最后在排好的4人所形成的5个空挡中选一个站戊， 有种站法， 根据分步乘法计数原理， 得共有种不同的站法. 故选：A. 【变式5-1】（24-25高二下·广东广州·期末）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 【答案】C 【解题思路】利用特殊元素优先法，结合计数原理以及排列数，即可求解. 【解答过程】若五位数的个位为零，其余数位随意安排，这样的数有个， 若五位数的个位不为零，而个位仅有2，4两种选择，万位有3种选择，这样的数有， 所以五位的偶数有. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高二下·天津滨海新·期末）有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（   ） A．8种 B．12种 C．20种 D．24种 【答案】D 【解题思路】由分步乘法原理，特殊的先排可得. 【解答过程】先选男生甲的位置，有2种； 再将两名女生绑定排列有2种，然后与剩余同学全排列有种； 由分步乘法原理可得共有种. 故选：D. 【变式5-3】（24-25高二下·四川眉山·期末）某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行．为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，踢毽在跳绳的前面，则不同的安排方案种数为（  ） A．9 B．18 C．21 D．24 【答案】A 【解题思路】因为拔河排在最后一场，先排第一场，再排剩余三场，再根据对称性即可得结果. 【解答过程】因为拔河排在最后一场，且多人多足不排在第一场， 先排第一场，有种，再排剩余三场，有种， 共有种， 又因为踢毽在跳绳的前面，根据对称性可知不同的安排方案种数为. 故选：A. 【题型6 相邻问题的排列问题】 【例6】（24-25高二下·吉林·月考）甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的方案共有（   ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【答案】C 【解题思路】分乙在甲、丙之间，乙不在甲、丙之间两种情况讨论即可. 【解答过程】根据题意，可分成两类情况： 第一类：乙在甲、丙之间，有种； 第二类：乙不在甲、丙之间，有种； 由分类加法计数原理，共有种方案. 故选：C. 【变式6-1】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【答案】D 【解题思路】应用捆绑法及特殊位置优先处理计算求解 【解答过程】甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演， 若甲和乙相邻，则有种排法，且甲和乙都不站在两端丙、丁、戊、己4名同学选2人在两端有种排法， 所以不同的排列方式有种排法. 故选：D. 【变式6-2】（24-25高二下·江苏徐州·期末）某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有（   ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】A 【解题思路】利用捆绑法即可求解. 【解答过程】利用捆绑法排3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目有种. 故选：A. 【变式6-3】（24-25高二下·湖北黄冈·期末）某地下车库有8个连在一排的车位.现有6辆不同型号的车需要停放，若其中A，B，C，3辆车相邻停放，另3辆车也相邻停放，但这6辆车不停放在一起的不同停放种数为（    ） A．72 B．144 C．216 D．432 【答案】C 【解题思路】采用分步乘法计数原理结合捆绑法插空法计算即可. 【解答过程】第一步：先排A，B，C，3辆车共有种排法， 第二步：再排另3辆车共有种排法， 第三步：还剩两个空车位，把两个捆绑体插入两个空车位产生的3个空中共有种排法， 由分步乘法计数原理可知这6辆车不同停放种数共有：种排法. 故选：C. 【题型7 不相邻排列问题】 【例7】（24-25高二下·贵州遵义·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 【答案】C 【解题思路】利用捆绑法和插空法，结合排列知识进行求解. 【解答过程】将“立春”和“春分”两块展板捆绑成一个整体，有种放置方法， 捆绑后的“立春”和“春分”整体与“雨水”，“谷雨”进行全排列，共有种方法， 再将“清明”和“惊蛰”进行插空，4个空选择2个，共有种方法， 综上，共有种放置方式. 故选：C. 【变式7-1】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 【答案】C 【解题思路】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻，去除其中乙丙相邻情况，即可求得答案. 【解答过程】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻， 此时共有种排列方式； 然后考虑其中乙和丙位置相邻的情况，即将乙和丙看作一个元素，和丁、戊全排列， 在这3个元素之间形成的两个位置上选一个将甲插入， 此时共有种排列方式； 故符合题意的不同排列方式共有（种）， 故选：C. 【变式7-2】（24-25高二下·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 【答案】C 【解题思路】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语言类节目在第一个出场对应的方法数即可. 【解答过程】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法， 减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空， 有种方法，故不同的出场方式共有种. 故选：C. 【变式7-3】（24-25高二下·陕西西安·期末）为了加强家校协作，华清中学4月召开了2024-2025学年度家长会，高二某班计划让1名班干部，2名家长，3名优秀学生代表发言，会后合影留念，要求2名家长不相邻，3名优秀学生代表也不能相邻，则不同排法共有（   ） A．72 B．84 C．120 D．150 【答案】C 【解题思路】由计数原理结合排列组合知识即可求解. 【解答过程】当班干部是第一个发言的时候，满足题意的排法有， 当班干部是第二个发言的时候，满足题意的排法有， 当班干部是第三个发言的时候，满足题意的排法有， 根据对称性可知，让1名班干部，2名家长，3名优秀学生代表发言，满足题意的发言顺序有. 故选：C. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $