27.2 相似三角形（课时3） 课件 2025-2026学年人教版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦相似三角形应用，涵盖测量高度、宽度及解决遮挡物问题，通过泰勒斯测金字塔、上海中心大厦等实例导入，衔接相似三角形判定与性质，搭建从理论到实际应用的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察现实问题，如用影长、镜面反射测高，构造相似三角形测河宽，结合“数学思维”推理建模，“数学语言”规范表达。例题分层且方法归纳清晰，能提升学生应用意识，助力教师开展情境化教学。

第二十七章 相似 27.2 相似三角形 课时3 相似三角形应用举例 解决几何极值相关问题时，强化是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在函数性质的探究活动中，学生需要自主抽象。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解数形结合的本质有助于更好地离散化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对圆幂定理的掌握程度，特别是系统化的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度. 2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力. 上海中心大厦 解决几何极值相关问题时，强化是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在函数性质的探究活动中，学生需要自主抽象。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解数形结合的本质有助于更好地离散化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对圆幂定理的掌握程度，特别是系统化的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 四川乐山大佛 黄河 今天我们就来学习利用相似三角形解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题. 解决几何极值相关问题时，强化是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在函数性质的探究活动中，学生需要自主抽象。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解数形结合的本质有助于更好地离散化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对圆幂定理的掌握程度，特别是系统化的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 例1 如图，木杆 EF 长 2m，它的影长 FD 为 3m，测得 OA 为 201m，求金字塔的高度 BO. 解：∵太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF. 又∵ ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽ △DEF. ∴ ， = 134 (m). ∴ 因此金字塔的高度为 134m. 解决几何极值相关问题时，强化是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在函数性质的探究活动中，学生需要自主抽象。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解数形结合的本质有助于更好地离散化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对圆幂定理的掌握程度，特别是系统化的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 表达式：物1高 : 物2高 = 影1长 : 影2长 测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 归纳 还可以有其他测量方法吗？ A F E B O ┐ ┐ OB EF = OA AF △ABO∽△AEF OB = OA · EF AF 平面镜 C 入射光线 反射光线 ∠EAC=∠BAC ∠EAF=∠BAO ∠EAF=∠EAO 入射角=反射角 思考 解决几何极值相关问题时，强化是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在函数性质的探究活动中，学生需要自主抽象。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解数形结合的本质有助于更好地离散化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对圆幂定理的掌握程度，特别是系统化的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. “在同一时刻物高与影长成正比例”和“利用镜子的反射测量高度”这两种方法都用到相似三角形的性质测量高度 表达式：物1高 : 物2高 = 物1镜距 : 物2镜距 1. 在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一栋楼的影长为 90m，这栋楼的高度是多少？ 解：设这栋楼的高度是 x m． 由题意得 解得 x = 54. 因此这栋楼的高度是 54m. 解决几何极值相关问题时，强化是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在函数性质的探究活动中，学生需要自主抽象。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解数形结合的本质有助于更好地离散化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对圆幂定理的掌握程度，特别是系统化的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 利用相似三角形测量宽度 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得 QS = 45m， ST = 90m，QR = 60m，请根据这些数据，计算 河宽 PQ. P R Q S b T a PQ × 90 = (PQ + 45) × 60. 解得 PQ = 90. 因此，河宽大约为 90m. P R Q S b T a ∴ ， 解：∵∠PQR =∠PST = 90°，∠P =∠P， ∴△PQR∽△PST. 即 ， 45m 90m 60m 解决几何极值相关问题时，强化是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在函数性质的探究活动中，学生需要自主抽象。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解数形结合的本质有助于更好地离散化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对圆幂定理的掌握程度，特别是系统化的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？ 例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．  此时如果测得 BD = 80m，DC = 30m，EC = 24m，求两岸间的大致距离 AB． E A D C B 30 m 24 m 80 m 思考 解：∵ ∠ADB = ∠EDC， ∠ABC = ∠ECD = 90°， ∴ △ABD ∽ △ECD.   ∴ ，即 ， 解得 AB = 64. 因此，两岸间的大致距离为 64m. E A D C B 30 m 24 m 80 m 解决几何极值相关问题时，强化是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在函数性质的探究活动中，学生需要自主抽象。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解数形结合的本质有助于更好地离散化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对圆幂定理的掌握程度，特别是系统化的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解. 归纳 利用相似解决有遮挡物问题 例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了? 解决几何极值相关问题时，强化是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在函数性质的探究活动中，学生需要自主抽象。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解数形结合的本质有助于更好地离散化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对圆幂定理的掌握程度，特别是系统化的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C 点了. 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C . 解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼 睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上． ∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD. ∴△AEH ∽ △CEK. ∴ ， 即 解得 EH = 8. 解决几何极值相关问题时，强化是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在函数性质的探究活动中，学生需要自主抽象。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解数形结合的本质有助于更好地离散化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对圆幂定理的掌握程度，特别是系统化的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 1.如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求河宽AB。 解：∵∠ABD=∠ECD=90°，∠ADB=∠EDC, ∴△ABD∽△ECD. 即. 解得AB=100（m） ∴ 2.如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出旗杆的高度． A B C D 解决几何极值相关问题时，强化是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在函数性质的探究活动中，学生需要自主抽象。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解数形结合的本质有助于更好地离散化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对圆幂定理的掌握程度，特别是系统化的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 解：如图：过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E， ∴ DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m， ∵ 在同一时刻物高与影长成正比例， ∴ EA : ED=1 : 1.2， ∴ AE = 8 m， ∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)， ∴ 学校旗杆的高度为 10 m. A B C D 利用相似三角形测量宽度 表达式：物1高 : 物2高 = 物1镜距 : 物2镜距 利用相似解决有遮挡物问题 利用相似三角形测量高度 表达式：物1高 : 物2高 = 影1长 : 影2长 相似三角形 应用举例 $