8.2 第1课时 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计，通过恩格尔系数实例导入，引导学生思考变量线性相关时的模型构建，搭建从实际问题到数学抽象的学习支架，衔接前后知识逻辑。 其亮点在于融合数学建模与数据分析素养，以典型例题（如成绩关系、气温与用电量）和跟踪训练强化数学运算，通性通法总结助力思维形成。既提升学生解决实际问题能力，也为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

8.2　 一元线性回归模型及其应用 新课程标准解读 核心素养 1.结合实例，了解一元线性回归模型的含 义，了解模型参数的统计意义 数学抽象 2.了解最小二乘法的思想，会求经验回归 方程，并会用一元线性回归模型进行预测 数学运算、数学建模、 数据分析 3.了解随机误差、残差、残差图的概念 数学抽象、直观想象 第1课时　 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 恩格尔系数是根据恩格尔定律得出的比例数，指居民家庭中食物支出 占消费总支出的比重，是表示生活水平高低的一个指标.其计算公 式：恩格尔系数＝食物支出金额÷总支出金额. 目录 数学·必修第一册 　　一个家庭收入越少，家庭收入中或者家庭总支出中用来购买食物 的支出所占的比例就越大，随着家庭收入的增加，家庭收入中或者家 庭总支出中用来购买食物的支出所占比例将会下降. 【问题】　恩格尔系数是预测生活水平高低的一个模型，那么当两个 变量线性相关时，我们如何对成对样本数据建立一个模型进行预测？ 目录 数学·必修第一册 知识点一　一元线性回归模型 　称 为Y关于x的一元线性回归模型.其 中，Y称为 或 ，x称为 或 ⁠ ； 称为截距参数， 称为斜率参数；e是 ⁠ 与 之间的随机误差，如果e＝ ，那么Y与x之间的关 系就可以用一元线性函数模型来描述. 因变量　 响应变量　 自变量　 解释 变量　 a　 b　 Y　 bx＋a　 0　 目录 数学·必修第一册 知识点二　最小二乘法和经验回归方程 　将 ＝ x＋ 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或 经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方 法叫做最小二乘法，求得的 ， 叫做b，a的最小二乘估计，其中， ＝ ， ＝ － . 目录 数学·必修第一册 提醒　（1）经验回归方程不一定过成对样本数据（x1，y1）， （x2，y2），…，（xn，yn）中的某一点；（2）经验回归直线一定经 过样本点的中心（ ， ）；（3） ＝ . 目录 数学·必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个变量之间产生随机误差的原因仅仅是因为测量工具产生 的误差. （　×　） （2）经验回归方程最能代表观测值x，y之间的线性关系，且经验 回归直线过样本点的中心（ ， ）. （　√　） （3）求经验回归方程前可以不进行相关性检验. （　×　） （4）利用经验回归方程求出的值是准确值. （　×　） × √ × × 目录 数学·必修第一册 2. （多选）下列有关经验回归方程 ＝ x＋ 的叙述正确的是（　　） A. 反映 与x之间的函数关系 B. 反映y与x之间的函数关系 C. 表示 与x之间不确定关系 D. 表示最接近y与x之间真实关系的一条直线 解析： 　 ＝ x＋ 表示 与x之间的函数关系，而不是y与x 之间的函数关系，但它反映的关系最接近y与x之间的真实关系， 故选A、D. 目录 数学·必修第一册 3. 某地区近十年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合 ＝ 0.8x＋0.1（单位：亿元），则预计今年该地区居民收入为15亿元 时，年支出估计是 亿元. 解析：∵ ＝0.8x＋0.1，∴ ＝0.8×15＋0.1＝12.1（亿元）. 12.1　 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 一元线性回归模型的理解 【例1】　在一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，下列说法正确的是 （　　） A. Y＝bx＋a＋e是一次函数 B. 响应变量Y是由解释变量x唯一确定的 C. 响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影 响，这些因素会导致随机误差e的产生 D. 随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误 差e的产生 目录 数学·必修第一册 解析： 　对于A中，一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，方程表示 的不是确定性关系，因此不是一次函数，所以A错误；对于B中，响 应变量Y不是由解释变量x唯一确定的，所以B错误；对于C中，响应 变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这 些因素会导致随机误差e的产生，所以C正确；对于D中，随机误差是 不能避免的，只能将误差缩小，所以D错误.故选C. 目录 数学·必修第一册 通性通法 　　在一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，模型中的Y也是随机变 量，其值虽然不能由变量x的值确定，但是却能表示为bx＋a与e的 和（叠加），前一部分由x所确定，后一部分是随机的. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　关于一元线性回归模型给出下列 说法： ①表达式Y＝bx＋a＋e刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关 系；②bx＋a反映了由于x的变化而引起的Y的线性变化；③误差项e 是一个期望值为0的随机变量，即E（e）＝0；④对于所有的x值，e 的方差σ2都相同.其中正确的是 （填序号）. 解析：根据一元线性回归模型的含义可知，以上说法均正确. ①②③④　 目录 数学·必修第一册 题型二 求经验回归方程 【例2】　某班5名学生的数学和物理成绩如下表： 学生 A B C D E 数学成绩x/分 88 76 73 66 63 物理成绩y/分 78 65 71 64 61 （1）画出散点图； 解： 散点图如图所示. 目录 数学·必修第一册 （2）求物理成绩y关于数学成绩x的经验回归方程（结果保留三位小 数）. 参考公式： ＝ ＝ ， ＝ － . 目录 数学·必修第一册 解： 因为 ＝ ×（88＋76＋73＋66＋63）＝73.2， ＝ ×（78＋65＋71＋64＋61）＝67.8， xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054， ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174， 所以 ＝ ≈0.625， ＝ － ≈67.8－0.625×73.2＝22.050. 因此y关于x的经验回归方程为 ＝22.050＋0.625x. 目录 数学·必修第一册 通性通法 求经验回归方程的基本步骤 （1）画出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系； （2）计算 ， ， xiyi， （xi－ ）2， （yi－ ）2； （3）代入公式求出 ＝ x＋ 中参数 ， 的值； （4）写出经验回归方程并对实际问题作出估计. 提醒　只有在散点图大致呈线性时，求出的经验回归方程才有 实际意义，否则求出的回归方程毫无意义. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　入夏以来，天气炎热，某地区用电负荷连创新高，某用户随机统计 了家里某4天用电量（kW·h）与当天气温（℃）的情况，数据如表： 气温x（℃） 30 32 34 36 用电量ykW·h） 20 26 30 36 请根据提供的数据，计算 ， ，并用最小二乘法求出y关于x的经验 回归方程 ＝ x＋ . 参考公式： ＝ ， ＝ － . 目录 数学·必修第一册 解： ＝ ＝33， ＝ ＝28， ＝ ＝ ＝2.6， ∴ ＝2.6x－57.8. 目录 数学·必修第一册 题型三 利用经验回归方程对总体进行估计 【例3】　对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表， 根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程 ＝10.5x＋ ， 据此模型预测当x＝20时，y的估计值为（　　） x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 A. 210 B. 210.5 C. 211.5 D. 212.5 目录 数学·必修第一册 解析： 　由题意可知， ＝ ＝5， ＝ ＝ 54.∵经验回归直线经过样本中心点，∴54＝10.5×5＋ ， ＝1.5， 经验回归方程为 ＝10.5x＋1.5，当x＝20时，y的估计值为 10.5×20＋1.5＝211.5.故选C. 目录 数学·必修第一册 通性通法 　　解题的关键是先确定两个变量y与x是线性相关关系，求出经验 回归方程进行估计和预测. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 中医是中华民族五千年传统文化的瑰宝，是千百年医疗实践的结晶， 也是世界优秀文化的精华.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到 研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如表： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益y（亿元） 3 7 9 10 11 用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程是 ＝ x＋2.3，当研发投 入为20亿元时，相应的产品收益估计值为 亿元. 40.3　 目录 数学·必修第一册 解析：由表格中的数据可得 ＝ ＝3， ＝ ＝ 8，将样本中心点（ ， ）代入经验回归方程可得3 ＋2.3＝8，解 得 ＝1.9，所以经验回归方程为 ＝1.9x＋2.3，当x＝20时， ＝ 1.9×20＋2.3＝40.3（亿元），因此，当研发投入为20亿元时，相应 的产品收益估计值为40.3亿元. 目录 数学·必修第一册 1. 在对两个变量x，y进行线性回归分析时一般有下列步骤：①对所 求出的回归方程作出解释；②收集数据（xi，yi），i＝1， 2，…，n；③求线性回归方程；④根据所搜集的数据绘制散点图. 若根据实际情况能够判定变量x，y具有线性相关性，则在下列操 作顺序中正确的是（　　） A. ①②④③ B. ③②④① C. ②③①④ D. ②④③① 目录 数学·必修第一册 解析： 　根据实际情况能够判定变量x，y具有线性相关性的顺 序为：收集数据（xi，yi），i＝1，2，…，n；根据所搜集的数据 绘制散点图；求线性回归方程；对所求出的回归方程作出解释；故 选D. 目录 数学·必修第一册 2. 用最小二乘法得到一组数据（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5，6） 的经验回归方程为 ＝2x＋3，若 xi＝30，则 yi＝（　　） A. 11 B. 13 C. 63 D. 78 目录 数学·必修第一册 解析： 　依题意，因为 xi＝30，所以 ＝ ＝5，因为经验回 归方程 ＝2x＋3一定过点（ ， ），所以 ＝2 ＋3＝2×5＋3 ＝13，所以 yi＝6×13＝78.故选D. 目录 数学·必修第一册 3. 已知x与y之间的一组数据： x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7 已求得关于y与x的经验回归方程为 ＝2.2x＋0.7，则m＝ （　　） A. 1 B. 0.85 C. 0.7 D. 0.5 目录 数学·必修第一册 解析： 　 ＝ ＝1.5， ＝ ＝ ，将其代入 ＝2.2x＋0.7，可得m＝0.5，故选D. 目录 数学·必修第一册 4. 若根据5名儿童的年龄x（岁）和体重y（kg）的数据用最小二乘法 得到用年龄预报体重的经验回归方程是 ＝2x＋18，已知这5名儿 童的年龄分别是3，5，2，6，4，则这5名儿童的平均体重 是 kg. 解析：由题意得， ＝ ＝4，由于经验回归直线过样本的 中心点（ ， ），所以 ＝2 ＋18＝2×4＋18＝26，则这5名儿 童的平均体重是26 kg. 26　 　 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 在有线性相关关系的两个变量建立的经验回归方程 ＝ ＋ x 中， （　　） A. 不能小于0 B. 不能大于0 C. 不能等于0 D. 只能小于0 解析： 　当 ＝0时，不具有线性相关关系，但 能大于0，也能 小于0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 2. 已知某经验回归方程为 ＝2－3x，则当解释变量增加1个单位时， 响应变量平均（　　） A. 增加3个单位 B. 增加 个单位 C. 减少3个单位 D. 减少 个单位 解析： 依题意，经验回归方程为 ＝2－3x，所以当解释变量 增加1个单位时，响应变量平均减少3个单位.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 3. 对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据（xi，yi）（i ＝1，2，3，…，8），其经验回归方程为 ＝ x＋ ，且x1＋x2＋ x3＋…＋x8＝6，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝9，则 ＝（　　） A. －2 B. 2 C. －1 D. 1 解析： 　 ＝ ＝ ， ＝ ，由于经验回归直线过样本中心点， 将 代入经验回归方程，解得 ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 4. 对于变量x，y，经随机抽样获得一组具有线性相关关系的数据为 （6，y1），（7，y2），（10，y3），（12，y4），（15，y5）， 其经验回归方程为 ＝0.7x－6.若y1，y2，y3，y4，y5成等差数 列，则y3＝（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 解析： 　由题意可得， ＝ ×（6＋7＋10＋12＋15）＝10.∵经 验回归方程为 ＝0.7x－6，∴ ＝0.7×10－6＝1.∵y1，y2， y3，y4，y5成等差数列，∴ ＝ （y1＋y2＋y3＋y4＋y5）＝y3＝1. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 5. （多选）数据（x，y）的5组测量值（xi，yi）（i＝1，2，3， 4，5），已知 ＝90， xiyi＝112， xi＝20， yi＝25.若 y对x的经验回归方程记作 ＝ x＋ ，则（　　） A. ＝1.2 B. ＝0.2 C. y与x正相关 D. x＝8时，y的估计值为9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 解析： 　由已知的数据可得 ＝ xi＝4， ＝ yi＝5， ＝ ＝ ＝ ＝1.2， ＝ － ＝ 5－1.2×4＝0.2，所以经验回归方程为 ＝1.2x＋0.2.因为 ＝ 1.2＞0，所以y与x正相关.当x＝8时， ＝1.2×8＋0.2＝9.8.故 A、B、C选项正确，D选项错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 6. 如图是一组数据（x，y）的散点图，经最小二乘估计公式计算， y与x之间的经验回归方程为 ＝ x＋1，则 ＝ ⁠. 解析：由题图知 ＝ ＝2， ＝ ＝2.6，将 （2，2.6）代入 ＝ x＋1中，解得 ＝0.8. 0.8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 7. 为了研究某班学生的脚长x（单位：cm）和身高y（单位：cm）的 关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看 出y与x之间有线性相关关系，设其经验回归方程为 ＝ x＋ ， 已知 xi＝225， yi＝1 600， ＝4.该班某学生的脚长为24，据 此估计其身高为 cm. 解析：由题意可知 ＝4x＋ ，又 ＝22.5， ＝160，∴160＝ 22.5×4＋ ，得 ＝70，因此 ＝4x＋70.当x＝24时， ＝4×24 ＋70＝96＋70＝166. 166　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 8. 一项关于16艘船的研究中，已知船的吨位区间为[192，3 246]（单 位：吨），船员人数y与吨位x之间具有相关关系，经验回归方程 为 ＝9.5＋0.006 2x. （1）若两艘船的吨位相差1 000，求船员平均相差的人数； 解： 设两艘船的吨位分别为x1，x2（x1＞x2），则船员 人数为 ， ， － ＝9.5＋0.006 2x1－（9.5＋0.006 2x2）＝0.006 2×1 000≈6，即船员平均相差6人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 （2）估计吨位最大的船和最小的船的船员人数. 解： 当x＝3 246时， ＝9.5＋0.006 2×3 246≈30， 当x＝192时， ＝9.5＋0.006 2×192≈11. 即估计吨位最大的船和最小的船的船员人数分别为30，11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 9. 根据以下样本数据 x 1 3 5 7 y 6 4.5 3.5 2.5 得到经验回归方程为 ＝ x＋ .则（　　） A. ＜0， ＜0 B. ＞0， ＞0 C. ＜0， ＞0 D. ＞0， ＜0 解析： 由表中数据可得随着x的增大，y越来越小，所以 ＜ 0，又因为当x＝1时，y＝6，所以当x＝0时，y＞6，所以 ＞0， 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 10. 若某地财政收入x与支出Y满足一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e （单位：亿元），其中b＝0.7，a＝3，｜e｜≤0.5，如果今年 该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过（　　） A. 9亿元 B. 9.5亿元 C. 10亿元 D. 10.5亿元 解析： 　因为财政收入x与支出Y满足一元线性回归模型Y＝bx ＋a＋e，其中b＝0.7，a＝3，所以Y＝0.7x＋3＋e.当x＝10 时，得Y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，又｜e｜≤0.5，即－ 0.5≤e≤0.5，所以9.5≤Y≤10.5，所以年支出预计不会超过 10.5亿元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 11. （多选）已知由样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，8）组成 的一个样本，得到经验回归方程为 ＝1.5x－0.6且 ＝2，去除 两个异常数据（－2，7）和（2，－7）后，得到的新的经验回归 直线的斜率为3，则（　　） A. 相关变量x，y具有正相关关系 B. 去除异常数据后，新的平均数 '＝2 C. 去除异常数据后的经验回归方程为 ＝3x－4.8 D. 去除异常数据后，随x值增加， 的值增加速度变小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 解析： 　对于A，因为经验回归直线的斜率为正，所以相关变 量x，y具有正相关关系，所以A正确；对于B，因为 ＝2，所以 去除两个异常数据（－2，7）和（2，－7）后，得到新的 '＝ ＝ ，所以B错误；对于C，将 ＝2代入 ＝1.5x－0.6得 ＝2.4，故去除两个异常数据（－2，7）和（2，－7）后， '＝ ＝3.2，因为得到的新的经验回归直线的斜率为3，所以 '－3 '＝3.2－3× ＝－4.8，所以去除异常数据后的经验回归 方程为 ＝3x－4.8，故C正确；对于D，因为经验回归直线 ＝3x－4.8的斜率为正数，所以变量x，y具有正相关关系，且去除异常数据后，斜率由1.5增大到3，故 值增加的速度变大，D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 12. 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系， 下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：h）与当 天投篮命中率y之间的关系： 时间x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为 ；用线性回归分析的方 法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 ⁠. 0.5　 0.53　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 解析：小李这5天的平均投篮命中率 ＝ ×（0.4＋0.5＋0.6＋ 0.6＋0.4）＝0.5， ＝3，计算得 ＝ ＝0.01， ＝ － ＝ 0.5－0.03＝0.47.∴经验回归方程为 ＝0.01x＋0.47，则当x＝ 6时， ＝0.53.∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 0.53. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 13. 2023年冬季旅游一夜逆袭，“南方小土豆”“马铃薯公主”一度 走红网络.哈尔滨冰雪大世界于2022年9月投入使用，总投资高达 25亿元，号称“永不落幕”的冰雪游乐场，从“一季繁荣”到 “四季绽放”. 2024年1月至5月的游客数以及对游客填写满意与 否的调查表，统计如下： 月份x 1 2 3 4 5 游客人数y（万人） 130 m n 90 80 满意率 0.5 0.4 0.4 0.3 0.35 已知y关于x的经验回归方程为 ＝－11.5x＋134.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 （1）求2月份，3月份的游客数m，n的值； 解： 由题意可得 ＝3， ＝ ，且 ＝－ 11.5×3＋134.5＝100， 所以m＋n＝200，　① 又因为 xiyi＝2m＋3n＋890，5 ＝1 500，5 ＝45， ＝55， 所以 ＝ ＝－11.5，化简得2m＋3n＝495，　② 联立①②得：m＝105，n＝95. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 （2）在1月至5月的游客中随机抽取2人进行调查，把满意率视为 概率，求评价为满意的人数X的分布列与期望E（X）. （参考公式： ＝ ＝ ， ＝ － ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 解： 任取1个人满意的概率P＝ ＝ ， 所以满意的人数X服从二项分布，即X～B（2， ）， 随机变量X的取值分别为0，1，2，从而得： P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ， 所以可得满意人数X的分布列如表所示： X 0 1 2 P ​ ​ ​ 所以期望E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 $