8.1.2 样本相关系数-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦“样本相关系数”，通过散点图情境导入，从正负相关的定性判断过渡到定量刻画需求，衔接前期散点图知识，构建从定性到定量的学习支架，系统呈现概念、公式及性质。 其亮点在于结合实例落实核心素养，通过分步计算例题（如数学与物理成绩相关系数）培养数学运算，用网店销量与售价等实际问题强化数据分析，自我诊断与分层训练助力数学抽象。学生能提升解决实际问题能力，教师可依托清晰结构高效教学。

8.1.2　样本相关系数 新课程标准解读 核心素养 1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义 数学抽象 2.结合实例，会通过样本相关系数判断多组成对 样本数据的相关性 数学运算、 数据分析 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　观察如下散点图，由图可判断图①是负相关，图②是正相关. 【问题】　怎样定量刻画两个变量的相关性？ 目录 数学·必修第一册 知识点一　样本相关系数 　对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为 （x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中x1，x2，…，xn和 y1，y2，…，yn的均值分别为 和 . r＝ ＝ ，称r为变量 x和变量y的样本相关系数. 目录 数学·必修第一册 知识点二　样本相关系数r的性质 1. 当r＞0时，称成对样本数据 相关；当r＜0时，称成对样本 数据 相关；当r＝0时，只表明成对样本数据间没有线性相 关关系，但不排除它们之间有其他相关关系. 2. 样本相关系数r的取值范围为 ⁠. 当｜r｜越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越 ⁠； 当｜r｜越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越 ⁠. 正　 负　 [－1，1]　 强　 弱　 目录 数学·必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）样本相关系数r的符号反映了相关关系的正负性. （　√　） （2）对于简单随机样本而言，样本相关系数r是确定的. （　×　） （3）一般地，样本容量越大，用样本相关系数估计两个变量的相 关系数的效果越好. （　√　） （4）r＝0表明成对样本数据间不存在相关性. （　×　） √ × √ × 目录 数学·必修第一册 2. 由四组统计数据绘制的散点图如下，关于其相关系数的比较，正确 的是（　　） A. r2＜r4＜0＜r3＜r1 B. r4＜r2＜0＜r1＜r3 C. r4＜r2＜0＜r3＜r1 D. r2＜r4＜0＜r1＜r3 解析： 　由相关系数的定义以及散点图可知r2＜r4＜0＜r3＜r1， 故选A. 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 样本相关系数的计算 【例1】　为了对某班考试成绩进行分析，现从全班同学中随机抽取8 位同学，他们的数学、物理成绩对应如表.根据表中数据计算y与x之 间的样本相关系数. 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数y 72 77 80 85 88 90 93 95 目录 数学·必修第一册 解： ＝ ×（60＋65＋70＋75＋80＋85＋90＋95）＝77.5， ＝ ×（72＋77＋80＋85＋88＋90＋93＋95）＝85. （xi－ ）（yi－ ）＝685， （xi－ ）2＝1 050， （yi－ ）2＝456.所以r＝ ＝ ≈0.99. 目录 数学·必修第一册 通性通法 样本相关系数的计算步骤 （1）求出 ， 的值； （2）求出 （xi－ ）（yi－ ）， （xi－ ）2， （yi－ ）2 的值； （3）代入公式计算得结果. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　暑期社会实践中，小娴所在的小组调查了某地家庭人口数x与每天 对生活必需品的消费y的情况，得到的数据如下表： x/人 2 4 5 6 8 y/元 20 30 50 50 70 计算y与x之间的样本相关系数. 参考数据： ≈4.359. 目录 数学·必修第一册 解：由表中数据，计算得 ＝ ×（2＋4＋5＋6＋8）＝5， ＝ ×（20＋30＋50＋50＋70）＝44， ＝22＋42＋52＋62＋82＝145， ＝202＋302＋502＋502＋702＝11 200， xiyi＝2×20＋4×30＋5×50＋6×50＋8×70＝1 270，代入r的计算 公式得 r＝ ≈0.975. 目录 数学·必修第一册 题型二 样本相关系数的实际应用 【例2】　某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y（单位：千 件）与售价x（单位：元/件）之间的关系，收集5组数据进行了初步 处理，得到下表： x 5 6 7 8 9 y 8 6 4.5 3.5 3 请根据表中数据计算y与x之间样本相关系数r，并利用r说明y与x之 间是否具有较强的线性相关关系（精确到0.01）. 目录 数学·必修第一册 参考数据及公式： ≈12.85；样本相关系数r＝ . 目录 数学·必修第一册 解：由题意，得 ＝7， ＝5， 则 ＝10， ＝16.5， （xi－ ）（yi－ ）＝－12.5， 所以r＝ ≈－0.97. 因为｜r｜＝0.97非常接近1， 所以y与x之间具有较强的线性相关关系. 目录 数学·必修第一册 通性通法 相关关系强弱的定量分析与定性分析 （1）定量分析：样本相关系数r的范围为－1≤r≤1，r为正时，成 对样本数据正相关；r为负时，成对样本数据负相关；｜r｜越 接近1，成对样本数据的线性相关程度越强；｜r｜越接近0，成 对样本数据的线性相关程度越弱；当｜r｜＝1时，所有数据点 都在一条直线上； （2）定性分析：相关关系的强弱体现在散点图中就是样本点越集中 在某条直线附近，两变量的线性相关程度越强；样本点在某条 直线附近越分散，两变量的线性相关程度越弱. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了A，B，C三类， 经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考 试成绩，其统计表如下： A类 第x次 1 2 3 4 5 分数y（满分 150） 145 83 95 72 110 目录 数学·必修第一册 第x次 1 2 3 4 5 分数y（满分 150） 85 93 90 76 101 C类 第x次 1 2 3 4 5 分数y（满分 150） 85 92 101 100 112 B类 目录 数学·必修第一册 经计算已知A，B的样本相关系数分别为r1＝－0.45，r2＝0.25.请计 算出C类学生的（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5）的样本相关系数， 并通过数据的分析回答抽到的哪类学生的学习成绩最稳定.（结果保 留两位有效数字，｜r｜越大认为成绩越稳定） C类的参考数据： · ≈64， 目录 数学·必修第一册 样本相关系数r＝ . 解：根据C类学生的数据，得 ＝3， ＝98，则 （xi－ ）·（yi － ）＝62，所以相应的样本相关系数r3≈ ≈0.97，从上述所求样本 相关系数可知，从C类学生中抽到的学生的成绩最稳定. 目录 数学·必修第一册 1. 两个变量x，y的样本相关系数r＝－0.996 2，则下列说法中正确 的是（　　） A. x与y正相关 B. x与y具有较强的线性相关关系 C. x与y不具有线性相关关系 D. x与y的线性相关关系还需进一步确定 解析： 　x与y负相关，又｜r｜非常接近1，所以x与y具有较强 的线性相关关系，故选B. 目录 数学·必修第一册 2. 如图①②分别表示样本容量均为7的A，B两组成对数据的散点 图，已知A组成对数据的样本相关系数为r1，B组成对数据的样本 相关系数为r2，则r1与r2的大小关系为（　　） A. r1＝r2 B. r1＜r2 C. r1＞r2 D. 无法判断 解析： 由题图①可知，散点几 乎在一条直线上，且呈正相关， ∴r1＞0，由题图②可知，散点分布在一条直线附近，且呈正相 关，∴r2＞0.又A组成对数据的线性相关程度比B组强，∴r1＞ r2，故选C. 目录 数学·必修第一册 3. 某厂生产A产品的产量x（单位：件）与相应的耗电量y（单位： 度）的统计数据如表所示： x 2 3 4 5 6 y 2 3 5 7 8 经计算 ≈16.12.计算（xi，yi）（i ＝1，2，3，4，5）的样本相关系数.（结果保留两位小数） 目录 数学·必修第一册 解：从表中数据可知， ＝4， ＝5， 所以 （xi－ ）（yi－ ）＝16， 所以r＝ ≈ ≈0.99. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 下面的散点图与样本相关系数r一定不符合的是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 解析： 　①中，由散点图可得，两相关变量呈负相关，样本相关 系数r＜0，故①错误；②中，由散点图可得，两相关变量呈正相 关，则样本相关系数可能是r＝0.75；③中，若样本相关系数r＝ －1，则所有的点应该分布在一条直线上，散点图显然不符合，故 ③错误；④中，若样本相关系数r＝1，则所有的点应该分布在一 条直线上，散点图显然不符合，故④错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 2. 第一组样本点为（－5，－8.9），（－4，－7.2），（－3，－ 4.8），（－2，－3.3），（－1，－0.9），第二组样本点为（1， 8.9），（2，7.2），（3，4.8），（4，3.3），（5，0.9），第 一组变量的线性相关系数为r1，第二组变量的线性相关系数为r2， 则（　　） A. r1＞0＞r2 B. r2＞0＞r1 C. r1＜r2＜0 D. r2＞r1＞0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 解析： 　观察第一组样本点，y随x的增大而增大，故r1＞0；观 察第二组样本点，y随x的增大而减小，故r2＜0.综上：r1＞0＞r2. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 3. 在一组成对样本数据为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn） （n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若这组成对样本 数据的样本相关系数为－1，则所有的样本点（xi，yi）（i＝1， 2，…，n）满足的方程可以是（　　） A. y＝－ x＋1 B. y＝x－1 C. y＝x＋1 D. y＝－x2 解析： 　∵这组成对样本数据的样本相关系数为－1，∴这一组 成对样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）线性相 关，且是负相关.∴可排除B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 4. （多选）两个变量x，y的样本相关系数r1＝0.785 9，两个变量 u，v的样本相关系数r2＝－0.956 8，则下列判断正确的是 （　　） A. 变量x与y正相关，变量u与v负相关 B. 变量x与y负相关，变量u与v正相关 C. 变量x与y的线性相关性更强 D. 变量u与v的线性相关性更强 解析： 　由r1＞0知x与y正相关，由r2＜0知u与v负相关，又｜r1｜＜｜r2｜，∴变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 5. （多选）对于样本相关系数r，下列结论正确的为（　　） A. r∈[－1，－0.75]时，两变量负相关很强 B. r∈[0.75，1]时，两变量正相关很强 C. r∈（－0.75，－0.3]或[0.3，0.75）时，两变量相关性一般 D. r＝0.1时，两变量相关性很强 解析： 　由相关系数的性质，A、B、C正确；D中r＝0.1时， 两变量相关性较弱，D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 6. 现求得甲、乙、丙3组不同的成对样本数据的样本相关系数分别为 0.81，－0.98，0.63，其中 （填甲、乙、丙中的一个）组成 对样本数据的线性相关程度最强. 解析：因为成对样本数据的样本相关系数的绝对值越接近1，相关 程度越强，由题意得，乙组的样本相关系数的绝对值最接近1，所 以乙组成对样本数据的线性相关程度最强. 乙　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 7. 已知 （yi－ ）2是 （xi－ ）2的4倍， （xi－ ）·（yi－ ）是 （xi－ ）2的1.5倍，则相关系数r＝ ⁠. 解析：由r＝ ，得r＝0.75. 0.75　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 8. 在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观 念的转变，大学生创业意识、就业方向也悄然发生转变.某大学生 在国家提供的税收、担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某 专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数y（单位： 万元）与时间t（单位：年）的数据，列表如下： t 1 2 3 4 5 y 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 依据表中给出的数据，判断y与t的线性相关程度，请计算样本相 关系数r并加以说明.（计算结果精确到0.01，若｜r｜≥0.75，则 线性相关程度很高） 附：样本相关系数r＝ . 参考数据： ≈7.547. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 解：由题表可知， ＝3， ＝4.7， 则r＝ ＝ ＝ ≈0.97＞ 0.75， 故创收利润数y与时间t的线性相关程度很高. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 9. 对两组呈线性相关的变量进行回归分析，得到不同的两组样本数 据，第一组和第二组对应的线性相关系数分别为r1，r2，则r1＞r2 是第一组变量比第二组变量线性相关程度强的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析： 　因为r1＞r2，但不确定r1，r2的正负情况，所以不能推 出第一组变量和第二组变量的相关程度；若第一组变量比第二组变 量相关程度强，则｜r1｜＞｜r2｜，所以r1＞r2是第一组变量比第 二组变量线性相关程度强的既不充分也不必要条件.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 10. 已知两组数据a1，a2，…，a10和b1，b2，…，b10，其中1≤i≤10 且i∈Z时，ai＝i；1≤i≤9且i∈Z时，bi＝ai，b10＝a，我们研 究这两组数据的相关性，在集合{8，11，12，13}中取一个元素作 为a的值，使得相关性最强，则a＝（　　） A. 8 B. 11 C. 12 D. 13 解析： 　设点的坐标为（ai，bi），1≤i≤10且i∈Z，由题意 得前9个点位于直线y＝x上，a10＝10，则要使相关性更强，b10应 更接近10，四个选项中11更接近10，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 11. 已知某个样本点中的变量x，y线性相关，相关系数r＜0，则在以 （ ， ）为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落 在第 象限. 解析：由r＝ ＜0，则 （xi－ ） （yi－ ）＜0，所以大多数点xi－ 与yi－ 异号，又（ ， ） 为坐标原点，故大多数的点都落在第二、四象限. 二、四　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 12. 某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组试 验，试验数据经整理得到如图所示的折线图，由图可以看出，这 种酶的活性指标值y与温度x具有较强的线性相关关系，请用样本 相关系数加以说明. 附： （xi－ ）（yi－ ）＝85， ＝5.5， ≈2.65. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 解：由题意得 ＝ ×（8＋11＋14＋20＋23＋26）＝17， （xi－ ）2＝（8－17）2＋（11－17）2＋（14－17）2＋（20 －17）2＋（23－17）2＋（26－17）2＝252，∴r＝ ＝ ＝ ≈0.97， 由此可得这种酶的活性指标值y与温度x具有较强的线性相关关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 13. 某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合 型科技创新企业，产品主要应用于森林消防、物流运输、航空测 绘、军事侦察等领域，获得市场和广大观众的一致好评，该公司 生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平 需要十分娴熟，才能发挥更大的作用.该公司分别收集了甲、乙两 种类型无人运输机在5个不同的地点测试的某项指标数xi，yi（i ＝1，2，3，4，5），数据如表所示： 地点1 地点2 地点3 地点4 地点5 甲型无人运输 机指标数x 2 4 5 6 8 乙型无人运输 机指标数y 3 4 4 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 （1）试求y与x间的样本相关系数r，并利用r说明y与x是否具 有较强的线性相关关系；（若｜r｜＞0.75，则线性相关程 度很高） 解： ＝ ＝5， ＝ ＝4， 所以 （xi－ ）（yi－ ）＝－3×（－1）＋（－1）×0 ＋0×0＋1×0＋3×1＝6， ＝9＋1＋0＋1＋9＝20， ＝1＋ 0＋0＋0＋1＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 样本相关系数r＝ ＝ ＝ ≈0.95， 因为r＞0.75，所以y与x具有较强的线性相关关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 （2）从这5个地点中任抽2个地点，求抽到的这2个地点，甲型无 人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数的概率. 附：相关公式及数据：r＝ ， ≈0.95. 解： 从这5个地点中任抽2个地点，共有 ＝10个样本 点，其中在地点3，4，5，甲型无人运输机指标数均高于乙 型无人运输机指标数，即所求事件含有3个样本点，故所求 事件的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 $