8.1.2 样本相关系数(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．下列说法正确的是(　　) A．任何两个变量之间都有相关关系 B．根据身高和体重的相关关系可以确定身高对应的体重值 C．相关关系是一种不确定的关系 D．以上答案都不对 解析　变量之间的相关关系是一种不确定的关系，它也能反映变量之间的某种依赖关系．利用相关关系可以估计某些相关数据，但是不能确定准确的数值． 答案　C 2．(多选题)下列关系中，属于相关关系的是(　　) A．正方形的边长与面积之间的关系 B．农作物的产量与施肥量之间的关系 C．人的身高与年龄之间的关系 D．降雪量与交通事故的发生率之间的关系 解析　在A中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系； 在B中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系； 在C中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系； 在D中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系． 答案　BD 3．下列现象的线性相关程度最高的是(　　) A．某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为0.87 B．流通费用率与商业利润率之间的相关系数为－0.94 C．商品销售额与商业利润率之间的相关系数为0.51 D．商品销售额与流通费用率之间的相关系数为0.81 解析　两个变量相关性的强弱是由相关系数的绝对值的大小来决定的，而不是由相关系数本身的大小决定的．|r|越接近于1，相关程度越高，选B. 答案　B 4．(2024·天津卷)下列图中，线性相关系数最大的是(　　) 解析　选项A中的散点有明显的从左下角到右上角沿直线分布的趋势，且散点集中在一条直线的附近，故选项A中的线性相关系数最大，故选A． 答案　A 5．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥5，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝3x－2上，则这组样本数据的样本相关系数为________． 解析　根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1． 答案　1 6．对某高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如图所示的散点图．下面关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的序号有________． ①该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高； ②该同学在这连续九次测试中的最高分与最低分的差超过40分； ③该同学的数学成绩与测试序号具有线性相关性，且为正相关． 解析　散点图从左向右看呈上升趋势，所以该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高，①正确；该同学在这连续九次测试中的最高分大于130分，最低分小于90分，极差超过40分，②正确；该同学的数学成绩与测试序号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确． 答案　①②③ 7．如图所示的五组数据(x，y)中，去掉________后，剩下的四组数据相关系数增大． 解析　去掉点(4,10)后，其余四点大致在一条直线附近，相关性增强，相关系数增大． 答案　(4,10) 8．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据(单位：万元) x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)画出散点图； (2)从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系？ 解析　(1)以x对应的数据为横坐标，以y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如图所示： (2)从图中可以发现广告费支出与销售金额之间具有相关关系，并且当广告费支出由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x与y成正相关关系． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，3，…，10)，得散点图1，其相关系数为r1，对变量u，有观测数据(ui，vi)(i＝1,2,3，…，10)，得散点图2，其相关系数为r2，由这两个散点图可以断定(　　) A．r1＞0　　　　　　　 B．r1＜0 C．r2 ＞0 D．r2＜0 解析　由图1可知，点散布在从左上角到右下角的区域，各点整体呈递减趋势，故x与y负相关，所以r1＜0；由图2可知，点散布在从左下角到右上角的区域，各点整体呈递增趋势，故u与v正相关，所以r2 ＞0. 答案　BC 10．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11．3,2)，(11．8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11．3,4)，(11．8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(　　) A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1 C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1 解析　对于变量X与Y而言，Y随X的增大而增大，故变量Y与X正相关，即r1＞0； 对于变量U与V而言，V随U的增大而减小， 故变量V与U负相关，即r2＜0.故r2＜0＜r1． 答案　C 11．某校高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看： (1)在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________； (2)在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________． 解析　(1)在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；(2)由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知，两个图中，同一个人的总成绩是不会变的．第二个图看，丙是从右往左数第5个点，即丙的总成绩在班里倒数第5.在左边的图中，找到倒数第5个点，它表示的就是丙，发现这个点的位置比右边图中丙的位置高，所以语文名次更“大”，即数学的成绩更靠前． 答案　(1)乙　(2)数学 12．已知iyi－n＝20，－n2＝25，－n2＝36，则相关系数r＝________. 解析　r＝＝. 答案　 13．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图． 注：年份代码1～7分别对应年份2008－2014，由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明． 参考数据：yi＝9.32，iyi＝40.17，＝0.55，≈2.646. 参考公式： 样本相关系数r＝. 解析　(1)由折线图中数据和附注中参考数据得 ＝4，(ti－)2＝28, ＝0.55. (ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－4×9.32＝2.89，r＝≈0.99. 因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系． [核心价值·探索创新] 14．北极冰融是近年来最引人注目的气候变化现象之一．白色冰面融化变成颜色相对较暗的海冰，被称为“北极变暗”现象，21世纪以来，北极的气温变化是全球平均水平的2倍，被称为“北极放大”现象．如图为北极年平均海冰面积(106 km2)与年平均CO2浓度(ppm)统计图，则下列说法正确的是(　　) A．北极年平均海冰面积逐年减少 B．北极年平均海冰面积减少速度不断加快 C．北极年平均海冰面积与年平均CO2浓度负相关 D．北极年平均海冰面积与年平均CO2浓度正相关 解析　对于A，B，由统计图可知北极年平均海冰面积既有增加又有减少，故A，B错误；对于C，D，由统计图可知随着年平均CO2浓度增加，北极年平均海冰面积总体呈下降趋势，所以北极年平均海冰面积与年平均CO2浓度负相关，故C正确、D错误． 答案　C 15．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下. 次数x 30 33 35 37 39 44 46 50 成绩y 30 34 37 39 42 46 48 51 (1)作出散点图，并判断两个变量是否具有线性相关关系； (2)计算样本相关系数并指出两个变量相关程度的强弱． 解析　(1)作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图，如下图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系． (2)列表计算： 次数xi 成绩yi x y xiyi 30 30 900 900 900 33 34 1 089 1 156 1 122 35 37 1 225 1 369 1 295 37 39 1 369 1 521 1 443 39 42 1 521 1 764 1 638 44 46 1 936 2 116 2 024 46 48 2 116 2 304 2 208 50 51 2 500 2 601 2 550 由上表可求得＝39.25，＝40.875， ＝12 656，＝13 731，iyi＝13 180， 计算样本相关系数r＝0.992 7， 因此运动员的成绩和训练次数两个变量有较强的相关关系. 学科网（北京）股份有限公司 $$