7.1.1 第2课时 条件概率的性质及应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦条件概率的性质及应用，核心知识点包括概率乘法公式和条件概率性质。通过“三张奖券有放回抽取”情境导入，提出事件影响及概率关系问题，衔接条件概率定义，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以情境创设和问题链培养数学抽象，如电话号码试拨、摸球等实例抽象概率模型；通过多解法（如例2两种解法）和通性通法总结提升数学运算能力。分层设计基础巩固、综合运用、拓展探究，助力学生分层学习，教师可高效开展教学，提升学生解题思维与应用能力。

第2课时　 条件概率的性质及应用 新课程标准解读 核心素养 1.掌握概率的乘法公式，并能解决简单的实 际问题 数学抽象、数学运算 2.理解条件概率的性质，能用性质计算互斥 （对立）事件的条件概率 数学抽象、数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　三张奖券中只有一张能中奖，现分别由甲、乙两名同学有放回地 抽取，事件A为“甲没有抽到中奖奖券”，事件B为“乙抽到中奖奖 券”. 【问题】　（1）事件A的发生会不会影响事件B发生的概率？ （2）P（AB）、P（B｜A）与P（B）、P（A）有什么关系？ 目录 数学·必修第一册 知识点一　概率的乘法公式 对任意两个事件A与B，若P（A）＞0，则P（AB）＝ ⁠ ⁠. 提醒　（1）在P（B｜A）中，事件A成为样本空间，而在P（AB） 中，样本空间为所有事件的总和；（2）当P（B｜A）＝P（B） 时，事件A与事件B是相互独立事件. P（A）P （B｜A）　 目录 数学·必修第一册 知识点二　条件概率的性质 设P（A）＞0，则 （1）P（Ω｜A）＝ ⁠； （2）如果B和C是两个互斥事件，则P（B∪C｜A）＝ ⁠ ⁠； 1　 P（B｜ A）＋P（C｜A）　 目录 数学·必修第一册 （3）设 和B互为对立事件，则P（ ｜A）＝ ⁠ .　 提醒　（1）A与B互斥，即A，B不同时发生，则P（AB）＝ 0，故P（B｜A）＝0；（2）互斥事件的条件概率公式可以将 复杂事件分解为简单事件的概率和. 1－P（B｜ A）　 目录 数学·必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）P（B｜A）＜P（AB）. （　×　） （2）对任意两个事件A与B，必有P（AB）＝P（A）·P（B｜ A）. （　×　） （3）P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）. （　×　） × × × 目录 数学·必修第一册 2. 已知P（A）＝0.3，P（B｜A）＝0.6，且事件A与B相互独立， 则P（AB）＝ ⁠. 解析：由概率的乘法公式可得P（AB）＝P（A）·P（B｜A）＝ 0.3×0.6＝0.18. 0.18　 目录 数学·必修第一册 3. 某地一农业科技试验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水 稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种 子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率 为 ⁠. 解析：记“水稻种子发芽”为事件A，“发芽的种子成长为幼苗” 为事件B，P（B｜A）＝ .∴P（AB）＝P（B｜A）P （A）＝0.9×0.8＝0.72. 0.72　 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 概率的乘法公式 【例1】　（1）某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试 拨，他第一次失败、第二次成功的概率是（　A　） A. B. C. D. 解析： 记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P（A）＝ ，P（B｜A）＝ ，所以P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝ × ＝ .故选A. A 目录 数学·必修第一册 （2）已知某厂产品的废品率为4%，而合格品中有75%是一等品，则 该产品的一等品率是 ⁠. 解析： 记A：合格品， 记B：一等品，由于B⊆A，则P （B）＝P（AB），由题意，P（A）＝1－4%＝96%，P （B｜A）＝75%，故P（B）＝P（AB）＝P（A）P（B｜ A）＝96%×75%＝0.72，即一等品率为72%. 72%　 目录 数学·必修第一册 通性通法 应用乘法公式求概率的一般步骤 　　概率的乘法公式是一种计算“积事件”概率的方法，若不容易直 接计算P（AB）时，则可按下列步骤求“积事件”的概率： （1）首先判断事件A与事件B，是否有P（A）＞0或P（B）＞0； （2）根据已知条件表示出相应事件的概率P（A）、P（B｜A）或 P（B）、P（A｜B）； （3）代入乘法公式P（AB）＝P（A）P（B｜A）或P（AB）＝ P（B）P（A｜B）求解. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为 ，在刮台风的 条件下，下大雨的概率为 ，则该地区七月份既刮台风又下大雨 的概率为（　　） A. B. C. D. 目录 数学·必修第一册 解析： 　设“每年七月份刮台风”为事件A，“每年七月份下大 雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB. 由题得P（A）＝ ，P（B｜A）＝ ，由概率的乘法公式得P （AB）＝P（B｜A）P（A）＝ × ＝ .故选B. 目录 数学·必修第一册 2. 盒中有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，1个绿球，2个 黄球.现从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为 止.则在此过程中没有取到黄球的概率为 ⁠. 解析：没有取到黄球，可以是“第一次取到红球”或“第一次取到 绿球，第二次取到红球”，记事件R1表示第一次取到红球，R2表 示第二次取到红球，G1表示第一次取到绿球，则P（R1）＝ ，P （G1R2）＝P（G1）P（R2｜G1）＝ × ＝ ，∴没有取到黄球 的概率为P＝ ＋ ＝ . 　 目录 数学·必修第一册 题型二 条件概率性质的应用 【例2】　在一个袋子中装有10个除颜色外完全相同的小球，设有1个 红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个 球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率. 目录 数学·必修第一册 解：法一　设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为 黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，则P（A）＝ ，P（AB）＝ ＝ ，P（AC）＝ ＝ . ∴P（B｜A）＝ ＝ ＝ ，P（C｜A）＝ ＝ ＝ . ∴P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）＝ ＋ ＝ . ∴在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为 . 目录 数学·必修第一册 法二　∵n（A）＝1× ＝9， n（B∪C｜A）＝ ＋ ＝5， ∴P（B∪C｜A）＝ ＝ . ∴在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为 . 目录 数学·必修第一册 通性通法 应用条件概率的性质解题的方法 　　在应用条件概率公式求概率时，如果事件包含的情况较复杂，可 将其分解为几个互斥事件的和，然后根据条件概率的性质求解，即若 B与C互斥，那么P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）， 此公式可推广到多个事件互斥的情况. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 设A，B是两个随机事件，已知0＜P（A）＜1，P（B）＞0且P （B｜A）＝P（B｜ ），则下列结论中一定成立的是（　　） A. P（A｜B）＝P（ ｜B） B. P（A｜B）≠P（ ｜B） C. P（AB）＝P（A）P（B） D. P（AB）≠P（A）P（B） 目录 数学·必修第一册 解析： 　因为P（B｜A）＝P（B｜ ），由条件概率公式可得 ＝ ，即P（AB）[1－P（A）]＝P（A）P（ B）＝P（A）[P（B）－P（AB）]，所以P（AB）＝P（A） P（B），故选C. 目录 数学·必修第一册 2. 某人一周晚上值班2次，在已知他周日晚上一定值班的条件下，他 在周六晚上或周五晚上值班的概率为 ⁠. 解析：设事件A为“周日晚上值班”，事件B为“周五晚上值 班”，事件C为“周六晚上值班”，则P（A）＝ ，P（AB） ＝ ，P（AC）＝ ，所以P（B｜A）＝ ＝ ，P （C｜A）＝ ＝ ，故他在周六晚上或周五晚上值班的概 率为P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）＝ . 　 目录 数学·必修第一册 题型三 与条件概率公式有关的证明问题 【例3】　当0＜P（A）＜1时，求证：P（B｜A）＝P（B）的充 要条件是P（B｜ ）＝P（B）. 证明：①必要性： 若P（B｜A）＝P（B），则 ＝P（B）， 即P（AB）＝P（A）P（B）. 又因为B＝ B＋AB，所以P（B）＝P（ B）＋P（AB），　 所以P（B｜ ）＝ ＝ ＝ ＝ ＝P（B）. 目录 数学·必修第一册 ②充分性： 若P（B｜ ）＝P（B），则 ＝P（B）， 即P（ B）＝P（ ）P（B）， 由P（B）＝P（ B）＋P（AB），得P（ B）＝P（B）－P （AB）， 故P（B）－P（AB）＝[1－P（A）]P（B）， 所以P（AB）＝P（A）P（　B　）， 所以P（A）P（B｜A）＝P（A）P（B），P（A）≠0， 所以P（B｜A）＝P（B）. 由①②可知，P（B｜A）＝P（B）的充要条件是P（B｜ ）＝P （B）. 目录 数学·必修第一册 通性通法 　　利用事件A与事件B相互独立的定义P（AB）＝P（A）P （B）及条件概率的性质进行转化变形、推理论证，这里要注意互斥 事件、对立事件及相互独立事件的区别. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 已知 与 的比值为R. 证明：R＝ · . 证明：因为R＝ · ＝ · · · ＝ · ， 所以R＝ · · · ， 所以R＝ · . 目录 数学·必修第一册 1. 已知事件A，B相互独立，P（A）＝0.8，P（B）＝0.3，则P （A｜B）＝（　　） A. 0.24 B. 0.8 C. 0.3 D. 0.16 解析： 　因为事件A，B相互独立，所以P（AB）＝P（A）P （B），所以P（A｜B）＝ ＝P（A）＝0.8. 目录 数学·必修第一册 2. 某食物的致敏率为2%，在对该食物过敏的条件下，嘴周产生皮疹 的概率为99%，则某人食用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为 （　　） A. 99.02% B. 98.02% C. 1.98% D. 0.98% 解析： 　设事件A表示“食用该食物过敏”，事件B表示“嘴周 产生皮疹”，则P（A）＝2%，P（B｜A）＝99%，所以某人食 用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为P（AB）＝P（A）P （B｜A）＝2%×99%＝1.98%.故选C. 目录 数学·必修第一册 3. 已知事件A和B是互斥事件，P（C）＝ ，P（BC）＝ ，P （A∪B｜C）＝ ，则P（A｜C）＝ 　 　. 解析：由题意知，P（A∪B｜C）＝P（A｜C）＋P（B｜C） ＝ ，P（B｜C）＝ ＝ ＝ ，则P（A｜C）＝P （A∪B｜C）－P（B｜C）＝ － ＝ . 　 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1. 若B，C是互斥事件且P（B｜A）＝ ，P（C｜A）＝ ，则P （B∪C｜A）＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　因为B，C是互斥事件，所以P（B∪C｜A）＝P （B｜A）＋P（C｜A）＝ ＋ ＝ . 目录 数学·必修第一册 2. 设A，B为两个事件，已知P（B）＝0.4，P（A）＝0.5，P （B｜A）＝0.3，则P（A｜B）＝（　　） A. 0.24 B. 0.375 C. 0.4 D. 0.5 解析： 　由P（A）＝0.5，P（B｜A）＝0.3，得P（AB）＝ P（B｜A）P（A）＝0.15，所以P（A｜B）＝ ＝ ＝0.375. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. 经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为 0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8. 那么他两次均击中9环的概率为（　　） A. 0.24 B. 0.36 C. 0.48 D. 0.75 解析： 　设某射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次 击中9环”为事件B，则由题意得P（A）＝0.6，P（B｜A）＝ 0.8，所以他两次均击中9环的概率为P（AB）＝P（A）P（B｜ A）＝0.6×0.8＝0.48. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本 空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示 的涂色部分的面积表示（　　） A. 事件A发生的概率 B. 事件B发生的概率 C. 事件B不发生条件下事件A发生的概率 D. 事件A，B同时发生的概率 解析： 　由题意可得，题图所示的涂色部分的面积为：P（A｜ B）P（B）＋[1－P（B）]P（A｜ ）＝P（AB）＋P（ ） P（A｜ ）＝P（AB）＋P（A ）＝P（A）.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. （多选）已知事件A，B满足P（A）＝ ，P（B｜A）＝ ，P （ ｜ ）＝ ，则（　　） A. P（AB）＝ B. P（ ｜A）＝ C. P（B｜ ）＝ D. P（B）＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　对于A选项，P（AB）＝P（A）·P（B｜A）＝ ，所以A选项正确；对于B选项，P（ ｜A）＝1－P（B｜A） ＝ ，所以B选项错误；对于C选项，P（B｜ ）＝1－P（ ｜ ）＝ ，所以C选项正确；对于D选项，P（B）－P（AB）＝[1 －P（A）]P（B｜ ），P（B）＝ ＋ × ＝ ，所以D选项 正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6. （多选）已知事件A，B满足P（A）＝0.4，P（B）＝0.3，则 下列选项正确的是（　　） A. 若B⊆A，则P（AB）＝0.4 B. 若A与B互斥，则P（A∪B）＝0.7 C. 若A与B相互独立，则P（AB）＝0.4 D. 若P（B｜A）＝0.3，则A与B相互独立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　对于A，因为P（A）＝0.4，P（B）＝0.3， B⊆A，所以P（AB）＝P（B）＝0.3，故A错误；对于B，因为 A与B互斥，所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.7，B正 确；对于C，因为A与B相互独立，所以P（AB）＝0.4×0.3＝ 0.12，故C错误；对于D，因为P（B｜A）＝0.3，即 ＝ 0.3，所以P（AB）＝P（B｜A）·P（A）＝0.12，又因为P （B）P（A）＝0.12，所以P（AB）＝P（A）·P（B），所以 A与B相互独立，故D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 7. 已知市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，且合格率是95%，则 从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是 ⁠. 解析：记事件A＝“甲厂产品”，事件B＝“合格产品”，则P （A）＝0.7，P（B｜A）＝0.95.所以P（AB）＝P（A）P （B｜A）＝0.7×0.95＝0.665. 0.665　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 8. 有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲、乙两 位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明 月山这4个著名的旅游景点中随机选择1个景点游玩，记事件A＝ “甲和乙至少有一人选择庐山”，事件B＝“甲和乙选择的景点不 同”，则P（ ｜A）＝ ⁠. 解析：由题意知，因为n（A）＝ · ＋1＝7，n（AB）＝6， 所以P（ ｜A）＝1－P（B｜A）＝1－ ＝1－ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 9. 已知事件A，B，且P（A）＝ ，P（B｜A）＝ ，P（B｜ ） ＝ ，则P（B）＝ 　 　. 解析：∵P（A）＝ ，P（B｜A）＝ ，∴P（AB）＝P（A） P（B｜A）＝ × ＝ ，∵P（B｜ ）＝ ，∴P（ B）＝P （ ）P（B｜ ），∴P（B）－P（AB）＝[1－P（A）]P （B｜ ），即P（B）－ ＝（1－ ）× ，解得P（B）＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 10. 某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖 券，其中共有5张写有“中奖”字样.假设抽完的奖券不放回，甲 抽完之后乙再抽，求： （1）甲中奖而且乙也中奖的概率； 解： 设A：甲中奖，B：乙中奖，则P（A）＝ ＝ . 因为抽完的奖券不放回，所以甲中奖后乙抽奖时，有49张奖 券且其中只有4张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为 P（B｜A）＝ . 根据乘法公式可知，甲中奖而且乙也中奖的概率为 P（BA）＝P（A）P（B｜A）＝ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 （2）甲没中奖而且乙中奖的概率. 解： 因为P（A）＋P（ ）＝1，所以P（ ）＝ . 因为抽完的奖券不放回，所以甲没中奖后乙抽奖时，还有49 张奖券且其中还有5张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概 率为P（B｜ ）＝ . 根据乘法公式可知，甲没中奖而且乙中奖的概率为 P（B ）＝P（ ）P（B｜ ）＝ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 11. 有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随 机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或 黑色的概率为（　　） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是 红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色 或黑色”，则D＝B∪C，且B与C互斥.又P（A）＝ ＝ ，P（AB）＝ ＝ ，P（AC）＝ ＝ ，故P（D｜ A）＝P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）＝ ＋ ＝ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 12. （多选）若 ， 分别为随机事件A，B的对立事件，P（A）＞ 0，P（B）＞0，则下列结论正确的是（　　） A. P（B｜A）＋P（B｜ ）＝1 B. P（ ｜B）P（B）＝P（B｜ ）P（ ） C. P（A｜B）＋P（ ｜B）＝P（B） D. 若P（A｜B）＝P（A），则P（B｜A）＝P（B） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　对于A，因为P（B｜A）＋P（ ｜A）＝ ＋ ＝ ＝ ＝1，但P（B｜ ）与 P（ ｜A）不一定相等，故P（B｜A）＋P（B｜ ）不一定 等于1，A错；对于B，因为P（ ｜B）P（B）＝P（ B）， P（B｜ ）P（ ）＝P（ B），所以P（ ｜B）P（B）＝ P（B｜ ）P（ ），B对； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 对于C，P（A｜B）＋P（ ｜B）＝ ＋ ＝ ＝1，C错；对于D，因为P（A｜B）＝ ＝P（A），所以P （AB）＝P（A）P（B），所以事件A，B相互独立，故P（B｜A） ＝ ＝P（B），D对.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 13. 在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，考生能答对其中 的4道题即可通过，能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答 对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，则他获得 优秀成绩的概率为 ⁠. 解析：设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答 对了其中5道题，而另1道答错”，事件C为“该考生答对了其中4 道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通 过”，事件E为“该考生获得优秀”，则A，B，C两两互斥， 且D＝A∪B∪C，E＝A∪B. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 由古典概型的概率公式及加法公式可知P（D）＝P（A∪B∪C） ＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝ ＋ ＋ ＝ ，又P （AD）＝P（A），P（BD）＝P（B），所以P（E｜D）＝P （A∪B｜D）＝P（A｜D）＋P（B｜D）＝ ＋ ＝ ＋ ＝ .故所求的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 14. 抛掷两颗质地均匀的骰子各一次. （1）向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是 多少？ 解： 记事件A表示“两颗骰子中，向上的点数有一个 是2”，事件B表示“两颗骰子向上的点数之和为7”，则事 件AB表示“向上的点数之和为7，其中有一个的点数是 2”，则P（B）＝ ＝ ，P（AB）＝ ＝ ， 所以P（A｜B）＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 （2）向上的点数不相同时，向上的点数之和为4或6的概率是 多少？ 解： 记事件Mi表示“两颗骰子向上的点数之和为 i”，则事件“向上的点数之和为4或6”可表示为M＝ M4∪M6，其中事件M4与M6互斥，记事件N表示“两颗骰子 向上的点数不相同”，则事件MiN表示“两颗骰子向上的点 数不相同，且向上的点数之和为i”. 因为P（N）＝ ＝ ，P（M4N）＝ ＝ ，P（M6N） ＝ ＝ ，所以P（M｜N）＝P（M4∪M6｜N）＝P（M4｜N）＋P（M6｜N）＝ ＋ ＝ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 15. 近年来，我国外卖行业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小 巷成为一道亮丽的风景线.他们根据外卖平台提供的信息到外卖店 取单，某外卖小哥每天来往于r个外卖店（外卖店的编号分别为 1，2，…，r，其中r≥3），约定：每天他首先从1号外卖店取 单，称为第1次取单，之后，他等可能的前往其余r－1个外卖店 中的任何一个店取单，称为第2次取单，依此类推.假设从第2次取 单开始，他每次都是从上次取单的店之外的r－1个外卖店取单. 设事件Ak表示“第k次取单恰好是从1号店取单（k∈N*）”，P （Ak）是事件Ak发生的概率，显然P（A1）＝1，P（A2）＝0， 则P（A3）＝ 　 　，P（ ）与P（Ak）的关系式为 ⁠ ⁠. 　 P （Ak＋1）＝[1－P（Ak）] 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析：根据题意，事件A3表示“第3次取单恰好是从1号店取 单”，因此P（A3）＝P（ A3）＝P（ ）·P（A3｜ ）＝ [1－P（A2）] ＝ ；同理P（Ak＋1）＝P（ Ak＋1）＝P （ ）P（Ak＋1｜ ）＝[1－P（Ak）]·P（Ak＋1｜ ）＝[1 －P（Ak）] . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 16. 从装有3个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球 不再放回，记Ai表示事件“第i次摸到红球”，i＝1，2，…，6. （1）求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率； 解： P（A2｜ ）＝ ＝ ＝ ，所以第一 次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 ①证明：P（A1A2A3）＝P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜ A1A2）； ②求P（A3）. 解： ①证明：因为P（A1A2A3）＝P（A1A2）P （A3｜A1A2）， 又因为P（A1A2）＝P（A1）P（A2｜A1）， 所以P（A1A2A3）＝P（A1A2）P（A3｜A1A2）＝P（A1） P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）， 即P（A1A2A3）＝P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）. （2）记P（A1A2A3）表示A1，A2，A3同时发生的概率，P （A3｜A1A2）表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 ②P（A3）＝P（A1A2A3）＋P（ A2A3）＋P（A1 A3）＋P（ A3） ＝P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）＋P（ ）P （A2｜ ）P（A3｜ A2）＋P（A1）P（ ｜A1）P （A3｜A1 ）＋P（ ）P（ ｜ ）P（A3｜ ） ＝ × × ＋ × × ＋ × × ＋ × × ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 $