6.2.3&6.2.4 第1课时 组合与组合数公式-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦“组合与组合数”核心知识点，通过团代会选代表的情境导入，对比有顺序与无顺序的选择方案，引导学生从具体实例中抽象出组合概念，构建排列与组合的区别联系，形成从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于情境化设计与分层例题结合，以生活实例（如选代表、足球队比赛）培养数学抽象和数学建模能力，典型例题分概念辨析、公式应用等题型并总结通性通法，提升逻辑推理和数学运算素养，助力学生理解应用，教师教学更具针对性与高效性。

6.2.3　组合 6.2.4　组合数 新课程标准解读 核心素养 1.通过实例，理解组合的概念 数学抽象 2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应 用公式求值 逻辑推理、数学运算 3.会用组合知识解决一些简单的组合问题 数学运算、数学建模 第1课时　 组合与组合数公式 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　在某次团代会上，某班级需要从5名候选人中选择3人担任代表上 台发言. 目录 数学·必修第一册 （2）若3人发言无顺序，又有多少种选择方案？ （3）由问题（1）（2），你能发现怎样的关系？ 【问题】　（1）若3人发言有顺序，有多少种选择方案？ 目录 数学·必修第一册 知识点一　组合的定义 　一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素 ⁠ ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 提醒　排列与组合的区别与联系：共同点：两者都是从n个不同元素 中取出m（m≤n）个元素；不同点：排列与元素的顺序有关，组合 与元素的顺序无关. 作为一 组　 目录 数学·必修第一册 知识点二　组合数与组合数公式 组合数 定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的 ⁠ 的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数 符号表示 所 有不同组合　 目录 数学·必修第一册 组合数公式 乘积式 ＝ ⁠ ＝ ⁠ 组合数公式 阶乘式 ＝ ⁠ 性质 ＝ ， ＝ ＋ 备注 ①n，m∈N*，并且m≤n；②规定 ＝1 　 　 　 目录 数学·必修第一册 提醒　公式 ＝ 常用于n为具体数的题目，多用于组合数的计 算；公式 ＝ 常用于n为字母的题目，多用于解不等式或证 明恒等式. 目录 数学·必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）1，2，3与3，2，1是同一个组合. （　√　） （2）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. （　√　） （3） ＝ ＝9. （　√　） 2. 现有6名党员，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数 为 ⁠. 解析：由题意得，不同选法的种数为 ＝15. √ √ √ 15　 目录 数学·必修第一册 3. 若方程 ＝ ，则x＝ ⁠. 解析：由方程 ＝ 和组合数性质可得，在两个组合数下标相同 的情况下，当两个组合数上标和等于下标时，两个组合数相等， 即x＋2＝5，x＝3；当两个组合数上标相同时，两个组合数相等， 即x＝2；故x＝2或3. 2或3　 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 组合的有关概念 【例1】　判断下列问题是组合问题还是排列问题： （1）a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少 场？ 解： 单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺 序，是组合问题. 目录 数学·必修第一册 （2）a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结 果？ 解： 冠、亚军是有顺序的，是排列问题. （3）从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职 务，有多少种不同的选法？ 解： 3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题. （4）从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 解： 3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题. 目录 数学·必修第一册 通性通法 判断一个问题是不是组合问题的方法技巧 （1）区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，与顺 序有关即为排列问题，与顺序无关为组合问题； （2）写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照“顺序 后移法”或“树形图法”逐个将各个组合表示出来. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 判断下列问题是组合问题还是排列问题： （1）设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元 素的有多少个？ 解： 因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题； （2）某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少 种票价？ 解： 因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是 排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是 同一种票价，故是组合问题； 目录 数学·必修第一册 （3）2024年元旦期间，某班10名同学互送贺卡表示新年的祝福，贺 卡共有多少张？ 解： 甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺 序有关，是排列问题. 目录 数学·必修第一册 题型二 组合数公式的应用 角度1　化简与求值 【例2】　（1）计算： － · ； 解：原式＝ － ＝ －7×6×5＝210－210＝0. （2）计算： ＋ ； 解： ∵∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*， ∴n＝10， ∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋31＝466. 目录 数学·必修第一册 （3）若 ＝120 ，求n. 解： ∵ ＝120 ， ∴2n（2n－1）（2n－2）（2n－3）＝ ， 解得n＝3或n＝－1（舍去），∴n＝3. 目录 数学·必修第一册 角度2　组合数的性质 【例3】　（1） ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ⁠； 解析： （2）已知 － ＝ ，则n＝ ⁠. 解析： 由 － ＝ 得 ＝ ＋ ，由组合数的 性质，可得 ＝ ，故8＋7＝n＋1，解得n＝14. 7 315　 14　 目录 数学·必修第一册 通性通法 利用组合数公式解方程、不等式的方法技巧 （1）化简：先用组合数的两个性质化简； （2）转化：利用计算公式将组合数的形式转化为常规的代数方程、 不等式； （3）求解：解常规代数方程、不等式； （4）检验：注意由 中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m，n的 范围，验证所得结果是否符合题意. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. ＋ ＝ ⁠. 解析： ＋ ＝ ＋ ×1＝ ＋ ＝56＋4 950 ＝5 006. 2. 证明：m ＝n . 证明：m ＝m· ＝ ＝n· ＝n . 5 006　 目录 数学·必修第一册 题型三 简单组合问题的应用 【例4】　在一次物理竞赛中，某学校有10人通过了初试，学校要 从中选出4人参加县级培训.甲、乙二人必须参加，有多少种不同 的选法？ 解：甲、乙二人必须参加，则只需要从另外8人中选2人，是组合问 题，共有 ＝28种不同的选法. 目录 数学·必修第一册 【母题探究】 （变条件）本例条件中的“甲、乙二人必须参加”改为“甲、乙二人 只能有1人参加”，有多少种不同的选法？ 解：甲、乙二人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙中选1人，有 ＝2种选法；再从另外8人中选3人，有 种选法.共有 ＝112 种不同的选法. 目录 数学·必修第一册 通性通法 解简单的组合应用题的策略 （1）解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合 问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺 序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关； （2）要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用. 提醒　在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ 解： 从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是 ＝ ＝ ＝56. （2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ 解： 从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白 球中再取出2个，取法种数是 ＝ ＝ ＝21. 目录 数学·必修第一册 （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解： 由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球 中取出3个球，取法种数是 ＝ ＝ ＝35. 目录 数学·必修第一册 1. 下列问题中属于组合问题的是（　　） A. 从4名志愿者中选出2人分别担任导游和翻译 B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C. 从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式 D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 解析： 　A、B、D三个选项都与顺序有关，而C是从全班同学中 选出3名同学出席运动会开幕式与顺序无关，故为组合问题. 目录 数学·必修第一册 2. ＋ ＝（　　） A. 72 B. 36 C. 30 D. 42 解析： 　 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝36. 目录 数学·必修第一册 3.10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数 为 .（用数字作答） 解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是 组合问题，共有 ＝210（种）分法. 210　 目录 数学·必修第一册 4. 一位教练的足球队共有17名初级学员，按照足球比赛规则，比赛时 一个足球队的上场队员是11人.问： （1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案（只 需列出算式即可）？ 解： 由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员 上场方案种数为 . 目录 数学·必修第一册 （2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么 教练员有多少种方式做这件事情（只需列出算式即可）？ 解： 教练员可以分两步完成这件事情： 第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有 种 选法； 第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有 种选法. 所以教练员做这件事情的方式种数为 × . 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 下列四个问题中，属于组合问题的是（　　） A. 从3个分别标有1，2，3的3个不同小球中，取出2个排成一列 B. 老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C. 在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D. 将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人1张 解析： 　A、B、D与顺序有关，是排列问题，而C与顺序无关， 是组合问题，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 2. 若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那 么分法一共有（　　） A. 种 B. 45种 C. 54种 D. 种 解析： 　由于4张同样的参观券分给5名代表，每人最多分一张， 从5名代表中选4人满足分配要求，故有 种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. 某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何 三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共 需建公路的条数为（　　） A. 4 B. 8 C. 28 D. 64 解析： 　由于“村村通”公路的修建是组合问题，故共需要建 ＝ ＝ ＝28（条）公路. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 若 ＝42，则 ＝（　　） A. 60 B. 70 C. 120 D. 140 解析： 　由 ＝ ×2＝42，解得n＝7或n＝－6（舍 去），∴ ＝ ＝ ＝140. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求 其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（　　） A. 70种 B. 80种 C. 100种 D. 140种 解析： 　法一（直接法）　一男两女，有 ＝5×6＝30 （种）；两男一女，有 ＝10×4＝40（种），共计70种. 法二（间接法）　任意选取有 ＝84（种），其中都是男医生有 ＝10（种），都是女医生有 ＝4（种），于是符合条件的有 84－10－4＝70（种）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6. （多选）下列式子成立的是（　　） A. ＝ B. ＝m C. ＝ ＋ D. ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　根据排列和组合数公式，可知A成立； ＝n（n－ 1）（n－2）…（n－m＋1）， ＝（n－1）·（n－2）… （n－m＋1），所以 ＝n ，故B不成立；由组合数的性 质，可知C成立； ＝ ＝ · ＝ · ，故D成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 7. 若已知集合P＝{1，2，3，4}，则集合P的子集中含有2个元素的 子集数为 ⁠. 解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含2个元素的子集个数 与元素顺序无关，是组合问题，共有 ＝ ＝ ＝6（个）. 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 8. 不等式 －n＜5的解集为 ⁠. 解析：由 －n＜5，得 －n＜5，所以n2－3n－10＜0. 解得－2＜n＜5.由题设条件知n≥2，且n∈N*，所以n＝2，3， 4，故原不等式的解集为{2，3，4}. {2，3，4}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 9. 解析：设男生有x人，则女生有（8－x）人.∵从男生中选出2人，从 女生中选出1人，共有30种不同的选法，∴ × ＝30，∴x（x －1）（8－x）＝30×2＝2×6×5或x（x－1）（8－x）＝ 3×4×5.∴x＝6，8－6＝2或x＝5，8－5＝3.∴女生有2人或3人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 10. （1）解方程：3 ＝5 ； 解： 由排列数和组合数公式，原方程可化为3· ＝5· ，则 ＝ ， 即为（x－3）（x－6）＝40.所以x2－9x－22＝0，解之可 得x＝11或x＝－2.经检验知x＝11是原方程的解，所以方程 的解为x＝11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 （2）求 ＋ 的值. 解： 由组合数的定义知所以 7≤r≤9.又r∈N*，所以r＝7，8，9， 当r＝7时，原式＝ ＋ ＝46； 当r＝8时，原式＝ ＋ ＝20； 当r＝9时，原式＝ ＋ ＝46. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 11. 身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高， 左右两边分别顺次一个比一个低，则这样的排法种数是（　　） A. 5 040 B. 36 C. 18 D. 20 解析： 　最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一 种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有 ＝20 （种）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 12. 某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道 路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最 短路线共有（　　） A. 72条 B. 108条 C. 126条 D. 252条 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或 向下走.因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段. 设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任 取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有 ＝126 （种）走法，故从A地到B地的最短路线共有126条.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 13. 已知 ＝ ，则 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ⁠. 解析：∵ ＝ ，∴m＝11，∴ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝120. 120　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 14. 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名. （1）现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解： 从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是 从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即 ＝ ＝45. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 （2）选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的 选法？ 解： 可把问题分两类情况： 第1类，选出的2名是男教师有 种方法； 第2类，选出的2名是女教师有 种方法. 根据分类加法计数原理，共有 ＋ ＝15＋6＝21（种） 不同的选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 15. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱， 俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠， 每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十 位档拨一颗上珠和一颗下珠，个位档拨一颗上珠，则表示数字 65，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随 机选择两个档位各拨一颗上珠，则可能出现的数字个数 为 ，其中所拨数字小于600的有 个. 24　 7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析：在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随 机选择两个档位各拨一颗上珠，所有的数有 ＝24（个），当 下珠拨的是百位档时，上珠只能拨个位档和十位档，有1种情况； 当下珠拨的是个位档或十位档时，上珠可以从个、十、百位档中 随机选择两个档位各拨一颗，有 ＝6（种）情况，所以所拨 数字小于600的有1＋6＝7（个）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 16. 规定 ＝ ，其中x∈R，m∈N，且 ＝ 1，这是组合数 （n∈N*，m∈N且m≤n）的一种推广. （1）求 的值； 解： 由题意得 ＝ ＝－84. （2）组合数具有两个性质：① ＝ ；② ＋ ＝ .这两个性质是否都能推广到 （x∈R， m∈N）？若能，请写出推广的形式并给出证明；若不 能，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解： 性质①不能推广，如当x＝ 时， 有意义，但 无意义. 性质②能推广，它的推广形式是 ＋ ＝ （x∈R，m∈N）. 证明如下：当m＝0时，有 ＋ ＝1＋x＝ ；当m≥1时，有 ＋ ＝ ＋ ＝ （ 1＋ ） ＝ ＝ . 综上，性质②的推广得证. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 $