6.2.2 第2课时 排列的综合应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦排列的综合应用，涵盖数字排列、相邻与不相邻问题、特殊元素或位置问题等核心知识点，通过典型例题分题型讲解，结合通性通法总结与跟踪训练，构建“例题解析-方法归纳-实践应用”的学习支架，衔接排列基础与复杂问题解决。 其特色在于以生活实例为载体，引导学生用数学眼光观察问题，通过位置分析法、间接法等多种解题思路培养数学思维的逻辑性，用排列数符号和通性通法总结强化数学语言表达。例如数字排列中“0”的特殊处理、相邻问题捆绑法等，助力学生提升逻辑推理能力，教师可借助分层练习有效落实核心素养。

第2课时　 排列的综合应用 目录 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 数字排列问题 【例1】　用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列 条件的无重复的数字？ （1）六位奇数； 解： 第一步，排个位，有 种排法； 第二步，排十万位，有 种排法； 第三步，排其他位，有 种排法. 故共有 ＝288个六位奇数. 目录 数学·必修第一册 （2）个位数字不是5的六位数； 解： 十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同， 因此需分两类. 第一类，当个位排0时，有 个； 第二类，当个位不排0时，有 个. 故符合题意的六位数共有 ＋ ＝504个. 目录 数学·必修第一册 （3）不大于4 310的四位偶数. 解： 分三种情况， ①当千位上排1，3时，有 个； ②当千位上排2时，有 个； ③当千位上排4时， 形如40××，42××的各有 个； 形如41××的有 个； 形如43××的只有4 310和4 302这两个数. 故共有 ＋ ＋2 ＋ ＋2＝110个. 目录 数学·必修第一册 通性通法 数字排列问题的常用方法 　　主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位 置，若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素个数时，应分类 讨论. 提醒　解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类 和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　从分别印有数字0，3，5，7，9的5张卡片中，任意抽出3张组成三 位数. （1）求可以组成多少个大于500的三位数； 解： 百位选5，7，9中的一张，有 种排法；十位和个位 从剩余4张中选2张排列，有 种排法.所以大于500的三位数的 个数为 ＝3×4×3＝36. 目录 数学·必修第一册 （2）求可以组成多少个三位数. 解： 百位不能选0，有 种排法；十位和个位从剩余4张 中选2张排列，有 种排法.即所有三位数的个数为 ＝ 4×4×3＝48. 目录 数学·必修第一册 题型二 “相邻”与“不相邻”问题 【例2】　3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队 方案的种数. （1）选其中5人排成一排； 解： 从7个元素中选出5个进行排列，有 ＝2 520种排法. 目录 数学·必修第一册 （2）全体站成一排，男、女各站在一起； 解： 男生站在一起，有 种排法， 女生站在一起，有 种排法， 全体男生、女生各视为一个元素，有 种排法， 由分步乘法计数原理知，共有 ＝288种排法. （3）全体站成一排，男生不能站在一起. 解： 先安排女生共有 种排法， 男生在4个女生隔成的五个空中安排共有 种排法，故共有 ＝1 440种排法. 目录 数学·必修第一册 通性通法 处理元素“相邻”与“不相邻”问题的策略 （1）元素相邻：通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体 参与其他元素排列； （2）元素不相邻：通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素 的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空中. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 为弘扬我国古代的“六艺”文化，某小学开设“礼”“乐”“射” “御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，课程“乐”“数”排在相邻两周，则不同的安排方案有（　　） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 解析： 　因为课程“乐”“数”排在相邻两周，可用捆绑法，把 “乐”“数”捆绑看作一个元素与其他元素一起排列共 种，再排 其内部顺序 种，所以不同的安排方案有 ＝120×2＝240种.故 选C. 目录 数学·必修第一册 题型三 特殊元素或特殊位置问题 【例3】　六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ （1）甲不站右端，也不站左端； 解： 法一（位置分析法）　因为甲不站左右两端，故先从 甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有 种站法；再让 剩下的4个人站在中间的四个位置上，有 种站法，由分步乘 法计数原理知共有 ＝480种站法. 法二（元素分析法）　因为甲不能站左右两端，故先让甲排在 除左右两端之外的任一位置上，有 种站法；再让余下的5个 人站在其他5个位置上，有 种站法，由分步乘法计数原理 知，共有 ＝480种站法. 目录 数学·必修第一册 法三（间接法）　在排列时，我们对6个人不考虑甲站的位置全排列， 有 种站法；但其中包含甲在左端或右端的情况，因此减去甲站左 端或右端的排列数2 ，于是共有 －2 ＝480种站法. 目录 数学·必修第一册 （2）甲、乙站在两端； 解： 首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有 种站 法；再让其他4个人在中间4个位置全排列，有 种站法，根据 分步乘法计数原理，共有 ＝48种站法. 目录 数学·必修第一册 （3）甲不站左端，乙不站右端. 解： 法一（间接法）　甲在左端的站法有 种，乙在右 端的站法有 种，而甲在左端且乙在右端的站法有 种，故共 有 －2 ＋ ＝504种站法. 法二（直接法）　从元素甲的位置进行考虑，可分两类：第一 类，甲站右端有 种站法；第二类，甲站在中间4个位置之 一，而乙不站在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个人，有 种站法，故共有 ＋ ＝504种站法. 目录 数学·必修第一册 通性通法 “特殊”优先原则 　　处理特殊元素或特殊位置问题的解题原则是谁“特殊”谁优先. 一般从以下三种思路考虑：（1）以元素为主考虑，即先安排特殊元 素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，即先安排特殊位置， 再安排其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出 全排列数，再减去不符合要求的排列数. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 5名学生和1位老师站成一排照相，问老师不排在两端的排法有多 少种？ 解：法一（先满足特殊位置）　由于排头和排尾两个位置有限制要 求，因此先从5名学生中选出2名站在排头和排尾，有 种方法，余 下的四人可任意站，有 种方法，所以符合要求的排法有 ＝480 （种）. 法二（先满足特殊元素）　老师既然不能排在两端，于是可以从中间 四个位置中任选一个，有 种方法.5名学生在余下的五个位置中任 意排列，有 种排法.因此符合题意的排法有 ＝480（种）. 法三（间接法）　由于六个人任意排有 种排法，但实际必须减去 老师排在排头的 种方法和排在排尾的 种方法，因而有 －2 ＝480（种）排法. 目录 数学·必修第一册 1. 用0，1，2，3，4组成无重复数字的四位偶数的个数为（　　） A. 24 B. 48 C. 60 D. 72 解析： 　根据题意分两种情况：当个位数为0时，有 ＝24 （个），当个位数为2或4时，有2 · ＝36（个），所以无重复 数字的四位偶数有24＋36＝60（个）.故选C. 目录 数学·必修第一册 2.3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排 法种数为（　　） A. 144 B. 72 C. 36 D. 12 解析： 　先将老师全排列，有 种排法，形成4个空，将3名学生 插入4个空中，有 种排法，故共有 ＝144（种）排法. 目录 数学·必修第一册 3. 喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们 握手言和，准备合影留念（排成一排）. （1）要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种不同的排 法？ 解： 把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素与灰太狼、 红太狼进行排列，排法种数为 .因为喜羊羊家族的四位成 员交换顺序会产生不同排列，所以不同的排法共有 ＝ 144（种）. 目录 数学·必修第一册 （2）要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种不同的排法？ 解： 第一步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有 种 排法；第二步，让灰太狼、红太狼插入喜羊羊家族的四位成 员形成的空（包括两端）中，有 种排法，不同的排法共有 ＝480（种）. 目录 数学·必修第一册 　圆排列问题 【问题探究】 有10个人围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法？ 提示：为了更方便的说明这个问题，我们先将10人编号为1～10，然 后以他们的编号按照顺序站成一圈，这样就形成了一个圆排列. 分别以1，2，3，4，5，6，7，8，9，10号作为开头将这个圆排列打 开，就可以得到10种排列：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10；…； 10，1，2，3，4，5，6，7，8，9.这就是说，这个圆排列对应了10个 排列.因此，要求的圆排列数，只需要求出全排列数再除以10就可以 了，即不同的坐法有 ＝362 880种. 目录 数学·必修第一册 【探究归纳】 所谓圆排列，即n个不同的事物围成一个圆时总的排法数. 从最简单的做起：当圆排列只有一个人时，显然只有一种排法，即 （1－1）！，两个人时也只有一种排法，即（2－1）！.为了清晰表 示这种情况，用简单的图形（如图）表示，可以基于下面的思路：三 个人圆排列时， 目录 数学·必修第一册 可以看成是在前面两个人圆排列的基础上再加一个人，两个人圆排列 时有（2－1）！种排法，同时两个人之间形成两个空隙，第三个人只 需在两个空隙中任选一个空隙坐下即可，故三个人的圆排列有2×（2 －1）！＝（3－1）！种.同理，四个人圆排列时，可以看成是在三个 人圆排列的基础上再加一个人，三个人的圆排列有（3－1）！种，同 时三个人之间会形成三个空隙，第四个人可以从三个空隙中任选一个 坐下，故四个人的圆排列有3×（3－1）！＝（4－1）！种.依次类 推，n个人圆排列时，可以看成是在（n－1）个人圆排列的基础上再 加一个人，（n－1）个人的圆排列有（n－2）！ 种，同时（n－1）个人之间会形成（n－1）个空隙，第n个人可以从 （n－1）个空隙中任选一个坐下，故n个人的圆排列有（n－1）× （n－2）！＝（n－1）！种，综上可以得到以下结论： 目录 数学·必修第一册 结论　第一类（人排列），n个人站成一圈，不同的站法一共有（n －1）！种； 第二类（项链排列），如果排成一圈的是某种可以翻转的物体（如珍 珠、无正反面），那么围成的圆圈就是可以翻转的，而翻转过后，圆 圈上的顺时针就会变为逆时针，打开时对应的排列数就要乘以2.因 此，这时求排列数，需要在正常情况下的圆排列数再除以2，即不同 的排法一共有 （n≥3）种. 目录 数学·必修第一册 【迁移应用】 1. 有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就 餐，则这5对夫妇恰好都被安排到一起相邻而坐的坐法数为（　） A. B. C. ×25 D. ×25 解析： 　要求5对夫妇相邻，我们可以先将每对夫妇划分为1组， 然后让这5组人围坐成一圈，于是有 种坐法.考虑到组内两人还 有顺序问题，因此每组再乘2，于是5对夫妇相邻而坐共有 ×25 种坐法. 目录 数学·必修第一册 2.6颗不同颜色的钻石，可以穿成 种钻石圈. 解析：首先，6颗钻石圆排列有（6－1）！种情况；其次，钻石圈 可以翻转，没有顺时针与逆时针的区别.因此，可以穿成 ＝ 60种钻石圈. 60　 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分 法种数是（　　） A. 1 260 B. 120 C. 240 D. 720 解析： 　相当于3个元素排10个位置，不同的分法有 ＝720 （种）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 2.5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为（　　） A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 解析： 　5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有 3 · ＝36（种）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5 名的名次.甲和乙去询问成绩，裁判说：“很遗憾，你俩都没有得 到冠军.但都不是最差的.”从回答分析，5人的名次排列的不同情 况可能有（　　） A. 27种 B. 72种 C. 36种 D. 54种 解析： 　根据题意，甲、乙都没有得到冠军，也都不是最后一 名，先排甲、乙，再排剩下三人，则5人的名次排列种数为 · ＝36.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 从6人中选4人分别到北京、上海、广州、西安四个城市游览，要求 每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两 人不去北京游览，则不同的选择方案共有（　　） A. 300种 B. 240种 C. 114种 D. 96种 解析： 　先从除甲、乙外的4人中选取1人去北京，再从其余5人 中选3人去上海、广州、西安，共有不同的选择方案 · ＝240 （种）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. 用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字且大于201 345的 正整数的个数为（　　） A. 478 B. 479 C. 480 D. 481 解析： 　以1开头的没有重复数字的六位数的个数为 ＝120，由 于201 345是以2开头的没有重复数字的六位数中最小的一个，所有 的没有重复数字的六位数的个数为5 ＝600，故没有重复数字且 大于201 345的正整数的个数为600－120－1＝479.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6. （多选）若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（　　） A. 共计有720种不同的排法 B. 男生甲排在两端的共有120种排法 C. 男生甲、乙相邻的排法总数为120 D. 男女生相间排法总数为72 解析： 　3男3女排成一排共计有 ＝720（种）不同的排法； 男生甲排在两端的共有2 ＝240（种）不同的排法；男生甲、乙 相邻的排法总数为 ＝240；男女生相间排法总数2 ＝72. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 7. 高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和 1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有 种不同的排法. 解析：不同排法的种数为 ＝3 600. 3 600 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 8. 从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与 体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共 有 种.（用数字作答） 解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有 ＝12 （种）方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36（种）选法. 36　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 9. 五声音阶是中国古乐的基本音阶，五个音分别称为宫、商、角、 徵、羽，如果将这五个音排成一排，宫、羽两个音不相邻，且位于 角音的同侧，则不同的排列顺序有 种. 解析：五个位置从左到右依次记为位置一、二、三、四、五.根据 角音所在的位置分两类：第一类，角音排在位置一或五，由插空法 可得不同的排列顺序有2 ＝24（种）；第二类，角音排在位置 二或四，则不同的排列顺序有2 ＝8（种）.根据分类加法计数 原理，可得不同的排列顺序共有24＋8＝32（种）. 32　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 10. 某班有A，B，C等7名班委，有7种不同的职务，现对7名班委进 行职务具体分工. （1）若正、副班长两个职务只能从A，B，C三人中选两人担 任，有多少种分工方案？ 解： 从A，B，C三人中任选两人担任正、副班长， 有 种方法，再安排其余5种职务，有 种方法，根据分 步乘法计数原理知，共有 ＝720种分工方案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 （2）若正、副班长两个职务至少要选A，B，C三人中的一人担 任，有多少种分工方案？ 解： 7人担任7种职务的分工方案有 种，A，B，C 三人中无一人担任正、副班长的分工方案有 种，因此 A，B，C三人中至少有一人担任正、副班长的分工方案有 － ＝3 600种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 11.4名运动员参加4×100米接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不 能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有（　　） A. 12种 B. 14种 C. 16种 D. 24种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　法一（间接法）　若不考虑限制条件，4名队员全排列 共有 ＝24（种）排法，减去甲跑第一棒有 ＝6（种）排法， 乙跑第四棒有 ＝6（种）排法，再加上甲跑第一棒且乙跑第四 棒有 ＝2（种）排法，共有 －2 ＋ ＝14（种）不同的出 场顺序. 法二（直接法）　若甲跑第四棒，则其余三人全排列，有 种排 法；若甲跑第二（或三）棒，则乙跑第一、三（或一、二）棒， 其余两人全排列，有 种排法.根据分类加法计数原理，共 有 ＋ ＝6＋8＝14（种）排法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 12. 某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动， 某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活 动可供选择，每个班上午、下午各安排一项活动（不重复），且 同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安排方案的种 数为（　　） A. 126 B. 360 C. 600 D. 630 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　按两个班共选择活动项数分三类.第一类，两个班共选 择2项活动，有 种方法；第二类，两个班共选择3项活动，有 种方法；第三类，两个班共选择4项活动，有 种方法.则 活动安排方案的种数为 ＋ ＋ ＝630.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 13. （多选）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成无重 复数字的五位数，且1不能在个位，则关于这样的五位数的个数， 下列表示正确的有（　　） A. （ ）2 B. ＋（ ）2 C. －2 ＋ D. ＋ ＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　间接法：总共有 种，减去1在个位或0在第一位 的共有2 种，加上0在第一位且1在个位的 种，共有 － 2 ＋ 种，故C正确；直接法：（1）若1在第一位，共有 种；若1不在第一位，则先排第一位，有 种，再排第五位，有 种，最后排中间三个位置，有 种，共有 ＋（ ）2 种；（2）若有1，若1在第一位，共有 种；若1在第2，第3，第 4位，共有 种；若没有1，第1位有 种，剩下有 种， 共有 种，故有 ＋ ＋ 种.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 14. 某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌节目、3个舞蹈 节目、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有 多少种？ （1）一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台； 解： 先排唱歌节目有 种排法，再排其他节目有 种排法，所以共有 · ＝1 440（种）排法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 （2）2个唱歌节目互不相邻； 解： 先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目，有 种排法， 再从其中7个空（包括两端）中选2个排唱歌节目，有 种 插入方法，所以共有 · ＝30 240（种）排法. （3）2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻. 解： 把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺 节目排列，共有 种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有 种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有 种排 法，故所求排法共有 · · ＝2 880（种）排法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 15. 某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示的 正方形ABCD（边长为3个单位长度）的顶点A处，然后通过掷骰 子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位长度，如果 掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行 走i个单位长度，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好 又回到点A处的所有不同走法共有（　　） A. 21种 B. 24种 C. 25种 D. 27种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　由题意知正方形ABCD（边长为3个单位长度）的周长 是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，表示三次骰子的 点数之和是12，列举出三个点数之和为12的组合：1，5，6；2， 4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4.共有6种.前三种组 合1，5，6；2，4，6；3，4，5每种可以排列出 ＝6（种）结 果，共有3 ＝3×6＝18（种）结果.3，3，6；5，5，2 这2种组合各有3种结果.共有2×3＝6（种）结果.4，4，4有1种结 果.根据分类加法计数原理知共有18＋6＋1＝25（种）结果. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 16. 从2，3，4，7，9这五个数字中任取3个，组成没有重复数字的三 位数. （1）这样的三位数一共有多少个？ 解： 根据题意，从2，3，4，7，9这五个数字中任取3 个组成三位数，有 ＝60种情况，即有60个符合题意的三 位数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 （2）所有这些三位数的个位上的数字之和是多少？ 解： 根据题意，个位数字为2的三位数有 ＝12个， 同理：个位数字为3，4，7，9的三位数都有12个， 则所有这些三位数的个位上的数字之和为（2＋3＋4＋7＋ 9）×12＝25×12＝300. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 （3）所有这些三位数的和是多少？ 解： 根据题意，由（2）的结论，所有这些三位数的个 位上的数字之和为300， 同理：这些三位数的十位，百位上的数字之和都为300， 故所有这些三位数的和为300×100＋300×10＋300＝33 300. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 $