6.2.2 第1课时 排列数公式-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦排列数公式，通过上海交大120周年名人排列情境导入，衔接计数原理，引导学生从实际问题抽象出排列数定义，再推导阶乘公式，形成“情境—概念—公式”的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过公式推导与证明发展逻辑推理，结合分配方案等例题提升数学运算与建模能力。通性通法总结助学生掌握方法，既让学生提升解决实际问题能力，也为教师提供系统教学资源。

第1课时　排列数公式 新课程标准解读 核心素养 1.能利用计数原理推导排列数公式 逻辑推理 2.能运用排列数公式解决简单的实际问题 数学建模、数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　在上海交通大学建校120周年之际，有29位曾是交大学子的名人大家，要在庆祝会上逐一介绍…… 【问题】　这29位名人大家的排列顺序有 多少种？这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？ 目录 数学·必修第一册 知识点　排列数及排列数公式 排列数 定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有 ⁠ 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排 列数 符号表 示 全排列 把n个不同的元素全部取出的一个排列 不同 排列　 目录 数学·必修第一册 阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 ⁠表 示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成 ＝ .规定0！＝ ⁠ 排列 数 公式 乘积式 ＝ ⁠ （m，n∈N*，且m≤n） 阶乘式 ＝ （m，n∈N*，且m≤n） n！　 n！　 1　 n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）　 　 目录 数学·必修第一册 提醒　“排列”和“排列数”的区别：“排列”和“排列数”是两个 不同的概念，排列不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的 一件事）；排列数是一个数. 目录 数学·必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在式子 中，m，n的值都可以为0. （　×　） （2）甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有4种. （　×　） （3）若 ＝9×10×11×12，则m＝4. （　√　） （4）排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它 前面一个因数小1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因 数. （　√　） × × √ √ 目录 数学·必修第一册 2. 若 ＝10×9×…×5，则m＝ ⁠. 3. 从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，求不同的送书方 法的种数. 解：此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数，即共 有 ＝20（种）不同的送书方法. 6　 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 排列数与排列数公式 【例1】　计算下列各式： （1）2 ＋ ； 解： 2 ＋ ＝2×4×3×2＋4×3×2×1＝72. （2） . 解： 原式＝ ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第一册 通性通法 排列数的计算方法 （1）排列数的计算主要是利用排列数公式进行，应用时注意：连续 正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总 个数，而正整数（因式）的个数是选取元素的个数，这是排列 数公式的逆用； （2）应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提 取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1.7×8×9×…×15可表示为（　　） A. B. C. D. 解析： 　7×8×9×…×15＝ ＝ . 2. ＝ 　－ 　. 解析： ＝ ＝ ＝－ ＝－ . － 　 目录 数学·必修第一册 题型二 排列数的计算与证明 【例2】　（1）解方程： ＝140 ； 解： 因为所以x≥3，x∈N*. 由 ＝140 得（2x＋1）2x（2x－1）（2x－2）＝140x （x－1）（x－2）. 化简得4x2－35x＋69＝0， 解得x1＝3，x2＝ （舍去）. 所以原方程的解为x＝3. 目录 数学·必修第一册 （2）求证： － ＝m . 解： 证明：∵ － ＝ － ＝ ·（ －1）＝ · ＝m· ＝ m ，∴ － ＝m . 目录 数学·必修第一册 通性通法 　　排列数的第二个公式 ＝ 适用于与排列数有关的证明、 解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算， 同时还要注意隐含条件“n，m∈N*，m≤n”的运用. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 不等式 ＜6 的解集为（　　） A. [2，8] B. [2，6] C. （7，12） D. {8} 解析： 　由 ＜6 ，得 ＜6× ，化简得x2－ 19x＋84＜0，解得7＜x＜12①，又所以2＜x≤8 ②，由①②及x∈N*，得x＝8. 目录 数学·必修第一册 2. 求证： ＝（n＋1） . 证明：因为 ＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1， （n＋1） ＝（n＋1）·n！＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1， 所以 ＝（n＋1） . 目录 数学·必修第一册 题型三 无约束条件的排列问题 【例3】　将4名医生与4名护士分配到四个不同单位，每个单位分配 一名医生与一名护士，共有多少种不同的分配方案？ 解：完成这件事可以分为两步. 第一步：把4名医生分配到四个不同的单位，等价于从4个不同元素中 取出4个元素的排列问题，有 种方法； 第二步：把4名护士分配到四个不同的单位，也有 种方法. 根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有 × ＝576（种）. 目录 数学·必修第一册 通性通法 无约束条件的排列问题 　　无约束条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有 特别限制的问题.这一类型题目相对简单，分清元素和位置即可.把m 个元素按一定顺序排列到n（n≥m）个位置上，排列数为 ，从n 个元素中选 m个（m≤n），排列到m个位置上，排列数也是 . 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　用排列数表示下列问题： （1）利用1，2，3，4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的 三位数？ 解： 本题实质是求从1，2，3，4四个数字中，任意选出三 个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故排列数 ，即 为没有重复数字的三位数的个数. （2）一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有几种排法？ 解： 这是6个元素的全排列问题，其排列数 ，即为一天 的课程的排法种数. 目录 数学·必修第一册 1. － ＝（　　） A. 480 B. 520 C. 600 D. 1 320 解析： 　 ＝12×11×10＝1 320， ＝10×9×8＝720，故 － ＝1 320－720＝600. 目录 数学·必修第一册 2. 一个禁毒宣传讲座要到四个学校开讲，一个学校讲一次，则不同的 次序种数为（　　） A. 4 B. 44 C. 24 D. 48 解析： 由题意可知，不同的次序种数为 ＝4×3×2×1＝24. 目录 数学·必修第一册 3. 不等式 －n＜7的解集为 ⁠. 解析：由 －n＜7，得（n－1）（n－2）－n＜7，整理，得 n2－4n－5＜0，解得－1＜n＜5.又n－1≥2且n∈N*，即3≤n＜5 且n∈N*，所以n＝3或n＝4. 4. 用0～9这10个数字，可以组成 个没有重复数字的三位数. 解析：第1步，确定百位上的数字，可以从1～9这9个数字中取出1 个，有 种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下 的9个数字中取出2个，有 种取法.根据分步乘法计数原理，所求 的三位数的个数为 × ＝9×9×8＝648. {3，4}　 648　 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 某电影要在5所大学里轮流放映，则不同的轮映方法有（　　） A. 25种 B. 55种 C. 种 D. 53种 解析： 　不同的轮映方法相当于将5所大学全排列，即轮映方法 有 种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 2. 已知3 ＝4 ，则n＝（　　） A. 5 B. 7 C. 10 D. 14 解析： 　由 ×3＝ ×4，得（11－n）·（10－n） ＝12，解得n＝7，n＝14（舍）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 3. 89×90×91×92×…×100可表示为（　　） A. B. C. D. 解析： 　89×90×91×92×…×100＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 4. 某学习小组共5人，约定假期彼此给对方发起微信聊天，共需发起 的聊天次数为（　　） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 解析： 　由题意得共需发起的聊天次数为 ＝5×4＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 5. （多选）满足不等式 ＞12的n的值可能为（　　） A. 12 B. 11 C. 10 D. 8 解析： 　由排列数公式得 ＞12，则（n－5）（n－ 6）＞12，解得n＞9或n＜2（舍去）.又n∈N*，结合选项，所以n 可以取10，11，12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 6. （多选）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶 数的个数为（　　） A. B. C. D. － 解析： 　①（直接法）：因为末位数字排法有 种，其他位置 排法有 种，共有 × 个. ②（间接法）： － × .故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 7. 计算 ＋ ＝ ⁠. 解析：由条件得得n＝3，所以 ＋ ＝ ＋ ＝726. 726　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 8. 已知 ＝89，则n＝ ⁠. 解析：根据题意， ＝89，则 ＝90，变形可得 ＝90 ， 则有 ＝90× ，变形可得：（n－5）（n－6）＝90， 解可得：n＝15或n＝－4（舍），故n＝15. 15　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 9. 有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招 聘1名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共 有 种不同的招聘方案（用数字作答）. 解析：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位 置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的 排列问题.所以不同的招聘方案共有 ＝5×4×3＝60（种）. 60　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 10. （1）解不等式：3 ≤2 ＋6 ； 解： 由题意可知，x∈N*且x≥3， 因为 ＝x（x－1）（x－2）， ＝（x＋1）x， ＝x（x－1）， 所以原不等式可化为3x（x－1）（x－2）≤2x（x＋1）＋ 6x（x－1），整理得（3x－2）（x－5）≤0， 所以 ≤x≤5.又x∈N*且x≥3， 所以原不等式的解集为{3，4，5}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 （2）解方程：3 ＝4 . 解： 3 ＝4 可化为3× ＝4× ，即 3× ＝4× ，化简得x2－19x＋78＝ 0，解得x＝6或x＝13，由题意知解得1＜ x≤8，故原方程的解为x＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 11. （多选）下列等式一定成立的是（　　） A. ＝（n－2） B. ＝ C. n ＝ D. ＝ 解析： 　A中，右边＝（n－2）（n－1）n＝ ＝左边；C 中，左边＝n（n－1）（n－2）×…×2＝n（n－1）（n－2） ×…×2×1＝ ＝右边；D中，左边＝ · ＝ ＝ ＝右边；只有B不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 12. 化简： ＋ ＋ ＋…＋ ＝ 　1－ 　. 解析：因为 ＝ － ＝ － ，所以 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＝1－ . 1－ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 13. 若把英文单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误拼 写方式有 种. 解析：单词中含4个字母，其全排列有 ＝24个，但其中两个字 母一样，因此排列方法种数为 ＝12，其中只有一种组合是正确 的，因此错误拼写方式有12－1＝11种. 11　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 14. 一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知 m＞1，客运车票增加了62种，则原有 个车站；现在 有 个车站. 解析：由题意可知，原有车票的种数是 种，现有车票的种数是 种，所以 － ＝62，即（n＋m）（n＋m－1）－ n（n－1）＝62，所以m（2n＋m－1）＝62＝2×31，因为m＜ 2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*，所以解得 m＝2，n＝15，故原有15个车站，现有17个车站. 15　 17　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 15. 已知圆的方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）.从0，3，4， 5，6，7，8，9，10这9个数中选出3个不同的数，分别作为圆心的 横坐标、纵坐标和圆的半径.求： （1）可以作多少个不同的圆？ 解： 可分两步完成：第一步，选r，因为r＞0，所以r 有 种选法，第二步，选a，b，在剩余8个数中任取2个， 有 种选法，所以由分步乘法计数原理可得有 · ＝448 个不同的圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 （2）经过原点的圆有多少个？ 解： 若圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2经过原点，则 a，b，r满足a2＋b2＝r2， 满足该条件的a，b，r共有3，4，5与6，8，10两组， 考虑a，b的顺序，有2 种情况， 即符合题意的圆有2 ＝4个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 （3）圆心在直线x＋y－10＝0上的圆有多少个？ 解： 圆心在直线x＋y－10＝0上，即满足a＋b＝10， 则满足条件的a，b有三组：0，10；3，7；4，6. 当a，b取10，0时，r有7种情况， 当a，b取3，7或4，6时，r不可取0，有6种情况， 考虑a，b的顺序，有 种情况， 所以满足题意的圆共有 （ ＋2 ）＝38个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 $