6.1 第2课时 两个计数原理的综合应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦两个计数原理的综合应用，通过组数、抽取分配、涂色种植三大典型题型，从基础密码排列到无重复数字偶数等问题逐步深入，构建由易到难的学习支架，帮助学生衔接计数原理的基础与综合应用。 其亮点在于采用“例题精研析+通性通法总结+分层训练”模式，结合车牌自编、种植分配等生活实例，培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理分析、用数学语言表达模型的能力。通性通法提炼助力学生掌握解题规律，既提升学生逻辑思维与应用能力，也为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

第2课时　 两个计数原理的综合应用 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 组数问题 【例1】　用0，1，2，3，4五个数字. （1）可以排成多少个三位数字的密码？ 解： 三位数字的密码，首位可以是0，数字也可以重复， 每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125（个）. 目录 数学·必修第一册 （2）可以排成多少个三位数？ 解： 三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考 虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因 此，共有4×5×5＝100（个）. 目录 数学·必修第一册 （3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 解： 被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此， 可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12（种）排法； 另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首 位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有 2×3×3＝18（种）排法.因而有12＋18＝30（种）排法.即可以 排成30个能被2整除的无重复数字的三位数. 目录 数学·必修第一册 【母题探究】 　（变设问）由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四 位奇数？ 解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一 步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，从 1，2，3，4中除去用过的一个，从剩下的3个中任取一个，有3种方 法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方 法，再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36 （个）. 目录 数学·必修第一册 通性通法 解决组数问题的方法 （1）对于组数问题，一般按特殊位置（一般是末位和首位）优先的 方法分类或分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反 面求解； （2）解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的， 要善于挖掘.组数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则. 提醒　数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的 最高位. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　由0，1，2，3这四个数字，可组成多少个： （1）无重复数字的三位数？ 解： 0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数 字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数 共有3×3×2＝18（个）. 目录 数学·必修第一册 （2）可以有重复数字的三位数？ 解： 百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字 也有4种选择. 由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4 ＝48（个）. 目录 数学·必修第一册 题型二 抽取（分配）问题 【例2】　高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实 践，其中工厂甲必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同 的分配方案有（　　） A. 16种 B. 18种 C. 37种 D. 48种 目录 数学·必修第一册 解析： 　法一（直接法）　按甲工厂分配的班情况进行分类，共分 为三类：第一类，三个班都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况； 第二类，有两个班去甲工厂，剩下的一个班去另外三个工厂，分配方 案共有3×3＝9（种）；第三类，有一个班去甲工厂，另外两个班去 其他三个工厂，分配方案共有3×3×3＝27（种）.综上所述，不同的 分配方案有1＋9＋27＝37（种）. 法二（间接法）　先计算三个班自由选择去哪个工厂的总数，再扣除 甲工厂无人去的情况，即4×4×4－3×3×3＝37（种）方案. 目录 数学·必修第一册 通性通法 解决抽取（分配）问题的方法 （1）当涉及对象的数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图 法或图表法； （2）当涉及对象的数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类 加法计数原理或分步乘法计数原理：一般地，若抽取是有顺序 的，则按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行； ②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去 所有不符合条件的抽取方法数即可. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个 盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共 有（　　） A. 18种 B. 9种 解析： 　由于1号球不放入1号盒子，则1号球可放入2，3，4号盒 子，有3种选择，则2号球有3种选择，3号球有2种选择，4号球只有 1种选择.根据分步乘法计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有 3×3×2×1＝18（种）.故选A. C. 6种 D. 3种 目录 数学·必修第一册 2. 甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的 贺卡，则不同取法的种数为 ⁠. 解析：不妨由甲先来取，共2种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取 后第二个来取，余下来的人，都只有了一种选择，所以不同取法共 有2×1×1＝2（种）. 2　 目录 数学·必修第一册 题型三 涂色（种植）问题 【例3】　（1）将5种不同的颜色涂在如图所示的四个区域A，B， C，D中，每个区域涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色不同，则不同 的涂色方法有 种； 180　 目录 数学·必修第一册 解析： 法一　可分步进行，A有5种涂法，B有4种.当A与 D不同色时，D有3种涂法，C有2种涂法，共有5×4×3×2＝ 120（种）涂法.当A与D同色时，C有3种涂法，共有5×4×3＝ 60（种）.综上，不同的涂色方法有180种. 法二　先排B，C，D，两两不同色，有5×4×3＝60（种）方法.再 排A，A只要与B，C不同色即可，有3种涂色方法.故不同的涂色方 法有60×3＝180（种）. 目录 数学·必修第一册 （2）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在 三块不同土质的土地上，其中黄瓜必须种植，则有 ⁠种不 同的种植方法. 18　 解析：法一（直接法）　若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6 （种）不同的种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均 有3×2＝6（种）不同的种植方法.故不同的种植方法共有6×3＝18 （种）. 法二（间接法）　从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2 ＝24（种），其中不种黄瓜有3×2×1＝6（种），故共有24－6＝18 （种）不同的种植方法. 目录 数学·必修第一册 通性通法 解决涂色（种植）问题的一般思路 （1）按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理 分析； （2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线 段”等问题，用分类加法计数原理分析； （3）对于涂色问题，将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色 问题. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 对图中的A，B，C三个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共 边的区域不同色.现有红、黄、蓝三种不同的颜色可以选择，则不 同的染色方法共有（　　） A B C A. 22种 B. 18种 解析： 　先给A选色，有3种方法；再给B选色，有2种方法；再 给C选色，有2种方法，由分步乘法计数原理可得不同的染色方法 共有3×2×2＝12（种）.故选C. C. 12种 D. 6种 目录 数学·必修第一册 2. 如图，将1个四棱锥的每个面染上1种颜色，使每两个具有公共棱的 面染成不同颜色.如果只有4种颜色可使用，那么不同的染色方法有 （　　） A. 36种 B. 48种 C. 72种 D. 108种 目录 数学·必修第一册 解析： 　当侧面SAB与侧面SDC同色时，底面ABCD有4种染色 方法，侧面SDC有3种染色方法，侧面SAD有2种染色方法，侧面 SAB有1种染色方法，侧面SBC有2种染色方法，共有 4×3×2×1×2＝48（种）染色方法.当侧面SAB与侧面SDC不同 色时，底面ABCD有4种染色方法，侧面SDC有3种染色方法，侧 面SAD有2种染色方法，侧面SAB有1种染色方法，侧面SBC有1种 染色方法，共有4×3×2×1×1＝24（种）染色方法.则不同的染色 方法共有48＋24＝72（种）. 目录 数学·必修第一册 1. 用1，2，3，4四个数字组成没有重复数字的三位偶数共有（　　） A. 6个 B. 18个 C. 24个 D. 12个 解析： 　先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，由3×2＝6 种选择，根据分步乘法计数原理可得共有2×6＝12个没有重复数字 的三位偶数.故选D. 目录 数学·必修第一册 2. 某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左数第2个号码只能从 字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这10个数字中选 择（数字可以重复）.若某车主第1个号码（从左到右）只想在数字 3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他 可选的车牌号码的所有可能情况有（　　） A. 180种 B. 360种 C. 720种 D. 960种 解析： 按照车主的要求，从左到右第1个号码有5种选法，第2 个号码有3种选法，其余3个号码各有4种选法，因此共有 5×3×4×4×4＝960（种）情况. 目录 数学·必修第一册 3. 如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有 种. A B C D 解析：先涂A，有4种选择，则B有3种 选择，而为了让C与A、B都不一样，则C有2种选择，再涂D，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4×3×2×3＝72（种）. 72　 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 某乒乓球队里有6名男队员，5名女队员，从中选取男、女队员各1 名组成混合双打队，则不同的组队方法的种数为（　　） A. 11 B. 30 C. 56 D. 65 解析： 　先选1名男队员，有6种方法，再选1名女队员，有5种方 法，故共有6×5＝30（种）不同的组队方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第一册 2. 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 （　　） A. 243 B. 252 C. 261 D. 279 解析： 　0，1，2，…，9共能组成9×10×10＝900（个）三位 数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648（个），∴有重复数 字的三位数有900－648＝252（个）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第一册 3. 把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有（　　） A. 24种 B. 4种 C. 43种 D. 34种 解析： 　第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也 有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法，只要把这3封信投 完，就完成了这件事情.由分步乘法计数原理可得共有43种方法， 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第一册 4. 用5种不同颜色给如图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环 不能涂相同的颜色，共有多少种不同的涂色方案（　　） A. 1 140 B. 1 520 C. 1 400 D. 1 280 解析： 　从左到右依次涂色（也可以任选一个环作为开始），第 一个圆环有5种选择，第二个圆环以及后面每个圆环均有4种选择， 所以共有5×4×4×4×4＝1 280（种）涂色方法.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第一册 5. 某班同学准备了5个节目参加班级音乐会活动.节目顺序有如下要 求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须 排在最后一位，则在这次活动中节目顺序的编排方案种数为 （　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第一册 解析： 由题意知甲的位置影响乙的排列，所以要分两类：①甲 排在第一位，丙排在最后一位，则其余3个节目共有3×2×1＝6种 编排方案；②甲排在第二位，丙排在最后一位，从第三、四位中排 乙，其余2个节目排在剩下的2个位置，共有2×2×1＝4种编排方 案.故编排方案共有6＋4＝10种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第一册 6. （多选）某食堂窗口供应两荤三素共5种菜，甲、乙两人每人在该 窗口打2份菜，且每人至多打1份荤菜，则下列说法正确的是 （　　） A. 甲若选1份荤菜，则有6种选法 B. 乙的选菜方法数为9 C. 若两人分别打菜，则总的方法数为18 D. 若两人打的菜均为一荤一素且只有一份相同，则方法数为30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第一册 解析： 　甲选一份荤菜，则有2×3＝6（种）选法，选项A正 确；乙的选菜方法数为2×3＋3＝9（种），选项B正确；两人分别 打菜时，总的方法数为9×9＝81（种），选项C不正确；两人所打 菜只有一份相同时，若荤菜相同，则有2×3×2＝12（种）；若素 菜相同，则有3×2＝6（种）.所以若两人所打菜均为一荤一素且只 有一份相同时的选法数为12＋6＝18，选项D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第一册 7. 在如图所示的四个区域中，有5种不同的花卉可选，每个区域只能 种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法共 有 种（用数字作答）. 解析：由分步乘法计数原理得不同的种植方法共有5×4×3×4＝ 240种. 240　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第一册 8. 在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为 “驼峰数”，比如“102”“546”为“驼峰数”.由数字1，2，3， 4可构成无重复数字的“驼峰数”有 个，其中偶数有 个. 解析：十位上的数为1时，有213，214，312，314，412，413，共6 个，十位上的数为2时，有324，423，共2个，所以共有6＋2＝8个. 偶数为214，312，314，412，324，共5个. 8　 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第一册 9. 已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联 卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账， 顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以，则甲、 乙、丙、丁购物后依次结账，他们结账方式共有 种. 解析：当乙用现金结账时，此时甲和乙都用现金结账，所以丙有3 种方式，丁有4种方式，共有3×4＝12（种）方式；当乙用银联卡 结账时，此时甲用现金结账，丙有2种方式，丁有4种方式，共有 2×4＝8（种）方式.综上，共有12＋8＝20（种）方式. 20　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第一册 10. 一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复， 则不同的参观路线共有（　　） A. 6种 B. 8种 C. 36种 D. 48种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第一册 解析： 　如图所示，由题意知在A点可先参观区 域1，也可先参观区域2或3，选定一个区域后可以 按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一 步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48 （种）不同的参观路线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第一册 11. （多选）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位 同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已 知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数 为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第一册 解析： 　设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示.若任意 两位同学之间都进行交换，需要进行5＋4＋3＋2＋1＝15（次）交 换，现只进行了13次交换，说明有2次交换没有发生，此时可能有 两种情况：①由3人构成的2次交换，如a～b和a～c之间的交换 没有发生，则收到4份纪念品的有b，c两人.②由4人构成的2次交 换，如a～b和c～d之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的 有a，b，c，d四人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第一册 12. 用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字的四位整数有 ⁠ 个；其中比2 000大的四位偶数有 个. 解析：①分四步：第1步，千位数字有5种选取方法；第2步，百位 数字有5种选取方法；第3步，十位数字有4种选取方法；第4步， 个位数字有3种选取方法.由分步乘法计数原理知，可组成无重复 数字的四位整数共5×5×4×3＝300（个）.②分为三类：第1类， 末位是0的有4×4×3＝48（个）；第2类，末位是2的有3×4×3＝ 36（个）；第3类，末位是4的有3×4×3＝36（个）.由分类加法 计数原理知，共有48＋36＋36＝120（个）. 300　 120　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第一册 13. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域 不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法 共有 种（以数字作答）. 72　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第一册 解析：①当使用4种颜色时，先着色区域1，有4种方法，剩下3种 颜色涂其他4个区域，即有1种颜色涂相对的2块区域，有3×2×2 ＝12（种），由分步乘法计数原理得，共有4×12＝48（种）.② 当使用3种颜色时，从4种颜色中选取3种，有4种方法，先着色区 域1，有3种方法，剩下2种颜色涂4个区域，只能是一种颜色涂第 2，4区域，另一种颜色涂第3，5区域，有2种着色方法.由分步乘 法计数原理得有4×3×2＝24（种）.综上，共有48＋24＝72 （种）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第一册 14. 高中学生甲到教室需要走楼梯，一步可以迈一级或两级或三级 台阶. （1）若楼梯有4级台阶，则甲有多少种不同的爬楼方法； 解： 用1，2，3分别表示学生甲一步迈一级、两级、三 级台阶，用例举法可知学生甲有1111，121，112，13， 211，22，31，共7种不同的爬楼方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第一册 （2）若楼梯有10级台阶，则甲有多少种不同的爬楼方法. 解： 设学生甲爬n级台阶有an种方法，考虑最后一 步：若最后一步只迈一级台阶，则前n－1级台阶有an－1种 方法； 若最后一步迈两级台阶，则前n－2级台阶有an－2种不同的 方法； 若最后一步迈三级台阶，则前n－3级台阶有an－3种不同的 方法， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第一册 由分类加法计数原理得：an＝an－1＋an－2＋an－3 （n≥4），显然a1＝1，a2＝2，a3＝4，则：a4＝a1＋a2＋ a3＝7，a5＝a2＋a3＋a4＝13，a6＝a3＋a4＋a5＝24，a7＝a4 ＋a5＋a6＝44，a8＝a5＋a6＋a7＝81，a9＝a6＋a7＋a8＝ 149，a10＝a7＋a8＋a9＝274， 故该学生上10级台阶的楼梯有274种不同的爬楼方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第一册 $