7.3.4 正切函数的性质与图象-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦正切函数的性质与图象核心知识点，以“两小儿辩日”的太阳角度问题创设情境，类比正弦、余弦函数的学习方法，引导学生从已知探究未知，搭建知识支架。 特色在于情境化导入联系生活实际培养直观想象，通过类比法和问题链引导逻辑推理，题型分层设计（例题、母题探究、跟踪训练）强化数学运算，帮助学生构建知识体系，提升教师教学效率与学生学习效果。

7.3.4　正切函数的性质与图象 新课程标准解读 核心素养 1.了解正切函数，会画y＝tan x的图象 直观想象 2.理解正切函数的性质，并能利用正切函数的图象及性质解决有关问题 数学运算、逻辑推理 　　 孔子东游，见两小儿辩斗，问其故，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地.在相同的时间、相等的面积里，物体在直线状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题. 　那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？ 　　类比y＝sin x，y＝cos x的图象与性质. 【问题】　（1）y＝tan x是周期函数吗？有最大（小）值吗？ （2）正切函数的图象是连续的吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　正切函数 　对于任意一个角x，只要　x≠＋kπ，k∈Z　，就有　唯一　确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数. 知识点二　正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在每个开区间　（k∈Z）　上都是增函数 对称性 对称中心　（k∈Z）　 零点 kπ，k∈Z 提醒　“三点两线法”作正切函数的图象：①“三点”分别为（kπ，0），，，其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋和直线x＝kπ－，其中k∈Z（两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交）；②作图象时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用平滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可. 【想一想】 1.正切函数在定义域上是单调函数吗？ 提示：不是. 2.正切函数只有一个对称中心吗？ 提示：不是，点（k∈Z）是其对称中心，有无数个. 3.正切曲线有无数条对称轴，其对称轴是x＝＋kπ（k∈Z），对吗？ 提示：不对.正切曲线没有对称轴. 　判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）正切函数的定义域和值域都是R.（　×　） （2）正切函数在R上是递增的.（　×　） （3）正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心.（　√　） 　　 题型一 正切函数的定义域及值域 【例1】　（1）函数y＝＋lg（1－tan x）的定义域是　　； （2）函数y＝tan（sin x）的值域为　[－tan 1，tan 1]　. 解析：（1）要使函数y＝＋lg（1－tan x）有意义，则即－1≤tan x＜1.在上满足上述不等式的x的取值范围是.又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为. （2）因为－1≤sin x≤1，且[－1，1]⊆，所以y＝tan x在[－1，1]上是增函数，因此tan（－1）≤tan x≤tan 1，即函数y＝tan（sin x）的值域为[－tan 1，tan 1]. 【母题探究】 　（变条件）本例（2）中函数变为“y＝tan2x－2tan x，｜x｜≤”，求函数y＝tan2x－2tan x的值域. 解：令u＝tan x，∵｜x｜≤，∴由正切函数的图象知u∈[－，]，∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－，]，∵二次函数y＝u2－2u＝（u－1）2－1图象开口向上，对称轴方程为u＝1，∴当u＝1时，ymin＝－1，当u＝－时，ymax＝3＋2，∴原函数的值域为[－1，3＋2]. 通性通法 1.求正切函数定义域的方法 （1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解； （2）求正切型函数y＝Atan（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个整体.令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x. 2.求正切函数值域的方法 （1）对于y＝Atan（ωx＋φ）的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域； （2）对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域. 【跟踪训练】 1.函数y＝tan的定义域为　　. 解析：要使函数有意义，自变量x的取值应满足3x－≠kπ＋（k∈Z），得x≠＋（k∈Z），∴函数的定义域为. 2.函数y＝tan，x∈的值域是　[－，0]　. 解析：y＝tan＝－tan.∵x∈，∴2x－∈.∴0≤tan≤.∴－≤tan≤0，故函数y＝tan，x∈的值域为[－，0]. 题型二 正切函数的周期性、奇偶性 【例2】　（1）函数y＝4tan的最小正周期为　　. （2）判断下列函数的奇偶性： ①f（x）＝； ②f（x）＝tan＋tan. （1）解析：由于ω＝3，故函数的最小正周期为T＝＝. （2）解：①由 得f（x）的定义域为{x｜x≠kπ＋且x≠kπ＋，k∈Z}， 不关于原点对称， 所以函数f（x）既不是偶函数，也不是奇函数. ②函数定义域为， 关于原点对称， 又f（－x）＝tan＋tan＝－tan－tan＝－f（x）， 所以函数是奇函数. 通性通法 1.函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）周期的求解方法 （1）定义法； （2）公式法：对于函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期T＝； （3）观察法（或图象法）：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现. 2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f（－x）与f（x）的关系. 【跟踪训练】 1.函数f（x）＝tan的最小正周期为（　　） A.　　　　　　　　 B. C.π D.2π 解析：A　函数f（x）＝tan（ωx＋φ）的最小正周期是T＝，直接利用公式，可得T＝＝. 2.判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝tan x＋；（2）f（x）＝lg｜tan x｜. 解：（1）要使函数有意义，需满足：tan x≠0，且tan x有意义，即x∈∪，k∈Z，可知定义域关于原点对称.又对于定义域内的任意x，都有f（－x）＝－tan x－＝－f（x），∴函数f（x）为奇函数. （2）由得 ∴函数f（x）的定义域为（－＋kπ，kπ）∪（kπ，＋kπ），k∈Z，定义域关于原点对称. 又对任意x∈（－＋kπ，kπ）∪（kπ，＋kπ），k∈Z，都有f（－x）＝lg｜tan（－x）｜＝lg｜－tan x｜＝lg｜tan x｜＝f（x）， ∴函数f（x）是偶函数. 题型三 正切函数的单调性 【例3】　（1）比较大小：tan 1，tan 2，tan 3； （2）求函数y＝2tan的单调区间. 解：（1）由诱导公式可知tan 2＝tan（2－π），tan 3＝tan（3－π），因为＜2＜π，＜3＜π，所以－＜2－π＜0，－＜3－π＜0，所以－＜2－π＜3－π＜1＜.因为函数y＝tan x在上单调递增，所以tan（2－π）＜tan（3－π）＜tan 1，即tan 2＜tan 3＜tan 1. （2）y＝2tan＝－2tan， 由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z，可得－＜x＜＋，k∈Z， 故函数y＝2tan的单调递减区间为，k∈Z，无单调递增区间. 通性通法 1.正切型函数单调区间的求解思路 正切函数y＝tan x在开区间（k∈Z）上是增函数，求函数y＝Atan（ωx＋φ）的单调区间，将“ωx＋φ”视为一个整体，若ω＜0，一般先用诱导公式化为ω＞0，使x的系数为正值，然后求单调区间.当A＞0（或A＜0）时，函数y＝Atan（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的单调性与y＝tan x，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z的单调性相同（或相反），解不等式即可得出对应单调区间. 2.利用正切函数的单调性，比较两个正切值大小的步骤 （1）利用诱导公式将任意角的正切值转化为内的正切值； （2）确定转化到内的各角的大小顺序； （3）利用y＝tan x在上为增函数的性质得出大小顺序. 【跟踪训练】 1.若函数f（x）＝tan x在区间上单调递增，则实数a的取值范围是　（0，1]　. 解析：∵＞，∴a＞0，∵＞0，＜0，∴解得0＜a≤1. 2.不通过求值，比较大小：tan和tan. 解：∵tan＝－tan＝tan， tan＝－tan＝tan. 又0＜＜＜，y＝tan x在内单调递增， ∴tan＜tan，即tan＞tan. 题型四 正切函数的图象及应用 【例4】　画出函数y＝｜tan x｜的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性. 解：由y＝｜tan x｜得， y＝其图象如图所示. 由图象可知，函数y＝｜tan x｜是偶函数， 单调递增区间为（k∈Z）， 单调递减区间为（k∈Z），周期为π. 通性通法 1.作函数y＝｜f（x）｜的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是： （1）保留函数y＝f（x）图象在x轴上方的部分； （2）将函数y＝f（x）图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折. 2.若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可. 【跟踪训练】 　根据正切函数的图象，写出tan x≥－1的解集. 解：作出y＝tan x及y＝－1的图象，如图. ∴满足此不等式的x的集合为{x＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z}. 1.函数f（x）＝tan，x∈R的最小正周期为（　　） A.　　　　　　　　　　 B.π C.2π D.4π 解析：C　由＝2π，故选C. 2.函数f（x）＝2tan（－x）是（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数也是偶函数 D.非奇非偶函数 解析：A　因为f（－x）＝2tan x＝－2tan（－x）＝－f（x），且f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）＝2tan（－x）是奇函数. 3.函数f（x）＝tan的定义域是　　. 解析：由题意知x＋≠kπ＋（k∈Z），即x≠＋kπ（k∈Z）.故定义域为{x｜x≠kπ＋，k∈Z}. 4.函数y＝tan的单调递增区间是　（k∈Z）　，对称中心为　（kπ－，0）（k∈Z）　. 解析：由kπ－＜＋＜kπ＋，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z.令＋＝（k∈Z），则x＝kπ－（k∈Z），所以对称中心坐标为（kπ－，0）（k∈Z）. 5.求函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域. 解：∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1. 令tan x＝t，则t∈[－1，1]. ∴y＝－t2＋4t＋1＝－（t－2）2＋5. ∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4， 当t＝1，即x＝时，ymax＝4. 故所求函数的值域为[－4，4]. 1.函数f（x）＝｜tan 2x｜是（　　） A.周期为π的奇函数　　　 B.周期为π的偶函数 C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数 解析：D　f（－x）＝｜tan（－2x）｜＝｜tan 2x｜＝f（x）为偶函数，T＝. 2.当x∈时，函数y＝tan｜x｜的图象（　　） A.关于原点对称 B.关于y轴对称 C.关于x轴对称 D.没有对称轴 解析：B　∵x∈，f（－x）＝tan ｜－x｜＝tan ｜x｜＝f（x），∴f（x）为偶函数，即y＝tan ｜x｜的图象关于y轴对称. 3.（多选）若直线y＝m（m为常数）与函数f（x）＝tan ωx（ω＞0）的图象的相邻两支相交于A，B两点，且｜AB｜＝，则（　　） A.函数f（x）的最小正周期为 B.ω＝4 C.函数f（x）图象的对称中心的坐标为（，0）（k∈Z） D.函数｜f（x）｜图象的对称轴方程均可表示为x＝（k∈Z） 解析：BC　∵｜AB｜＝，则T＝，∴ω＝4，故A错，B正确；令4x＝kπ，k∈Z，∴x＝kπ，k∈Z.∴y＝tan 4x的图象的对称中心为（k∈Z），故C正确；y＝｜f（x）｜图象的对称轴方程为x＝（k∈Z），故D错. 4.函数y＝tan在一个周期内的图象是下图中的（　　） 解析：A　由函数周期T＝＝2π，排除选项B、D；将x＝代入函数式中，得tan＝tan 0＝0.故函数图象与x轴的一个交点为.故选A. 5.函数f（x）＝tan ωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y＝1所得的线段长为，则f的值是（　　） A.0 B. C.1 D. 解析：D　f（x）＝tan ωx的图象的相邻两支截直线y＝1所得的线段长度为函数的周期，所以该函数的周期是，所以＝（ω＞0），解得ω＝4.所以f（x）＝tan 4x，当x＝时，f＝tan＝tan ＝. 6.（多选）下列说法错误的是（　　） A.函数y＝tan x的所有对称中心是（kπ，0）（k∈Z） B.直线y＝a与正切函数y＝tan x图象相邻两交点之间的距离为π C.y＝2tan x，x∈的值域为[0，＋∞） D.y＝tan x在其定义域上是增函数 解析：AD　A错，对称中心为（k∈Z）；B对，同y＝tan x的周期为π；C对，x∈时，tan x≥0；D错，它的单调区间只在（kπ－，kπ＋）（k∈Z）内，而不能说它在定义域内是增函数，由此可知D错. 7.函数y＝的定义域为　（k∈Z）　. 解析：由题可得tan x＋1≥0，即tan x≥－1，解得x∈（k∈Z）. 8.若函数f（x）＝2tan的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值为　2或3　. 解析：由T＝，又1＜T＜2，∴k的值可取2或3. 9.函数y＝tan的最小正周期为　　，其图象的对称中心为　（k∈Z）　. 解析：最小正周期T＝.由＝2x－（k∈Z）得x＝＋（k∈Z）.∴对称中心为（k∈Z）. 10.已知函数f（x）＝3tan. （1）求f（x）的定义域与单调区间； （2）比较f与f的大小. 解：（1）由函数f（x）＝3tan， 可得2x－≠kπ＋求得x≠＋，k∈Z， 故函数的定义域为. 令kπ－＜2x－＜kπ＋，k∈Z， 求得－＜x＜＋，k∈Z. 故函数的单调增区间为，k∈Z. （2）f＝3tan ＝－3tan ＜0， f＝3tan＝3tan ＞0， 所以f＜f. 11.已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则（　　） A.0＜ω≤1 B.－1≤ω＜0 C.ω≥1 D.ω≤－1 解析：B　∵y＝tan ωx在内是减函数，∴ω＜0且T＝≥π.∴｜ω｜≤1，即－1≤ω＜0. 12.（多选）下列关于函数y＝tan的说法正确的是（　　） A.在区间上单调递增 B.最小正周期是π C.图象关于点成中心对称 D.图象关于直线x＝成轴对称 解析：BC　令kπ－＜x＋＜kπ＋，解得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，显然不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋＝，解得x＝－，k∈Z，当k＝1时，x＝，故C正确；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y＝tan的图象也没有对称轴，故D错误.故选B、C. 13.设函数f（x）＝tan（ωx＋φ），已知函数y＝f（x）的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称. （1）求f（x）的解析式； （2）求不等式－1≤f（x）≤的解集. 解：（1）由题意知，函数f（x）的最小正周期为T＝，即T＝＝. 因为ω＞0，所以ω＝2，从而f（x）＝tan（2x＋φ）. 因为函数y＝f（x）的图象关于点M对称， 所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z. 因为0＜φ＜，所以φ＝，故f（x）＝tan. （2）由（1）知，f（x）＝tan. 由－1≤tan≤，得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z， 即－＋≤x≤＋，k∈Z. 所以不等式－1≤f（x）≤的解集为，k∈Z. 14.已知函数f（x）＝tan（x＋φ）的图象的一个对称中心为，则φ的值为　或－　，最小正周期为　π　. 解析：由于是函数f（x）图象的对称中心，所以＋φ＝π，k∈Z，所以φ＝π－，k∈Z，由于｜φ｜＜，故取k＝0，1，φ＝－，，T＝π. 15.已知f（x）＝ . （1）判断f（x）的奇偶性； （2）当x∈[－π，π]，且x≠±时，画出f（x）的简图，并指出函数的单调区间. 解：（1）由函数f（x）＝的解析式可得函数的定义域为关于原点对称， 又因为f（x）＝＝， 所以f（－x）＝＝＝－f（x）， 所以函数f（x）＝为奇函数. （2）由（1）可得 f（x）＝ 其图象如图所示： 由图象可知f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为，. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $