7.3.3 余弦函数的性质与图象-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦余弦函数的图象与性质，通过过山车“爬升”“滑落”的生活情境导入，衔接正弦函数图象平移法，构建从生活现象到数学概念的学习支架，梳理五点法作图及单调性、最值等性质。 以生活实例培养数学眼光，通过五点法作图发展直观想象，分层题型训练提升数学运算与逻辑推理能力，助力学生理解知识本质，为教师提供情境化教学与分层训练的实用素材。

7.3.3　余弦函数的性质与图象 新课程标准解读 核心素养 1.会用“五点法”“图象变换法”作余弦函数y＝cos x和y＝Acos（ωx＋φ）的图象 逻辑推理 2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值 直观想象、数学运算 　　 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转（儿童过山车没有倒转）等几个循环路径. 【问题】　（1）函数y＝cos x的图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是它的什么性质？ （2）过山车爬升到最高点，接着滑落到最低点，然后再爬升，对应y＝cos x的什么性质？y＝cos x在什么位置取得最值？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　余弦函数的图象 1.余弦函数 对于任意一个角x，都有　唯一　确定的余弦cos x与之对应，所以y＝cos x是一个函数，一般称为　余弦函数　. 2.余弦函数y＝cos x图象的画法 （1）平移法：由cos x＝sin知，余弦函数y＝cos x 的图象可以通过将正弦曲线y＝sin x向　左　平移　　个单位得到； （2）五点法：函数y＝cos x在[0，2π]内的图象的五个关键点分别是：（0，1），，　（π，－1）　，　　，（2π，1）. 提醒　正（余）弦函数图象的说明：比较正弦函数y＝sin x、余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，二者的图象的最低点都只有一个；余弦函数的图象与x轴的交点有两个，而正弦函数的图象与x轴的交点有三个；余弦函数图象的最高点有两个，而正弦函数图象的最高点只有一个. 【想一想】 　函数y＝sin x的图象向右平移能得到函数y＝cos x的图象吗？ 提示：能.向右平移个单位. 　用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是（　　） A.0，，π，，2π　　　　　B.0，，，，π C.0，π，2π，3π，4π D.0，，，， 解析：B　令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，，，π，故选B. 知识点二　余弦函数的性质 函数 y＝cos x 定义域 R 值域 [－1，1] 最值 当x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；当x＝（2k＋1）π（k∈Z）时，ymin＝－1 周期性 是周期函数，最小正周期为2π 奇偶性 是偶函数，图象关于y轴对称 单调性 当x∈[（2k－1）π，2kπ]（k∈Z）时，函数单调递增；当x∈[2kπ，（2k＋1）π]（k∈Z）时，函数单调递减 零点 ＋kπ（k∈Z） 图象的对称性 对称中心为点，k∈Z；对称轴为直线x＝kπ，k∈Z 【想一想】 1.余弦函数的零点对应正弦函数的哪个性质？ 提示：余弦函数的零点对应正弦函数的对称轴. 2.余弦型函数y＝Acos（ωx＋φ）的周期是多少？ 提示：T＝. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）余弦函数在区间上是单调递增的.（　×　） （2）方程2cos x＋3＝0一定有解.（　×　） （3）函数y＝cos的一条对称轴为.（　×　） 2.函数y＝1－2cos x的最小值，最大值分别是（　　） A.－1，3　　　　　　　 　　 B.－1，1 C.0，3 D.0，1 解析：A　∵－1≤cos x≤1，∴－1≤y≤3. 3.函数y＝cos的单调递减区间是　（k∈Z）　. 解析：由2kπ≤x－≤2kπ＋π可得：2kπ＋≤x≤2kπ＋π＋，即2kπ＋≤x≤2kπ＋（k∈Z）. 　　题型一 余弦型函数的图象 【例1】　用“五点法”作函数y＝3－2cos x，x∈[0，2π]的简图. 解：按五个关键点列表、描点画出图象（如图）. x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 y＝3－2cos x 1 3 5 3 1 通性通法 1.“五点法”作余弦函数y＝cos x图象的策略 （1）“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分，分别找出图象的最高点、最低点等五个关键点，由这五个点大致确定图象的位置和形状.连线要保持光滑，注意凸凹方向； （2）五个关键点的确定：使函数中x取0，，π，，2π，然后求出相应的y值，再作出图象. 2.余弦函数图象变换技巧 当函数不是同名函数时，要先化为同名函数，再进行图象变换.在变换时要注意两点：一是平移变换的规则，“左加右减”“上加下减”；二是对于先伸缩后平移变换中，要注意函数y＝cos（ωx＋φ）（ω＞0）中ω的值. 【跟踪训练】 　用“五点法”作出函数y＝cos（x＋），x∈［－，π］的简图. 解：列表如下： x － μ＝x＋ 0 π 2π y＝cos μ 1 0 －1 0 1 描点作图（如图）. 题型二 余弦型函数的单调性 【例2】　（1）函数f（x）＝5cos的一个单调递减区间是（　　） A.　　　　　　 B. C. D. （2）设a＝cos ，b＝sin ，c＝cos ，则（　　） A.a＞c＞b B.c＞b＞a C.c＞a＞b D.b＞c＞a 答案：（1）B　（2）A 解析：（1）f（x）＝5cos，由2kπ≤3x＋≤π＋2kπ（k∈Z），得－≤x≤＋（k∈Z），所以是f（x）的一个单调递减区间. （2）sin ＝sin＝－sin ＝sin ＝cos ，cos ＝cos＝cos＝cos ，因为y＝cos x在上是减函数，所以cos ＞cos ＞cos ，即a＞c＞b. 通性通法 1.余弦型函数单调区间的求法 （1）如果x的系数为负，则利用诱导公式变为正； （2）将ωx＋φ看作整体，代入到余弦函数的单调区间解出x的范围； （3）若求具体的或一个范围内的单调区间，则给k赋值，即可求出符合条件的单调区间. 2.关于三角函数值比较大小 利用诱导公式，统一成正弦或余弦函数，统一化到一个单调区间内，利用单调性比较大小. 【跟踪训练】 1.函数y＝－3cos x－1的单调递减区间是　[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）　. 解析：∵函数y＝cos x的单调递增区间是[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z），∴函数y＝－3cos x－1的单调递减区间是[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）. 2.比较大小：cos π　＞　cos π. 解析：∵cos π＝cos＝cos ，cos ＝cos＝cos ，而0＜＜＜，∴cos ＞cos ，即cos ＞cos . 题型三 余弦函数的最值问题 角度1　定区间上求值域 【例3】　求函数f（x）＝cos x，x∈上的值域. 解：由余弦函数的性质可知，f（x）＝cos x在上递增，在上递减， 又因为f＝，f（0）＝1，f＝，所以函数的最大值为1，最小值为， 故值域为. 【母题探究】 　（变条件）若将本例中的函数变为g（x）＝cos（2x－），区间不变，求函数的值域. 解：因为－≤x≤，所以－≤2x－≤， 令t＝2x－，则y＝cos t在区间上递增，在上递减，所以y＝cos t的最大值为1，因为cos＝cos ＜cos ， 故最小值为cos＝－， 故原函数的值域为. 通性通法 求定区间上余弦函数的值域 　　求定区间上的值域：可先计算t＝ωx＋φ的范围，根据y＝cos t在所求出的范围内的单调性求值域. 角度2　与二次函数结合求最值 【例4】　求函数y＝sin2x＋cos x的值域. 解：y＝sin2x＋cos x＝1－cos2x＋cos x ＝－cos2x＋cos x＋1＝－＋， 令t＝cos x，则y＝－＋，t∈[－1，1]. 因为－1≤t≤1，所以当t＝时，ymax＝； 当t＝－1时，ymin＝－. 因此函数y＝sin2x＋cos x的值域为. 通性通法 与余弦函数有关的最值问题 （1）求在R上的值域：当余弦在1或－1处取得最值，可直接代入验证，或分情况代入； （2）关于余弦的二次式求最值：可用换元法，配方法求最值. 【跟踪训练】 　函数y＝sin2x＋cos x的值域为　　. 解析：设cos x＝t，因为－≤x≤，则t∈，所以y＝1－cos2x＋cos x＝－（t－）2＋，t∈［，1］，故当t＝，即x＝±时，y的最大值为；当t＝1，即x＝0时，y的最小值为1.所以函数的值域为. 题型四 余弦型函数的奇偶性与对称性 【例5】　已知函数y＝2cos. （1）在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程； （2）把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值. 解：（1）令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－（k∈Z）.令k＝0，x＝－；令k＝1，x＝.∴函数y＝2cos的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝. （2）设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f（x），则f（x）＝2cos＝2cos（2x＋－2φ）.∵y＝f（x）的图象关于原点（0，0）对称，∴f（0）＝2cos＝0.∴－2φ＝kπ＋，k∈Z.解得φ＝－（k∈Z）.令k＝0，得φ＝，∴φ的最小正值是. 通性通法 关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论 （1）f（x）＝Asin（ωx＋φ）（或Acos（ωx＋φ））的图象关于x＝x0对称⇔f（x0）＝A或－A； （2）f（x）＝Asin（ωx＋φ）（或Acos（ωx＋φ））的图象关于点（x0，0）中心对称⇔f（x0）＝0. 【跟踪训练】 1.设函数f（x）＝sin，x∈R，则f（x）是（　　） A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 解析：B　∵sin＝－sin＝－cos 2x，∴f（x）＝－cos 2x.又f（－x）＝－cos（－2x）＝－cos 2x＝f（x），∴f（x）是最小正周期为π的偶函数. 2.若函数y＝cos（ω∈N＋）图象的一个对称中心是，则ω的最小值为（　　） A.1　　　　　　　　　　 B.2 C.4 D.8 解析：B　由题意有ω＋＝kπ＋（k∈Z），整理得ω＝6k＋2（k∈Z）.又ω∈N＋，所以ω的最小值为2，故选B. 1.函数y＝1－cos x，x∈[0，2π]的大致图象为（　　） 解析：D　可根据x∈[0，2π]取x＝0，π，2π验证知选D. 2.（多选）下列函数中，最小正周期为π的有（　　） A.y＝cos｜2x｜ B.y＝｜cos x｜ C.y＝cos D.y＝sin 解析：ABC　y＝cos｜2x｜＝cos 2x的最小正周期为π；y＝｜cos x｜的最小正周期为π；y＝cos（2x＋）的最小正周期为π；y＝sin的最小正周期为2π. 3.比较大小： （1）cos 15°　＞　cos 35°； （2）cos　＜　cos. 解析：（1）∵0°＜15°＜35°＜90°，且当0°≤x≤90°时，y＝cos x单调递减，∴cos 15°＞cos 35°. （2）∵－＜－＜－＜0，且y＝cos x在［－，0］上单调递增，∴cos＜cos. 4.求函数y＝3－2cos的对称中心坐标，对称轴方程. 解：由于y＝cos x的对称中心坐标为（k∈Z），对称轴方程为x＝kπ（k∈Z）， 又由2x－＝kπ＋，得x＝＋（k∈Z）； 由2x－＝kπ，得x＝＋（k∈Z）， 故y＝3－2cos的对称中心坐标为（k∈Z）， 对称轴方程为x＝＋（k∈Z）. 　 1.函数y＝cos x＋｜cos x｜，x∈[0，2π]的大致图象为（　　） 解析：D　由题意得 y＝显然只有D合适. 2.下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（　　） A.y＝cos｜x｜ B.y＝cos｜－x｜ C.y＝sin D.y＝－sin 解析：C　y＝cos｜x｜在上是减函数，排除选项A；y＝cos｜－x｜＝cos｜x｜，排除选项B；y＝sin＝－sin＝－cos x，是偶函数，且在（0，π）上单调递增，选项C符合题意；y＝－sin 在（0，π）上是单调递减的.故选C. 3.函数y＝｜cos x｜的一个单调减区间是（　　） A. B. C. D. 解析：C　作出函数y＝｜cos x｜的图象如图所示，由图象可知，A、B都不是单调区间，D是单调增区间，C是单调减区间. 4.函数y＝2sin2x＋2cos x－3的最大值为（　　） A.－1 B.1 C.－ D.－5 解析：C　由题意，得y＝2sin2x＋2cos x－3＝2（1－cos2x）＋2cos x－3＝－2－.因为－1≤cos x≤1，所以当cos x＝时，函数有最大值－. 5.（多选）设函数f（x）＝cos，则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的一个周期可为－2π B.f（x）的图象关于直线x＝对称 C.f（x）在上单调递减 D.f（x＋π）的一个零点为x＝ 解析：ABD　函数f（x）＝cos，则函数的周期为π的倍数，故A正确.当x＝时，f＝－1，故f（x）的图象关于直线x＝对称，故B正确.f（x）的单调递减区间为，故C错误.f＝cos＝0，故f（x＋π）的一个零点为x＝，故D正确. 6.已知m是函数f（x）＝cos x图象的一个对称中心的横坐标，则f（m）＝（　　） A.－1 B.0 C. D.1 解析：B　函数f（x）＝cos x图象的对称中心的横坐标为x＝＋kπ，k∈Z，则m＝＋kπ，k∈Z，从而f（m）＝f＝cos＝0. 7.函数ƒ（x）＝3cos（ω＞0）的最小正周期为，则ƒ（π）＝　－　. 解析：由已知＝得ω＝3，∴ƒ（x）＝3cos，∴ƒ（π）＝3cos＝3cos＝－3cos＝－. 8.将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为　y＝－cos 2x　. 解析：将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝cos［2＋］＝cos（2x＋π）＝－cos 2x. 9.函数y＝Acos（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的图象在同一周期内有最高点，最低点，则该函数的解析式为　y＝4cos－1　. 解析：∵2A＝3－（－5）＝8，∴A＝4. ∵2b＝3＋（－5）＝－2，∴b＝－1. 又＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2. ∴y＝4cos（2x＋φ）－1. 又函数的图象过点，从而3＝4cos（2×＋φ）－1， ∴cos＝1，即＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝－＋2kπ，k∈Z， 又｜φ｜＜，∴φ＝－，∴y＝4cos－1. 10.已知函数y1＝a－bcos x的最大值是，最小值是－，求函数y＝－4asin 3bx的最大值. 解：∵函数y1的最大值是，最小值是－，当b＞0时，由题意得∴当b＜0时，由题意得∴因此函数y＝－2sin 3x或y＝2sin 3x的最大值均为2. 11.（多选）对于函数f（x）＝下列说法中不正确的是（　　） A.该函数的值域是[－1，1] B.当且仅当x＝2kπ＋（k∈Z）时，函数取得最大值1 C.当且仅当x＝2kπ－（k∈Z）时，函数取得最小值－1 D.当且仅当2kπ＋π＜x＜2kπ＋（k∈Z）时，f（x）＜0 解析：ABC　画出函数f（x）的图象（如图），由图象容易看出：该函数的值域是；当x＝2kπ＋或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数取得最小值－；当且仅当2kπ＋π＜x＜2kπ＋，k∈Z时，f（x）＜0，可知A、B、C不正确. 12.已知函数f（x）＝acos x＋b的最大值为1，最小值为－3，则函数g（x）＝bsin x＋a的最大值为　－1或3　，最小值为　1或－3　. 解析：由题意知或解得或故函数g（x）的最大值为a－b＝a＋1，即最大值为3或－1，函数g（x）的最小值为a＋b＝a－1，即最小值为1或－3. 13.已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示. （1）求f（x）的解析式； （2）若x∈，求f（x）的取值范围. 解：（1）由题图知A＝2，＝－＝， ∴T＝π，∴ω＝2. ∴f（x）＝2cos（2x＋φ）. 又f（x）过点代入得2cos＝2， ∴cos＝1， ∴＋φ＝2kπ，k∈Z， ∴φ＝－＋2kπ，k∈Z， 又｜φ｜＜，∴φ＝－. ∴f（x）＝2cos. （2）∵x∈， ∴2x－∈， ∴cos∈， ∴f（x）∈（－，2]. ∴当x∈时，f（x）的取值范围是（－，2]. 14.重庆是西部大开发重要的战略支点、“一带一路”和长江经济带重要联结点以及内陆开放高地；重庆是享誉世界的山城，雾都和英雄城，近年来又以桥都扬名世界.重庆有数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：拱桥部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合.已知桥拱部分跨度长552 m，两端引桥各长190 m，主桁最高处距离桥面89.5 m，则下列函数中，将其图象上每一点的横、纵坐标等倍扩大后所得到的图象，与朝天门长江大桥主桁形状最接近的是（　　） A.y＝0.45cos x B.y＝4.5cos x C.y＝0.9cos x D.y＝9cos x 解析：A　由题意，建立平面直角坐标系，如图所示： 则f（x）＝Acos ωx，其中A＝≈45，T＝552＋190＋190＝932≈900，若按100∶1的比例缩小，则A'＝0.45，T'＝9，ω＝≈＝，所以函数y＝0.45cosx.故选A. 15.已知函数f（x）＝2cos ωx（ω＞0），且函数y＝f（x）的图象的相邻两条对称轴间的距离为. （1）求f的值； （2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求y＝g（x）的单调递减区间. 解：（1）由题意可知＝π，故ω＝2，则f（x）＝2cos 2x，故f＝2cos ＝. （2）将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到y＝f的图象，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到y＝f的图象，故g（x）＝f（－）＝2cos＝2cos. 当2kπ≤－≤2kπ＋π（k∈Z），即4kπ＋≤x≤4kπ＋（k∈Z）时，y＝g（x）单调递减，故y＝g（x）的单调递减区间为［4kπ＋，4kπ＋］（k∈Z）. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $