7.3.2 第1课时 正弦型函数的图象-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦正弦型函数y=A sin(ωx+φ)的图象及参数A、ω、φ对图象的影响，通过物理中简谐运动、交流电的实际图象导入，衔接y=sin x，构建从具体到抽象的学习支架。 特色在于结合物理情境培养数学眼光，通过分步讲解φ、ω、A对图象的影响发展直观想象，例题与跟踪训练强化数学运算，分层练习适配不同学生，助力教师高效教学，提升学生知识应用与核心素养。

7.3.2　正弦型函数的性质与图象 新课程标准解读 核心素养 1.了解正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）的实际意义及各参数对图象变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等 数学抽象、数学运算 2.会用“图象变换法”作正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象 数学运算、直观想象 第一课时　正弦型函数的图象 　　 　　在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin（ωx＋φ）的函数.如图①所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象. 　　将测得的图象放大，如图②所示，可以看出它和正弦曲线很相似.那么函数y＝Asin（ωx＋φ）与函数y＝sin x有什么关系呢？ 【问题】　（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）的周期、最值分别受哪些量的影响？ （2）如何作出函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　正弦型函数 1.形如y＝Asin（ωx＋φ）（其中A，ω，φ都是常数）的函数，通常叫做正弦型函数. 2.函数y＝Asin（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期T＝　　，频率f＝　　，初相为　φ　，值域为　[－｜A｜，｜A｜]　，　｜A｜　也称为振幅，｜A｜的大小反映了y＝Asin（ωx＋φ）的波动幅度的大小. 知识点二　A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响 1.φ对函数y＝sin（x＋φ）图象的影响 2.ω对函数y＝sin（ωx＋φ）图象的影响 3.A对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响 提醒　在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了｜φ｜个单位长度，而后者平移了个单位长度，这是因为由y＝sin ωx的图象变换为y＝sin（ωx＋φ）的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了个单位长度，即y＝sin ωx的图象y＝sin＝sin（ωx＋φ）的图象. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象.（　×　） （2）将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝2sin x的图象.（　√　） （3）函数y＝2sin 2x的振幅为2.（　√　） 2.函数f（x）＝sin的最小正周期为（　　） A.　　 　B.π C.2π　　 　D.4π 解析：D　函数的最小正周期T＝＝4π. 3.要得到y＝sin的图象，只要将y＝sin x的图象（　　） A.向右平移个单位　　　B.向左平移个单位 C.向上平移个单位 D.向下平移个单位 解析：B　将y＝sin x的图象向左平移个单位可得到y＝sin的图象. 4.已知函数y＝3sin，则该函数的振幅、初相分别是　3　，　　. 题型一 正弦型函数图象的变换 【例1】　（1）函数y＝cos的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？ （2）函数y＝2sin－2的图象是由函数y＝sin x的图象通过怎样的变换得到的？ 解：（1）y＝cos＝sin＝sin，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度得到. （2） 通性通法 三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略 （1）确定函数y＝sin x的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x”而言； （2）已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位. 【跟踪训练】 1.先将函数y＝sin x的图象上各点向右平移个单位，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（　　） A.y＝sin　　　 B.y＝sin C.y＝sin D.y＝sin 解析：C　将函数y＝sin x所有的点向右平移个单位，所得图象的函数解析式为y＝sin，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin，故选C. 2.为了得到函数y＝sin，x∈R的图象，只需把函数y＝sin x，x∈R的图象上所有的点： ①向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）； ②向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）； ③向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）； ④向右平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）. 其中正确的是　③　. 解析：y＝sin xy＝siny＝sin. 题型二 求正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式 【例2】　（多选）如图是函数y＝sin（ωx＋φ）的部分图象，则sin（ωx＋φ）＝（　　） A.sin B.sin C.cos D.cos 解析：BC　由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，∴＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝sin（2x＋φ），将点代入得，sin＝0，∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin.由于y＝sin（2x＋）＝sin＝sin，故选项B正确；y＝sin＝cos＝cos（2x＋），选项C 正确；对于选项A，当x＝时，sin（＋）＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos＝1≠－1，错误；当ω＝－2时，y＝sin（－2x＋φ），将代入，得sin＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin（－2x＋），但当x＝0时，y＝sin（－2x＋）＝－＜0，与图象不符合，舍去.故选B、C. 通性通法 根据函数的部分图象求解析式的方法 （1）直接由图象确定振幅和周期，则可确定函数式y＝Asin（ωx＋φ）中的参数A和ω，再选取最大值点的数据代入ωx＋φ＝2kπ＋，k∈Z，结合φ的范围求出φ； （2）通过若干特殊点代入函数式，解方程组求相关待定系数A，ω，φ； （3）运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数式y＝Asin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数. 【跟踪训练】 　函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象如图所示，则f（1）＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：B　由题意可知A＝3，T＝2×（7－3）＝8，所以ω＝＝.因为函数f（x）的图象经过点（3，0），所以＋φ＝π＋2kπ（k∈Z），φ＝＋2kπ（k∈Z）.又φ∈[0，2π），所以φ＝，所以f（x）＝3sin，所以f（1）＝3.故选B. 1.函数y＝2sin的周期、振幅依次是（　　） A.6π，－2 B.6π，2 C.π，2 D.π，－2 解析：B　振幅为2，周期为＝6π. 2.为了得到函数y＝3sin的图象，只要把函数y＝3sin图象上的所有点（　　） A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 解析：B　由函数图象的伸缩规律知，将函数y＝3sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝3sin的图象.故选B. 3.如图是函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的一部分，试求该函数的解析式. 解：由图象可知A＝2，T＝4×（6－2）＝16，ω＝＝. 又x＝6时，×6＋φ＝2kπ，又｜φ｜＜π，所以φ＝－. 所以所求函数的解析式为y＝2sin. 1.为了得到函数y＝sin（x－1）的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点（　　） A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位 C.向左平移π个单位 D.向右平移π个单位 答案：B　 2.函数y＝sin在区间上的简图是（　　） 解析：A　当x＝0时，y＝sin＝－＜0，排除B、D；当x＝时，y＝sin＝sin 0＝0，排除C，故选A. 3.（多选）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，为了与g（x）＝－Acos ωx的图象重合，可以将f（x）的图象（　　） A.向右平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向左平移个单位 解析：BC　由题图所示可知A＝1，T＝4（π－）＝π，所以ω＝＝2，又2×＋φ＝π，所以φ＝，f（x）＝sin，g（x）＝－cos 2x＝－sin（－2x＋2kπ）＝sin＝sin［2（x－－kπ）＋］（k∈Z），可验证得k＝0时，B正确，k＝－1时，C正确，故选B、C. 4.要得到y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 的图象（　　） A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析：C　由于y＝sin＝sin，所以要得到y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 的图象向左平移个单位长度即可. 5.函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ ω＞0，－＜φ＜）的部分图象如图，则ω，φ的值分别为（　　） A.2，－ B.2，－ C.4，－ D.4， 解析：A　∵T＝π－＝π，∴T＝π，∴＝π（ω＞0），∴ω＝2.由图象知当x＝π时，2×π＋φ＝2kπ＋（k∈Z），即φ＝2kπ－（k∈Z）.∵－＜φ＜，∴φ＝－. 6.把函数y＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜π）的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为y＝sin x，则（　　） A.ω＝2，φ＝ B.ω＝2，φ＝－ C.ω＝，φ＝ D.ω＝，φ＝－ 解析：B　将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为y＝sin 2x，再将此函数图象向右平移个单位长度可得y＝sin的图象，即y＝sin的图象，所以ω＝2，φ＝－. 7.函数f（x）＝sin｜ax＋1｜的图象恒过定点　（0，sin 1）　；当a＝π时，f＝　－　. 解析：∵f（0）＝sin｜a×0＋1｜＝sin 1，∴f（x）＝sin｜ax＋1｜的图象恒过定点（0，sin 1）.当a＝π时，f＝sin＝sin ＝－. 8.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的图象如图所示，则ω＝　　. 解析：由题意设函数周期为T，则＝－＝，∴T＝.∴ω＝＝. 9.将函数y＝sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然后纵坐标缩短为原来的，则所得图象的函数解析式为　y＝sin x　. 解析：y＝sin 2x的图象y＝sin ＝sin x的图象y＝sin x的图象，即所得图象的函数解析式为y＝sin x. 10.已知曲线y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈. （1）试求这条曲线的函数表达式； （2）用“五点法”画出（1）中函数在[0，π]上的图象. 解：（1）依题意，A＝，T＝4×＝π. ∵T＝＝π，ω＞0，∴ω＝2， ∴y＝sin（2x＋φ）， 又曲线上的最高点为， ∴sin＝1. ∵－＜φ＜，∴φ＝. ∴y＝sin. （2）列出x，y的对应值表： x 0 π π π π 2x＋ π π 2π y 1 0 － 0 1 作图如下： 11.（多选）有下列四种变换方式： ①向左平移个单位，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）； ②横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位； ③横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位； ④向左平移个单位，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）. 其中能将正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin的图象的是（　　） A.①　　 　B.② C.③　　 　D.④ 解析：AB　①向左平移个单位，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变），则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin的图象；②横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位，则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin ＝sin的图象；③横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位，则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin ＝sin的图象；④向左平移个单位，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变），则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin（2x＋）的图象，因此①和②符合题意，故选A、B. 12.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，－＜φ＜）在一个周期内的图象如图所示. （1）求函数f（x）的解析式； （2）设0＜x＜π，且方程f（x）＝m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围. 解：（1）由题设图象，易得A＝2，T＝－＝， 所以T＝π，所以ω＝＝2. 所以f（x）＝2sin（2x＋φ）. 因为函数f（x）的图象经过点. 所以2sin＝2，即sin＝1. 又因为－＜φ＜，所以－＜＋φ＜. 所以＋φ＝，所以φ＝. 故所求函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（2x＋）. （2）由题意，知方程f（x）＝m有两个不同的实数根等价于函数f（x）＝2sin的图象与g（x）＝m的图象有两个不同的交点. 因为0＜x＜π，易画出函数f（x）＝2sin的图象与函数g（x）＝m的图象（如图所示）. 依据图象可知： 当－2＜m＜1或1＜m＜2时，直线g（x）＝m与曲线f（x）＝2sin有两个不同的交点， 即方程f（x）＝m有两个不同的实数根， 故所求实数m的取值范围为（－2，1）∪（1，2）. 13.若将函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）＝sin的图象，则ω的最小值为　　. 解析：f（x）＝sin ωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度得y＝sin，则y＝sin和g（x）＝sin相同，所以＝＋2kπ，k∈Z，解得ω＝＋6k，k∈Z，因为ω＞0，所以当k＝0时，ω的最小值为. 14.函数y＝f（x）的图象与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积.已知函数y＝sin nx在上的面积为（n∈N＋）. （1）求函数y＝sin 3x在上的面积； （2）求函数y＝sin（3x－π）＋1在上的面积. 解：（1）y＝sin 3x在［0，］上的图象如图所示， 由函数y＝sin 3x在［0，π］上的面积为，所以在［0，π］上的面积为. （2）结合（1），由图可知阴影面积为S＝SABCD＋＝π＋. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $