7.3.1 第2课时 正弦函数的图象-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦高中数学正弦函数的图象，通过简易单摆实验（塑料瓶漏斗漏沙）导入，将物理简谐运动与数学正弦曲线关联，引导学生从直观印象过渡到精确作图，搭建生活实例到数学抽象的学习支架。 资料特色在于实验导入激发兴趣，“五点法”作图培养操作与抽象能力，结合对称性探究和图象应用问题，发展数学眼光、思维与语言。帮助学生直观理解知识，提升教师教学效率，落实核心素养。

第二课时　正弦函数的图象 将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆（如图所示）.在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况. 【问题】　（1）通过上述实验，你对正弦函数图象的直观印象是怎样的？ （2）你能比较精确地画出y＝sin x在[0，2π]上的图象吗？ （3）以上方法作图虽然精确，但太麻烦，有没有快捷画y＝sin x，x∈[0，2π]图象的方法？你认为图象上哪些点是关键点？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　正弦函数的图象 1.正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：（0，0），　　，（π，0），　　，（2π，0）. 2.正弦曲线是轴对称图形，对称轴为　x＝＋kπ（k∈Z）　；正弦曲线也是中心对称图形，且对称中心为　（kπ，0）（k∈Z）　. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝sin x的图象关于y轴对称.（　×　） （2）正弦函数的图象向左右是无限伸展的.（　√　） （3）正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π]（k∈Z）上的图象形状相同，只是位置不同.（　√　） 2.下列图象中，符合y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是（　　） 解析：D　把y＝sin x，x∈[0，2π]上的图象关于x轴对称，即可得到y＝－sin x，x∈[0，2π]上的图象，故选D. 3.点M在函数y＝sin x的图象上，则m＝　－1　. 解析：由题意－m＝sin ，∴－m＝1，∴m＝－1. 题型一 “五点法”作正弦曲线 【例1】　用“五点法”作出下列函数的简图： （1）y＝－sin x－1（0≤x≤2π）； （2）y＝｜sin x｜，x∈R. 解：（1）找关键的五个点，列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 －sin x 0 －1 0 1 0 －sin x－1 －1 －2 －1 0 －1 描点作图，如图： （2）找关键的五个点，列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 ｜sin x｜ 0 1 0 1 0 描点并用光滑的曲线将它们连接起来，通过平移得到y＝｜sin x｜，x∈R的图象，如图所示. 通性通法 用“五点法”作函数y＝Asin x＋B（A≠0）在[0，2π]上的简图的步骤 （1）列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 y＝Asin x＋B B A＋B B －A＋B B （2）描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：（0，B），，（π，B），，（2π，B），这里的y是通过函数式计算得到的； （3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接. 注意　作图时一定要找准这五个关键点，这是“五点法”作图的关键所在. 【跟踪训练】 用“五点法”画出函数y＝2sin x在区间[0，2π]上的图象. 解：按五个关键点列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 2sin x 0 2 0 －2 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示. 题型二 正弦函数图象的简单应用 【例2】　求函数y＝log3的定义域. 解：要使函数有意义，则sin x＞，作出y＝sin x在[0，2π]内的图象如图所示. 由图象知，在[0，2π]内使sin x＞的x的取值范围是. 故原函数的定义域为（k∈Z）. 通性通法 利用三角函数图象解sin x＞a的三个步骤 （1）作出直线y＝a，y＝sin x的图象； （2）确定sin x＝a的x值； （3）确定sin x＞a的解集. 注意　解三角不等式sin x＞a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集. 【跟踪训练】 　当x＝[0，3π]时，设关于x的方程sin x＋2｜sin x｜＝m（m∈R）的根的个数为n，那么n的取值构成的集合为{0，2，4，5，6}　（用列举法表示）. 解析：求方程的根的个数等价于求直线y＝m与y＝sin x＋2｜sin x｜，x∈[0，3π]的图象的交点个数，由题意得y＝sin x＋2｜sin x｜＝其图象如图所示， 由图可以看到交点的个数可能为0，2，4，5，6.故n的取值构成的集合为{0，2，4，5，6}. 题型三 正弦曲线的对称性 【例3】　求函数y＝2sin x＋1的图象的对称中心和对称轴. 解：由正弦函数的对称性可知z＝sin x的对称中心为（kπ，0），k∈Z， 作出y＝2sin x＋1的图象如图所示. 结合正弦函数的对称性可知y＝2sin x＋1的图象的对称中心是（kπ，1）（k∈Z），对称轴是直线x＝kπ＋（k∈Z）. 通性通法 正弦函数y＝sin x的对称性 　　对称中心：点（kπ，0）（k∈Z），对称轴：直线x＝kπ＋（k∈Z），要明确两者的不同. 【跟踪训练】 　（多选）函数y＝sin x与y＝sin（－x）的图象关于（　　） A.x轴对称 B.y轴对称 C.直线y＝x对称 D.直线x＝对称 解析：AB　∵函数y＝f（x）与y＝f（－x）的图象关于y轴对称，∴函数y＝sin x与y＝sin（－x）的图象关于y轴对称.∵函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于x轴对称，y＝sin（－x）＝－sin x，∴函数y＝sin x与y＝sin（－x）的图象关于x轴对称. 1.以下对于正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是（　　） A.在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同 B.关于x轴对称 C.介于直线y＝1和y＝－1之间 D.与y轴仅有一个交点 解析：B　观察y＝sin x图象可知A、C、D项正确，且关于原点中心对称，故选B. 2.已知a是实数，则函数f（x）＝1＋asin ax的图象不可能是（　　） 解析：D　当a＝0时，f（x）＝1，选项C符合；当0＜｜a｜＜1时，T＞2π，f（x）的最大值小于2，选项A符合；当｜a｜＞1时，T＜2π，f（x）的最大值大于2，选项B符合.排除选项A、B、C，故选D. 3.函数y＝1－sin x（x∈[0，2π]）的大致图象是（　　） 解析：B　用五点法作图时五个关键点是（0，1），，（π，1），，（2π，1），故只有选项B的图象符合. 4.y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2的交点个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：B　由五点法作出函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象（如图所示），由图可知其与直线y＝2只有1个交点. 5.求方程sin x＝lg x的解的个数. 解：建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，再向右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象. 描出点（1，0），（10，1），并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示. 由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个. 1.用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（　　） A.0，，π，π，2π B.0，，，π，π C.0，π，2π，3π，4π D.0，，，，π 解析：B　由五点作图法，令2x＝0，，π，π，2π，解得x＝0，，，π，π. 2.（多选）下列函数图象相同的是（　　） A.y＝sin x与y＝sin（π－x） B.y＝sin与y＝sin C.y＝sin x与y＝sin（－x） D.y＝sin（2π＋x）与y＝sin x 解析：AD　根据诱导公式，y＝sin（π－x）＝sin x，故A符合；y＝sin（2π＋x）＝sin x，故D符合. 3.函数y＝sin｜x｜的图象是（　　） 解析：B　因为函数y＝sin ｜x｜是偶函数，且x≥0时，sin ｜x｜＝sin x.故选B. 4.函数y＝的图象是（　　） 解析：C　由y＝＝｜sin x｜易知该函数为偶函数，当sin x≥0时，y＝sin x，当sin x＜0时，y＝－sin x，作x≥0时y＝sin x的图象，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，再关于y轴对称即作出y＝｜sin x｜的图象. 5.（多选）函数y＝sin（π－x）－1的图象（　　） A.关于直线x＝对称 B.关于直线x＝π对称 C.关于原点对称 D.关于点（π，－1）对称 解析：AD　由三角函数的诱导公式得y＝sin（π－x）－1＝sin x－1，所以函数y＝sin（π－x）－1的图象关于直线x＝对称，关于点（π，－1）对称. 6.下列各点：M（0，0），N，P，Q（π，－2）在函数y＝2sin x图象上的是　M，N　. 解析：将点的坐标代入可知符合条件的是点M与N. 7.用“五点法”作函数y＝2＋sin x，x∈[0，2π]的图象时的五个点分别是　（0，2）　，　　，　（π，2）　，　　，　（2π，2）　. 解析：可结合函数y＝sin x的图象的五个关键点寻找，即把y＝sin x的图象上五个关键点向上平移2个单位. 8.在[0，2π]内，不等式sin x＜－的解集是　　. 解析：画出y＝sin x，x∈[0，2π]的图象如下： 因为sin＝，所以sin＝－， sin＝－. 即在[0，2π]内，满足sin x＝－的是x＝或x＝. 可知不等式sin x＜－的解集是. 9.已知函数y＝sin x（x∈[m，n]）的值域为，则n－m的最大值为　　. 解析：作出正弦函数y＝sin x（x∈R）的图象，如图所示，∵函数y＝sin x的定义域为[m，n]，值域为，又sin＝sin ＝－，结合图象可知n－m的最大值为－＝. 10.用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： （1）观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间： ①y＞1；②y＜1. （2）若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围； （3）求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值. 解：按五个关键点列表 x －π － 0 π sin x 0 －1 0 1 0 1－2sin x 1 3 1 －1 1 描点连线得： （1）由图象可知函数y＝1－2sin x在y＝1上方的部分y＞1，在y＝1下方的部分y＜1， 所以当x∈（－π，0）时，y＞1，当x∈（0，π）时，y＜1. （2）如图，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1， 所以a的取值范围是{a｜1＜a＜3或－1＜a＜1}. （3）由图象可知ymax＝3，此时x＝－； ymin＝－1，此时x＝. 11.（多选）设函数f（x）＝sin x，则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的一个周期为－2π B.f（x）的图象关于直线x＝0对称 C.f（x）的图象关于点对称 D.f（x）在区间上单调递增 解析：AD　函数f（x）＝sin x的最小正周期为2π；对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z；对称中心为（kπ，0），k∈Z；单调增区间为［2kπ－，2kπ＋］，k∈Z.则A正确，B错误，C错误，D正确.故选A、D. 12.若sin θ＝1－log2x，则实数x的取值范围是　[1，4]　. 解析：由正弦函数的图象，可知－1≤sin θ≤1，所以－1≤1－log2x≤1，整理得0≤log2x≤2，解得1≤x≤4. 13.（1）利用sin（3π－x）＝sin x，证明正弦曲线关于x＝对称； （2）利用sin（2π－x）＝－sin x，证明正弦曲线关于点（π，0）对称. 证明：（1）令f（x）＝sin x，f（3π－x）＝sin（3π－x）＝sin x， ∴f（3π－x）＝f（x），令t＝－x，则x＝－t， ∴f＝f， 即f＝f，∴f（x）＝sin x关于x＝对称. （2）令f（x）＝sin x.∴f（2π－x）＝sin（2π－x）＝－sin x， ∴f（2π－x）＝－f（x），令t＝π－x，则x＝π－t， ∴f[2π－（π－t）]＝－f（π－t），即f（π＋t）＝－f（π－t）， ∴f（x）＝sin x关于点（π，0）对称. 14.已知函数y＝2sin x的图象与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为（　　） A.4 B.8 C.4π D.2π 解析：C　数形结合，如图所示，y＝2sin x，x∈的图象与直线y＝2围成的封闭平面图形的面积相当于由x＝，x＝，y＝0，y＝2围成的矩形面积，即S＝×2＝4π. 15.已知函数f（x）＝sin x－2｜sin x｜，x∈[0，2π]. （1）作出函数f（x）的图象，并写出f（x）的单调区间； （2）讨论g（x）＝sin x－2｜sin x｜－k，x∈[0，2π]的零点个数，并求此时k的取值范围. 解：（1）f（x）＝ 图象如图， 由图象可知f（x）的递增区间为［，π］，［，2π］； f（x）的递减区间为，. （2）由图象可知： 当k＞0或k＜－3时，直线y＝k与函数f（x）有0个交点，故g（x）没有零点； 当k＝－3时，直线y＝k与函数f（x）有1个交点，故g（x）有1个零点； 当－3＜k＜－1时，直线y＝k与函数f（x）有2个交点，故g（x）有2个零点； 当k＝0或k＝－1时，直线y＝k与函数f（x）有3个交点，故g（x）有3个零点； 当－1＜k＜0时，直线y＝k与函数f（x）有4个交点，故g（x）有4个零点. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $