7.3.1 第1课时 正弦函数的性质-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦正弦函数的性质，通过潮汐、钟表等周期现象及钱塘江潮图片导入，引导学生思考周期现象，进而学习周期函数定义，梳理正弦函数定义域、值域等性质脉络。 特色是结合生活实例培养数学抽象与逻辑推理，通过“想一想”“通性通法”总结提升数学运算能力，如判断奇偶性、比较大小等例题，助力学生理解概念，提升解题能力，为教师提供清晰教学框架，落实核心素养。

7.3　三角函数的性质与图象 7.3.1　正弦函数的性质与图象 新课程标准解读 核心素养 1.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域和值域、最小正周期、奇偶性、单调区间及函数的零点 数学抽象、数学运算 2.能正确使用“五点法”作出正弦函数的图象 逻辑推理、直观想象 第一课时　正弦函数的性质 　　 　　我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片，思考波浪是怎样变化的？ 【问题】　（1）波浪每隔一段时间会重复出现，波浪是一种周期现象吗？ （2）你还能举出生活中存在周期现象的例子吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　函数的周期性 1.周期函数：对于函数f（x），如果存在一个　非零常数T　，使得对定义域内的　每一个　x，都满足　f（x＋T）＝f（x）　，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 2.最小正周期：对于一个　周期　函数f（x），如果在它的　所有周期中　存在一个　最小的正数　，那么这个　最小的正数　就叫做它的最小正周期. 【想一想】 1.若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？ 提示：不一定唯一. 2.对非零常数T，若存在x0，使f（x0＋T）＝f（x0），那么T是函数的周期吗？为什么？ 提示：不是，必须对定义域内的每一个值成立. 　已知函数f（x）是定义域为R的周期函数，其最小正周期为2，且当x∈[0，2]时，f（x）＝（x－1）2，则f（3）＝　0　. 解析：因为f（x）是周期为2的函数，所以f（3）＝f（3－2）＝f（1）＝0. 知识点二　正弦函数的性质 1.正弦函数的定义：对于任意一个角x，都有　唯一　确定的正弦sin x与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为　正弦函数　. 2.正弦函数的性质 函数 y＝sin x 定义域 R 值域 [－1，1] 最值 当x＝＋2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； 当x＝＋2kπ（k∈Z）时，ymin＝－1 奇偶性 　奇　函数 周期性 最小正周期：　2π　 单调性 在　　（k∈Z）上递增； 在　　（k∈Z）上递减 零点 kπ（k∈Z） 提醒　正弦函数单调性的说明：①正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间；②求解（或判断）正弦函数的单调区间（或单调性）是求值域（或最值）的关键一步；③确定含有正弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断. 【想一想】 1.－2π是正弦函数的周期吗？ 提示：是.2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期. 2.正弦函数的零点是点吗？若不是，是什么？ 提示：不是，是实数kπ，k∈Z. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）正弦函数在其定义域上是单调的.（　×　） （2）由于sin＝sin ，则是正弦函数y＝sin x 的一个周期.（　×　） （3）函数f（x）＝sin 3x是奇函数.（　√　） 2.函数f（x）＝3＋sin x的最小正周期是（　　） A.　　 　B.π　　 　C.　　 　D.2π 答案：D　 3.函数y＝1－2sin x的最小值，最大值分别是（　　） A.－1，3 B.－1，1 C.0，3 D.0，1 解析：A　∵x∈R，∴sin x∈[－1，1]，∴当sin x＝1时，ymin＝－1；当sin x＝－1时，ymax＝3.故选A. 4.函数y＝－sin x＋1的值域为　[0，2]　，单调递增区间为　（k∈Z）　. 解析：∵函数y＝sin x的值域为[－1，1]，∴函数y＝－sin x＋1的值域为[0，2].由函数y＝sin x在区间（k∈Z）上单调递减，知函数y＝－sin x＋1的单调递增区间为［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）. 题型一 正弦函数的奇偶性与周期性 【例1】　（1）判断函数f（x）＝cos＋x2sin x的奇偶性； （2）如果sin＝sin ，那么是否为函数y＝sin x的一个周期？ 解：（1）f（x）＝sin 2x＋x2sin x. ∵x∈R，f（－x）＝sin（－2x）＋（－x）2sin（－x） ＝－sin 2x－x2sin x＝－f（x）， ∴f（x）是奇函数. （2）在函数周期性的定义中，要求对定义域中的每一个x值都有f（x＋T）＝f（x）成立，对于个别的x0，虽说满足f（x0＋T）＝f（x0），但不能说T是函数f（x）的周期.如sin（0＋）＝sin ＝1，而sin 0＝0，故sin（0＋）≠sin 0，所以不是函数y＝sin x的一个周期. 通性通法 1.判断正弦函数奇偶性的方法 2.判断正弦函数周期性的方法 【跟踪训练】 1.下列函数中，最小正周期为π的是（　　） A.y＝sin x B.y＝｜sin x｜ C.y＝x D.y＝ln x 解析：B　A选项，函数的最小正周期为2π，所以该选项错误；B选项，根据函数的图象得函数的最小正周期为π，所以该选项正确；C、D选项中的函数不存在周期，所以C、D选项都错误. 2.已知函数f（x）＝ax3＋sin x＋2（a≠0），若f（b）＝3，求f（－b）的值. 解：设g（x）＝f（x）－2，则g（x）＝ax3＋sin x. 则对任意x∈R，都有g（－x）＝a（－x）3＋sin（－x）＝－ax3－sin x＝－（ax3＋sin x）＝－g（x）， ∴函数g（x）是奇函数. ∴g（－b）＝－g（b），即f（－b）－2＝g（－b）＝－g（b）＝－[f（b）－2]， ∴f（－b）＝－f（b）＋4＝－3＋4＝1. 题型二 正弦函数的单调性及应用 【例2】　比较大小： （1）sin 250°与sin 260°； （2）sin与sin. 解：（1）sin 250°＝sin（180°＋70°）＝－sin 70°， sin 260°＝sin（180°＋80°）＝－sin 80°， 因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y＝sin x，x∈[0°，90°]是增函数，所以sin 70°＜sin 80°， 所以－sin 70°＞－sin 80°，即sin 250°＞sin 260°. （2）sin＝－sin ＝－sin ＝－sin（π－）＝－sin ， sin＝－sin ＝－sin . 因为0＜＜＜，且函数y＝sin x，x∈是增函数， 所以sin ＜sin ，－sin＞－sin， 即sin＜sin. 通性通法 1.利用正弦函数的单调性比较大小的方法 （1）同名函数：比较sin α与sin β的大小，若α，β在函数y＝sin x的同一单调区间内，则直接由单调性得大小；若α，β不在同一单调区间内，则要把它们转化到同一个单调区间来讨论； （2）异名函数：比较sin α与cos β的大小，应先把cos β转化成sin，再依据正弦函数的单调性进行比较. 2.求正弦函数与其他函数复合而成的函数的单调区间时，要注意使用复合函数的“同增异减”来判断，同时要注意函数的定义域，单调区间是在定义域范围内求解，与定义域取交集. 【跟踪训练】 　比较大小：sin 196°　＞　cos 156°. 解析：sin 196°＝sin（180°＋16°）＝－sin 16°，cos 156°＝cos（180°－24°）＝－cos 24°＝－sin 66°.∵0°＜16°＜66°＜90°，且y＝sin x在[0°，90°]内递增，∴sin 16°＜sin 66°，∴－sin 16°＞－sin 66°，即sin 196°＞cos 156°. 题型三 正弦函数的值域与最值问题 【例3】　求函数y＝1－2sin2x＋sin x的值域. 解：y＝1－2sin2x＋sin x，令sin x＝t，则－1≤t≤1， y＝－2t2＋t＋1＝－2＋. 由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图象可知－2≤y≤， 即函数y＝1－2sin2x＋sin x的值域为. 【母题探究】 　（变条件）本例条件变为“函数y＝｜sin x｜＋sin x”，问题不变. 解：当sin x≥0时，｜sin x｜＝sin x；当sin x＜0时，｜sin x｜＝－sin x，∴原解析式可化为y＝由－1≤sin x≤1，可知0≤y≤2，∴函数y＝｜sin x｜＋sin x的值域为[0，2]. 通性通法 利用正弦函数值域求复合函数值域、最值的常用方法 （1）求解形如y＝asin x＋b的函数的最值或值域问题，利用正弦函数的有界性（－1≤sin x≤1）求解，此时有－｜a｜＋b≤y≤｜a｜＋b.求三角函数取得最值时相应的自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性； （2）求解形如y＝asin2x＋bsin x＋c，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x，将所给三角函数转化为二次函数，再利用配方法求值域或最值即可.这里应当注意换元之后变量的范围一般会随之改变，求解过程中要注意t＝sin x的有界性. 【跟踪训练】 1.y＝asin x＋b（a＞0）的最大值为3，最小值为－1，则ab＝　2　. 解析：因为－1≤sin x≤1，且a＞0，则解得b＝1，a＝2，所以ab＝2. 2.设｜x｜≤，求函数f（x）＝cos2x＋sin x的最小值. 解：f（x）＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x＝－＋. ∵｜x｜≤，∴－≤sin x≤， ∴当sin x＝－时，f（x）取得最小值，最小值为. 1.函数y＝4sin（2x－π）的图象关于（　　） A.x轴对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线x＝对称 解析：B　y＝4sin（2x－π）＝－4sin 2x是奇函数，其图象关于原点对称. 2.函数y＝9－sin x的单调递增区间是（　　） A.（k∈Z） B.（k∈Z） C.[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z） D.[2kπ－π，2kπ]（k∈Z） 解析：B　y＝9－sin x的单调递增区间与y＝sin x的单调递减区间相同. 3.设函数f（x）＝（a≠0），若f（－2 025）＝2，则f（2 025）＝（　　） A.2 B.－2 C.2 023 D.－2 023 解析：B　f（x）＝（a≠0），f（－x）＝＝－f（x），f（x）为奇函数，f（2 025）＝－f（－2 025）＝－2，故选B. 4.函数f（x）＝sin x－1的最小值为　－2　. 解析：当x＝2kπ－，k∈Z时，sin x取得最小值－1，所以f（x）＝sin x－1取得最小值－2. 5.设函数f（x）＝，请指出函数y＝f（x）的定义域、周期性和奇偶性. 解：∵函数f（x）＝，∴sin x≠0，∴x≠kπ，k∈Z，故函数f（x）的定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}. 显然，f（x）的周期即y＝sin x的周期2π. ∵f（－x）＝＝－＝－f（x），∴f（x）为奇函数. 　　 1.函数f（x）＝是（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 解析：B　函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，且f（－x）＝f（x），故f（x）为偶函数. 2.函数y＝－2sin x＋5，x∈的值域是（　　） A.[3，7] B.[5，7] C.[－7，5] D.[3，5] 解析：D　当0≤x≤时，0≤sin x≤1，∴3≤－2sin x＋5≤5.故选D. 3.函数y＝－sin x－7的单调递减区间是（　　） A.[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z） B.[2kπ－π，2kπ]（k∈Z） C.（k∈Z） D.（k∈Z） 解析：D　y＝－sin x－7的单调递减区间与y＝sin x的单调递增区间相同. 4.y＝的最小值是（　　） A.2 B.－2 C.1 D.－1 解析：B　由y＝＝2－，当sin x＝－1时，y＝取得最小值－2. 5.已知a∈R，函数f（x）＝sin x－｜a｜，x∈R为奇函数，则a等于（　　） A.0 B.1 C.－1 D.±1 解析：A　法一　易知y＝sin x在R上为奇函数， ∴f（0）＝0，∴a＝0. 法二　∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），即sin（－x）－｜a｜＝－sin x＋｜a｜，－sin x－｜a｜＝－sin x＋｜a｜.∴｜a｜＝0，即a＝0. 6.（多选）已知函数f（x）＝2asin x＋a＋b的定义域是，值域为[－5，－1]，则a，b的值为（　　） A.a＝2，b＝－7 B.a＝－2，b＝2 C.a＝－2，b＝1 D.a＝1，b＝－2 解析：AC　当a＞0时，由条件知∴当a＜0时，由条件知∴故选A、C. 7.函数f（x）＝sin2x＋1的奇偶性是　偶函数　. 解析：f（－x）＝[sin（－x）]2＋1＝sin2x＋1＝f（x），所以f（x）为偶函数. 8.sin　＞　sin（填“＞”“＜”或“＝”）. 解析：因为－＞－，且y＝sin x在内为增函数，所以sin＞sin. 9.函数y＝的最大值为　　，最小值为　－2　. 解析：由题意知，x∈R，y＝＝＝3－.∵－1≤sin x≤1，∴1≤sin x＋2≤3，即≤≤1，∴－2≤y≤，即函数y＝的最大值为，最小值为－2. 10.已知f（x）是以π为周期的偶函数，且x∈时， f（x）＝1－sin x，求当x∈时，f（x）的解析式. 解：当x∈时，3π－x∈， ∵当x∈时，f（x）＝1－sin x， ∴f（3π－x）＝1－sin（3π－x）＝1－sin x. 又∵f（x）是以π为周期的偶函数， ∴f（3π－x）＝f（－x）＝f（x）. ∴f（x）的解析式为f（x）＝1－sin x，x∈. 11.已知α，β∈，且cos α＞sin β，则α＋β与的大小关系为（　　） A.α＋β≥ B.α＋β＞ C.α＋β≤ D.α＋β＜ 解析：D　∵α，β∈，∴－α∈.∵cos α＞sin β，∴sin＞sin β.∵y＝sin x在上是增函数，∴－α＞β，即α＋β＜. 12.（多选）下列说法正确的是（　　） A.y＝｜sin x｜的定义域为R B.y＝3sin x＋1的最小值为1 C.y＝－sin x为奇函数 D.y＝sin x－1的单调递增区间为［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z） 解析：AC　选项A、C正确.对于B，y＝3sin x＋1的最小值为－3＋1＝－2；对于D，y＝sin x－1的单调递增区间为，k∈Z.故B、D不符合题意. 13.函数y＝asin x＋1的最大值为1－a，最小值为－3. （1）求实数a的值； （2）求该函数的单调递增区间； （3）若x∈[－π，π]，求该函数的递增区间. 解：（1）∵ymax＝1－a，∴a＜0， 故ymin＝1＋a＝－3，∴a＝－4，∴y＝－4sin x＋1. （2）当＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，函数y＝－4sin x＋1递增， ∴y＝－4sin x＋1的递增区间为（k∈Z）. （3）∵x∈[－π，π]，（k∈Z）∩[－π，π]＝∪. ∴当x∈[－π，π]时，y＝－4sin x＋1的递增区间为，. 14.函数y＝的定义域是　[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）　，单调递减区间是　［2kπ－，2kπ］（k∈Z）　. 解析：由－2sin x≥0，得sin x≤0，∴2kπ－π≤x≤2kπ（k∈Z），即函数的定义域是[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）.∵y＝与y＝sin x的单调性相反，∴函数的单调递减区间为［2kπ－，2kπ］（k∈Z）. 15.设函数f（x）＝. （1）请指出函数y＝f（x）的定义域、周期性和奇偶性；（不必证明） （2）请以正弦函数y＝sin x的性质为依据，并运用函数单调性的定义证明：y＝f（x）在区间上单调递减. 解：（1）∵函数f（x）＝， ∴sin x≠0，x≠kπ，k∈Z， 故函数的定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}. 显然，f（x）的周期，即y＝sin x的周期为2π. 由于满足f（－x）＝＝－＝－f（x），故f（x）为奇函数. （2）证明：正弦函数y＝sin x在区间上单调递增，设0＜x1＜x2＜，则0＜sin x1＜sin x2＜1， ∴f（x1）＝＞＝f（x2）， 即f（x1）＞f（x2）， 因此，y＝f（x）在区间上单调递减. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $