7.2.4 第2课时 诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦三角函数诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧，以“奇变偶不变，符号看象限”口诀导入，衔接已学诱导公式，通过问题引导构建知识脉络，形成学习支架。 资料特色在于口诀辅助抽象（数学眼光），例题训练逻辑推理（数学思维），综合应用培养应用意识（数学语言）。如例1化简求值、跟踪训练综合题，助学生理解转化，提升解题能力，教师使用便捷高效。

第二课时　诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧ 　　 　　同学们听了老师的记忆口诀后，更是摸不着头脑，老师随后做了解释，同学们脑洞大开，都拍手叫绝. 【问题】　你知道“奇变偶不变，符号看象限”的含义吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧ 1.诱导公式⑤ sin＝　cos α　；cos＝　sin α　. 2.诱导公式⑥ sin＝　cos α　；cos＝　－sin α　. 3.诱导公式⑦ sin＝　－cos α　；cos＝　sin α　. 4.诱导公式⑧ sin＝　－cos α　；cos＝　－sin α　. 【想一想】 1.角－α与角α的终边有什么样的位置关系？ 提示：如图，角－α与角α的终边关于y＝x对称. 2.点P1（a，b）关于y＝x对称的对称点坐标是什么？ 提示：点P1（a，b）关于y＝x对称的对称点坐标是P2（b，a）. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧中的角α只能是锐角.（　×　） （2）sin＝cos α.（　×　） （3）若α为第二象限角，则sin＝cos α.（　√　） （4）cos＝－sin α.（　√　） 2.已知sin（＋θ）－3cos（θ－）＝0，则tan θ＝　－　. 解析：由sin－3cos＝0，可得－cos θ－3sin θ＝0，tan θ＝－. 3.已知sin＝，那么cos α＝　　. 　　题型一 利用诱导公式求值 【例1】　（1）已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°＝（　B　） A.　　　　　　　　 B. C.－ D.－ （2）已知cos（π＋α）＝－，α为第一象限角，则cos＝　－　； （3）已知sin＝，则cos＝　　. 解析：（1）sin 239°tan 149°＝sin（270°－31°）·tan（180°－31°）＝－cos 31°·（－tan 31°）＝sin 31°＝＝. （2）因为cos（π＋α）＝－cos α＝－，所以cos α＝，又α为第一象限角，则cos＝－sin α＝－＝－＝－. （3）cos＝cos＝ sin＝. 通性通法 解决化简求值问题的策略 （1）对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少； （2）对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名. 注意　常见的互余关系有：－α与＋α，＋α与－α等；常见的互补关系有：＋θ与－θ，＋θ与－θ等. 【跟踪训练】 　已知sin＝，则cos的值为（　　） A.　　　　　　　　 B.－ C. D.－ 解析：D　∵＋α－＝，∴cos＝sin＝sin＝－sin＝－. 题型二 利用诱导公式化简 【例2】　化简： －. 解：∵sin（4π－α）＝sin（－α）＝－sin α， cos＝cos＝cos＝－sin α， sin＝sin＝－sin＝－cos α， tan（5π－α）＝tan（π－α）＝－tan α， sin（3π－α）＝sin（π－α）＝sin α， ∴原式＝－＝－＋＝＝＝1. 通性通法 用诱导公式进行化简时的注意点 （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母尽量不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等. 【跟踪训练】 化简：（1）sincos； （2）sin（－α－5π）cos－sincos（α－2π）. 解：（1）原式＝·sin［－（－α）］（－sin α） ＝·（－sin α） ＝·（－cos α）（－sin α） ＝－cos2α. （2）原式＝sin（－α－π）cos－sin［π＋（＋α）］·cos[－（2π－α）] ＝sin[－（α＋π）]cos＋sincos（2π－α） ＝－sin（α＋π）sin α＋cos αcos α ＝sin2α＋cos2α ＝1. 题型三 诱导公式的综合应用 【例3】　已知f（α）＝. （1）化简f（α）； （2）若cos＝－，求f（α）的值. 解：（1）f（α）＝ ＝＝－sin α. （2）因为cos＝－， 即cos＝cos ＝cos＝sin α＝－，即sin α＝－， 由（1）知f（α）＝－sin α＝. 【母题探究】 （变结论）本例的条件不变，若cos（3π－α）＝，求f的值. 解：由cos（3π－α）＝可得cos α＝－，由本例可知f＝－sin＝－sin［8π－（－α）］＝sin＝cos α＝－. 通性通法 诱导公式综合应用要“三看” 　　一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系； 　　二看函数名称：一般是弦切互化； 　　三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形. 【跟踪训练】 已知角α为第二象限的角，且其终边与单位圆交于点P，试求的值. 解：由题意知m2＋＝1，解得m2＝， 因为α为第二象限角，故m＜0， 所以m＝－，所以sin α＝，cos α＝－. 原式＝＝＝－. 1.sin 95°＋cos 175°＝（　　） A.sin 5° B.cos 5° C.0 D.2sin 5° 解析：C　原式＝sin（90°＋5°）＋cos（180°－5°）＝cos 5°－cos 5°＝0.故选C. 2.化简：sin＝（　　） A.sin x B.cos x C.－sin x D.－cos x 解析：B　sin＝sin＝sin＝cos x. 3.已知sin＝，则sin＋cos＝　　. 解析：sin＝sin＝sin（x＋）＝，cos＝cos＝sin（x＋）＝，则sin＋cos＝. 4.化简：＝　－sin θ　. 解析：原式＝＝＝－sin θ. 　　 1.已知sin（75°＋α）＝，则cos（15°－α）的值为（　　） A.－　　　　　　　　　 B. C.－ D. 解析：B　∵（75°＋α）＋（15°－α）＝90°，∴cos（15°－α）＝cos [90°－（75°＋α）]＝sin（75°＋α）＝. 2.已知sin＝，α∈，则tan α的值为（　　） A.－2 B.2 C.－ D. 解析：A　由已知得cos α＝，又α∈，所以sin α＝－＝－＝－.因此，tan α＝＝－2. 3.若sin（180°＋α）＋cos（90°＋α）＝－a，则cos（270°－α）＋2sin（360°－α）的值是（　　） A.－a　　B.－a C.a　　D.a 解析：B　由条件得－sin α－sin α＝－a，故sin α＝，原式＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－a. 4.已知f（sin x）＝cos 3x，则f（cos 10°）的值为（　　） A.－ B. C.－ D. 解析：A　f（cos 10°）＝f（sin 80°）＝cos 240°＝cos（270°－30°）＝－sin 30°＝－. 5.（多选）已知f（x）＝sin x＋cos x，则下列结论不正确的是（　　） A.f（x＋π）＝sin x＋cos x B.f（π－x）＝sin x＋cos x C.f＝sin x＋cos x D.f＝sin x＋cos x 解析：ABC　f（x＋π）＝sin（x＋π）＋cos（x＋π）＝－sin x－cos x，f（π－x）＝sin（π－x）＋cos（π－x）＝sin x－cos x，f（x＋）＝sin（x＋）＋cos（x＋）＝cos x－sin x，f（－x）＝sin（－x）＋cos＝cos x＋sin x，故选A、B、C. 6.若角α的终边在第二象限，则下列三角函数中值大于零的是（　　） A.sin B.cos C.sin（π＋α） D.cos（π＋α） 解析：D　由角α的终边在第二象限，可知sin α＞0，cos α＜0，对于A，sin＝cos α＜0，错误；对于B，cos＝－sin α＜0，错误；对于C，sin（π＋α）＝－sin α＜0，错误；对于D，cos（π＋α）＝－cos α＞0，正确. 7.化简：sin（－α－7π）·cos＝　－sin2α　. 解析：原式＝－sin（7π＋α）·cos＝－sin（π＋α）·＝sin α·（－sin α）＝－sin2α. 8.已知sin（＋θ）＋2sin（－θ）＝0，则tan（＋θ）＝　2　. 解析：∵sin＋2sin＝0，∴sin（＋θ）＝2sin＝2sin［－］＝2cos（＋θ），∴tan＝2. 9.已知sincos＝，且0＜α＜，则sin α＝　　，cos α＝　　. 解析：sincos＝－cos α·（－sin α）＝sin αcos α＝，由0＜α＜，可得0＜sin α＜cos α，联立，得得sin α＝，cos α＝. 10.化简：＋ . 解：因为sin＝cos α，cos＝sin α， cos（π＋α）＝－cos α，sin（π－α）＝sin α， cos＝－sin α，sin（π＋α）＝－sin α， 所以原式＝＋ ＝－sin α＋sin α＝0. 11.已知α为锐角，且2tan（π－α）－3cos＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0，则sin α＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　由已知得消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝，则sin α＝（α为锐角）. 12.（多选）下列结论正确的是（　　） A.sin（π＋α）＝－sin α成立的条件是角α是锐角 B.若cos（nπ－α）＝（n∈Z），则cos α＝ C.若α≠（k∈Z），则tan＝－ D.△ABC中，sin ＝cos 解析：CD　由诱导公式知α∈R时，sin（π＋α）＝－sin α，所以A错误；当n＝2k（k∈Z）时，cos（nπ－α）＝cos（－α）＝cos α，此时cos α＝，当n＝2k＋1（k∈Z）时，cos（nπ－α）＝cos[（2k＋1）π－α]＝cos（π－α）＝－cos α，此时cos α＝－，所以B错误；若α≠（k∈Z），则tan＝＝＝－，所以C正确；因为在△ABC中，B＋C＝π－A，所以sin ＝sin＝cos ，故D正确. 13.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一半径为1的圆的圆心的初始位置在点（0，1）处，此时圆上一点P的位置在点（0，0）处，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于点（2，1）时，求P的坐标. 解：如图所示，由题意知 ＝OB＝2. ∵圆的半径为1，∴∠BAP＝2， 故∠DAP＝2－， ∴DA＝APcos＝sin 2， DP＝APsin＝－cos 2. ∴OC＝2－sin 2，PC＝1－cos 2. ∴点P的坐标为（2－sin 2，1－cos 2）. 14.已知f（α）＝，则f（α）＝　cos α　，f的值为　　. 解析：f（α）＝＝cos α，∴f（－）＝cos＝cos ＝cos（8π＋）＝cos ＝. 15.在①tan（π＋α）＝2；②sin（π－α）－sin＝cos（－α）；③2sin＝cos，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题. 问题：已知　　. （1）求的值； （2）当α为第三象限角时，求sin（－α）－cos（π＋α）－cossin的值. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：若选①，则tan（π＋α）＝2，即tan α＝2； 若选②，则sin（π－α）－sin＝cos（－α），即sin α－cos α＝cos α， 即sin α＝2cos α，tan α＝2； 若选③，2sin＝cos，即2cos α＝sin α，tan α＝2； （1）＝＝＝＝8. （2）当α为第三象限角时，tan α＝＝2， 即sin α＝2cos α， 又∵sin2α＋cos2α＝1，即（2cos α）2＋cos2α＝1，解得cos α＝－， sin α＝－＝－＝－， sin（－α）－cos（π＋α）－cossin＝－sin α＋cos α＋sin αcos α＝－－＋×＝. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $