7.2.1 三角函数的定义-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦任意角的三角函数定义及符号判断，以摩天轮运动为导入，通过30秒、45秒及t秒的高度问题，引导学生从现实情境抽象数学模型，衔接任意角知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于情境化设计与核心素养融合，摩天轮问题培养用数学眼光观察现实世界的能力，定义中“与点位置无关”深化数学抽象，符号口诀及题型训练（如终边上点求函数值、判断象限符号）提升逻辑推理与数学运算，助力学生理解数学本质，为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

7.2　任意角的三角函数 7.2.1　三角函数的定义 新课程标准解读 核心素养 1.理解三角函数的定义，会求给定角的三角函数值 数学抽象、数学运算 2.会判断给定角的三角函数值的符号 逻辑推理 　　如图所示是某游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，按逆时针方向匀速运动，转动一周需要360秒. 【问题】　若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 知识点一　任意角的正弦、余弦与正切的定义 前 提 如图，角α终边上异于原点的任意一点P（x，y），r＝ 定 义 正弦 称　　为角α的正弦，记作sin α，即sin α＝　　 余弦 称　　为角α的余弦，记作cos α，即cos α＝　　 正切 当角α的终边不在y轴上时，称　　为角α的正切，记作tan α，即tan α＝　　. 角α的正弦、余弦、正切都称为α的　三角函数　 提醒　对三角函数定义的理解：①三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合（弧度制）到一个比值的集合的对应；②三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围. 【想一想】 　三角函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关？ 提示：无关.三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角α的大小有关. 1.已知角α的终边经过点P（3，－4），那么sin α的值为（　　） A.－　　　　　　　　 B.－ C.－ D. 解析：B　∵角α的终边经过点P（3，－4），∴sin α＝＝－. 2.135°角的余弦函数值为　－　，正切函数值为　－1　. 解析：如图，在135°角的终边上取一点P，使OP＝1，作PM垂直于x轴，垂足为点M，则∠POM＝45°.在Rt△PMO中，OM＝MP＝，所以点P的坐标为.所以cos 135°＝－，tan 135°＝－1. 知识点二　正弦、余弦与正切在各象限的符号 提醒　三角函数值的符号：正弦、余弦和正切函数值在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.其含义是：在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若α是三角形的内角，则必有sin α＞0.（　√　） （2）若α是第二象限角，且P（x，y）是其终边与单位圆的交点，则cos α＝－x.（　×　） （3）若sin α＞0，则α是第一或第二象限角.（　×　） 2.确定下列各三角函数值的符号： （1）cos 260°；（2）sin；（3）tan . 解：（1）因为260°是第三象限角，所以cos 260°＜0. （2）因为－是第四象限角，所以sin＜0. （3）因为是第三象限角，所以tan ＞0. 　题型一 任意角的三角函数的定义及应用 【例1】　（1）若sin α＝，cos α＝－，则在角α终边上的点有（　　） A.（－4，3）　B.（3，－4）　C.（4，－3）　D.（－3，4） （2）已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值. （1）解析：A　由sin α，cos α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A. （2）解：直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点（－1，），则r＝＝2，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；在第四象限取直线上的点（1，－），则r＝＝2，所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－. 【母题探究】 （变条件）本例（2）中条件变为“角α的终边落在射线4x－3y＝0（x≤0）上”，问题不变. 解：由条件知不妨令x＝－3，则y＝－4，∴r＝5，∴cos α＝＝－，sin α＝＝－，tan α＝＝. 通性通法 由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤 （1）已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值； ②在α的终边上任选一点P（x，y），P到原点的距离为r（r＞0），则sin α＝，cos α＝，tan α＝. （2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对参数正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论. 【跟踪训练】 1.已知α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且cos α＝x，则x等于（　　） A. B.± C.－ D.－ 解析：D　由三角函数的定义得cos α＝x＝，解得x＝0或x＝±.又点P在第二象限内，所以x＝－. 2.求的正弦、余弦和正切. 解：如图，在的终边上取点P，使OP＝2，作PM⊥Ox， 则在Rt△POM中，∠POM＝2π－＝，所以∠OPM＝， 则OM＝1，MP＝.所以点P的坐标为（1，－）， 因此sin ＝－，cos ＝，tan ＝－. 题型二 三角函数值符号的判定 【例2】　（1）若角α是第三象限角，则点P（2，sin α）所在象限为（　　） A.第一象限　　　　　　 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 （2）如果点P（2sin θ，3cos θ）位于第三象限，那么角θ的终边所在的象限是（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：（1）D　（2）C 解析：（1）角α是第三象限角，所以sin α＜0，所以点P（2，sin α）在第四象限. （2）因为点P（2sin θ，3cos θ）位于第三象限，所以2sin θ＜0，3cos θ＜0，只有终边在第三象限的角正弦小于零，余弦小于零，故选C. 通性通法 正弦、余弦函数值的正负规律 【跟踪训练】 　（多选）下列三角函数判断正确的是（　　） A.sin 165°＞0 B.cos 280°＞0 C.tan 170°＞0 D.tan 310°＜0 解析：ABD　因为90°＜165°＜180°，所以sin 165°＞0；因为270°＜280°＜360°，所以cos 280°＞0；因为90°＜170°＜180°，所以tan 170°＜0；因为270°＜310°＜360°，所以tan 310°＜0.故选A、B、D. 题型三 三角函数式的化简 【例3】　当α为第二象限角时，－的值是（　　） A.1 B.0 C.2 D.－2 解析：C　∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0. ∴－＝－＝2. 通性通法 　　带绝对值的问题，关键是去绝对值，去绝对值时，要注意绝对值内代数式的正负. 【跟踪训练】 　函数y＝＋－的值域是　{－4，0，2}　. 解析：由sin x≠0，cos x≠0知，x的终边不能落在坐标轴上，当x为第一象限角时，sin x＞0，cos x＞0，sin xcos x＞0，y＝0；当x为第二象限角时，sin x＞0，cos x＜0，sin xcos x＜0，y＝2；当x为第三象限角时，sin x＜0，cos x＜0，sin xcos x＞0，y＝－4；当x为第四象限角时，sin x＜0，cos x＞0，sin xcos x＜0，y＝2.故函数y＝＋－的值域为{－4，0，2}. 1.已知角α的终边过点P（－4，3），则2sin α＋tan α的值是（　　） A.－ B. C.－ D. 解析：B　∵角α的终边经过点P（－4，3），∴r＝｜OP｜＝5.∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.∴2sin α＋tan α＝2×＋＝.故选B. 2.若cos α＞0，sin α＜0，则角α的终边在（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：D　由cos α＞0，得角α的终边在第一象限或第四象限或x轴的正半轴上.由sin α＜0，得角α的终边在第三象限或第四象限或y轴的负半轴上.综上可得，角α的终边在第四象限. 3.sin 1·cos 2·tan 3的值是（　　） A.正数 B.负数 C.0 D.不存在 解析：A　因为0＜1＜，＜2＜π，＜3＜π，所以sin 1＞0，cos 2＜0，tan 3＜0，所以sin 1·cos 2·tan 3＞0. 4.判断下列各式的符号（填“＞”或“＜”）： （1）sin 328°　＜　0；（2）cos π　＜　0； （3）tan π　＜　0. 解析：（1）因为270°＜328°＜360°，所以328°在第四象限，所以sin 328°＜0. （2）因为π＜π＜π，所以π在第三象限，所以cos π＜0. （3）因为π＜π＜π，所以π在第二象限，所以tan π＜0. 5.已知角α的终边过点P（5，a），且tan α＝－，求sin α＋cos α的值. 解：根据三角函数的定义，tan α＝＝－， 所以a＝－12， 所以P（5，－12），r＝13， 所以sin α＝－，cos α＝， 从而sin α＋cos α＝－. 1.已知点P（1，－5）是α终边上一点，则sin α＝（　　） A.1　　 　B.－5　　　C.－　　D. 解析：C　因为x＝1，y＝－5，所以r＝，所以sin α＝＝－. 2.如果α的终边过点P，则sin α的值等于（　　） A. B.－ C.－ D.－ 解析：C　因为2sin ＝1，－2cos ＝－，所以r＝＝2，所以sin α＝－. 3.已知角α的终边经过点（2a＋1，a－2），且cos α＝－，则实数a的值是（　　） A.－2 B. C.－2或 D.－1 解析：A　∵r＝＝，cos α＝＝－，∴9（a2＋1）＝5（2a＋1）2且2a＋1＜0，解得a＝－2. 4.已知角α的终边上有异于原点O的一点P，且｜PO｜＝r，则点P的坐标为（　　） A.P（sin α，cos α） B.P（cos α，sin α） C.P（rsin α，rcos α） D.P（rcos α，rsin α） 解析：D　设P（x，y），则sin α＝，所以y＝rsin α，又cos α＝，所以x＝rcos α，所以P（rcos α，rsin α），故选D. 5.（多选）角α的终边上有一点P（a，a），a∈R，且a≠0，则sin α的值可以是（　　） A. B.－ C. D.－ 解析：AB　当a＞0时，｜OP｜＝＝a，由三角函数的定义得sin α＝＝；当a＜0时，｜OP｜＝＝－a，由三角函数的定义得sin α＝＝－，故A、B正确. 6.（多选）若角α的终边上有一点P（－4，a），且sin αcos α＝，则a的值为（　　） A.4 B. C.－4 D.－ 解析：CD　由条件知r＝，由sin αcos α＝知×＝即＝，∴a＝－4或－，故选C、D. 7.已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且sin α＞0，cos α≤0，则实数a的取值范围是　（－2，3]　. 解析：由三角函数的定义可知sin α＞0，a＋2＞0，cos α≤0，3a－9≤0，解得－2＜a≤3. 8.如果cos x＝｜cos x｜，那么角x的取值范围是　　. 解析：∵cos x＝｜cos x｜，∴ cos x≥0，∴2kπ－≤x≤2kπ＋（k∈Z）. 9.已知角α的终边过点P（－8m，－3），且cos α＝－，则m的值为　　，sin α＝　－　. 解析：因为角α的终边过点P（－8m，－3），所以OP＝（O为坐标原点），因为cos α＝＝－＜0，所以m＞0，角α是第三象限角，且可得m＝，所以P（－4，－3），OP＝5，sin α＝－. 10.已知角α的终边落在直线y＝－3x上，求sin α，cos α的值. 解：∵角α的终边落在直线y＝－3x上， ∴角α的终边落在第二象限或第四象限. 若角α的终边落在第二象限，则可取其上一点（－1，3）， ∴r＝＝， ∴sin α＝＝，cos α＝＝－； 若角α的终边落在第四象限，则可取其上一点（1，－3）， ∴r＝＝， ∴sin α＝＝，cos α＝＝. 11.（多选）设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是（　　） A.tan A B.cos B C.sin C D.tan 解析：CD　因为0＜A＜π，所以0＜＜，所以tan ＞0；又因为0＜C＜π，所以sin C＞0. 12.（多选）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，且tan α＝.若角α的终边上有一点P，其纵坐标为－4，则下列结论正确的是（　　） A.点P的横坐标是6 B.α 是第二象限角 C.cos α＝－ D.sin αcos α＞0 解析：CD　由题意，可设P（x，－4），则tan α＝＝，解得x＝－6，所以点P的横坐标是－6，故A错误；因为P（－6，－4），所以角α是第三象限角，故B错误；因为P（－6，－4），所以OP＝2（O为坐标原点），所以cos α＝＝－，故C正确；因为角α是第三象限角，所以sin α＜0，所以sin αcos α＞0，故D正确.故选C、D. 13.已知点P（3，y）在角α的终边上，且满足y＜0，cos α＝，则tan α的值为　－　，sin α的值为　－　. 解析：因为＝，y＜0，所以y＝－4.所以tan α＝－，sin α＝＝－. 14.张明做作业时，遇到了这样的一道题：“若已知角θ终边上一点P（x，3）（x≠0），且cos θ＝x，问能否求出sin θ，cos θ的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由.”他对此题百思不得其解，你能帮张明解答此题吗？ 解：由题意，得r＝OP＝，则cos θ＝＝. ∵cos θ＝x，∴＝x. ∵x≠0，∴x＝1或x＝－1. 当x＝1时，点P的坐标为（1，3），角θ为第一象限角， 此时，sin θ＝＝，cos θ＝； 当x＝－1时，点P的坐标为（－1，3），角θ为第二象限角， 此时，sin θ＝，cos θ＝－. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $