章末检测（7）三角函数-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦三角函数章末检测，涵盖角度转化、三角函数定义、图像变换及性质应用等核心知识点，通过从基础概念到综合问题的递进设计，搭建起“定义理解-图像分析-实际应用”的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动思维，如第5题中心对称应用、第18题条件选择探究，培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理运算的能力。采用分层题型设计，学生能提升综合应用能力，教师可据此实现精准教学，提高课堂效率。

章末检测（七）　三角函数 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 把－765°化成2kπ＋α（0≤α＜2π），k∈Z的形式是（　　） A. －4π－ B. －4π＋ C. －6π－ D. －6π＋ 解析： 　由题意，可得－765°＝－720°－45°＝－1 080°＋ 315°＝－6π＋ ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 2. 若角α的终边经过点P（1，－2），则tan α的值为（　　） A. B. － C. －2 D. － 解析： 　由任意角的正切的定义得tan α＝ ＝ ＝－2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 3. 在直径为20 cm的圆中，165°圆心角所对应的弧长为（　　） A. cm B. cm C. cm D. cm 解析： 　∵165°＝ ×165 rad＝ rad，∴l＝ ×10＝ （cm）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 4. 已知 cos ＝ ，且｜φ｜＜ ，则tan φ＝（　　） A. － B. C. － D. 解析： 　由 cos ＝ ，得 sin φ＝－ .又｜φ｜＜ ， ∴ cos φ＝ ，∴tan φ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 5. 如果函数y＝3 sin （2x＋φ）的图象关于点 中心对称，那 么｜φ｜的最小值为（　　） A. B. C. D. 解析： 　由题意知2× ＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－ （k∈Z），由此易得｜φ｜min＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 6. 为了得到函数y＝tan 的图象，只需把函数y＝tan 2x的图 象上所有的点（　　） A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位 解析： 　∵y＝tan ＝tan 2 ，∴把函数y＝tan 2x 的图象上所有的点向左平移 个单位，即可得到函数y＝tan 的图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 7. 若函数f（x）＝ sin 2x＋2 cos x在区间 上的最大值为1， 则θ的值是（　　） A. 0 B. C. D. － 解析： 　由f（x）＝ sin 2x＋2 cos x＝1－ cos 2x＋2 cos x取到 最大值1，可知 cos x＝0，结合三角函数的图象易知θ＝－ ， 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 8. 若函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）的部分图象如图所示，则ω和φ的 取值是（　　） A. ω＝1，φ＝ B. ω＝1，φ＝－ C. ω＝ ，φ＝ D. ω＝ ，φ＝－ 解析： 　由图象知，T＝4 ＝4π＝ ，所以ω＝ .又当x ＝ 时，y＝1，所以 sin （ × ＋φ）＝1，即 ＋φ＝2kπ＋ ， （k∈Z），当k＝0时，φ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选 对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若角α是第四象限的角，则（　　） A. sin α＞0 B. cos α＞0 C. tan α＞0 D. sin α cos α＜0 解析： 　若角α是第四象限的角，则 sin α＜0， cos α＞0， tan α＜0， sin α cos α＜0，故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 10. 同时满足下列三个条件的函数为（　　） ①在 上是增函数；②为R上的奇函数；③最小正周期为 T≥π. A. y＝tan x B. y＝｜ cos x｜ C. y＝tan D. y＝ sin x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 解析： 　A中y＝tan x，在 上是增函数且为奇函数又是 以π为最小正周期的函数，三个条件均满足；B中y＝｜ cos x｜， 为偶函数且在 上是减函数又是以π为最小正周期的函数， 不满足条件①②；C中y＝tan ，以2π为最小正周期，不满足条件 ③；D中y＝ sin ，在 上是增函数且为奇函数又以4π为最 小正周期的函数，满足三个条件.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 11. 设函数f（x）＝3 sin （ωx＋φ） 的图象关于 直线x＝ 对称，最小正周期是π，则（　　） A. f（x）的图象过点 B. f（x）在 上是减函数 C. f（x）图象的一个对称中心是点 D. 将f（x）的图象向右平移｜φ｜个单位长度，得到函数y＝3 sin ωx的图象 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 解析： 　由题意得T＝π＝ ，则ω＝2，故f（x）＝3 sin （2x＋φ）.∵直线x＝ 是f（x）的图象的一条对称轴，∴ ＋ φ＝ ＋kπ，k∈Z，即φ＝－ π＋kπ，k∈Z，又－ ＜φ＜ ， ∴φ＝ ，∴f（x）＝3 sin .f（0）＝3 sin ＝ ，故A错 误；当x∈ 时，2x＋ ∈ ，f（x）单调递减，故 B正确；f ＝3 sin （2× ＋ ）＝0，故C正确； 将f（x）的图象向右平移｜φ｜个单位长度，得到函数y＝3 sin ［2 ＋ ］＝3 sin 的图象，故D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中 横线上） 12. 函数f（x）＝2 sin x＋1，x∈ 的值域为 ⁠. 解析：易知函数f（x）在 上单调递增，在 上单调 递减，又f（0）＝1，f ＝3，f ＝0，故所求的最大值为 3，最小值为0. [0，3]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 13. 已知 sin α－ cos α＝－ ，则tan α＋ ＝ 　－ 　. 解析：∵ sin α－ cos α＝－ ，∴ sin 2α＋ cos 2α－2 sin α cos α＝ ，∴ sin α cos α＝－ ，∴tan α＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 14. 将函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，－ ≤φ≤ ）图象上每 一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 个 单位长度得到y＝ sin x的图象，则f（x）的解析式为 ⁠ sin 　，f ＝ 　 　. f（x）＝ sin 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 解析：将y＝ sin x的图象向左平移 个单位长度可得y＝ sin 的图象，保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍可得y＝ sin 的图象，故f（x）＝ sin ，所以f ＝ sin ＝ sin ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）（1）化简： · sin （α－ π）· cos （2π－α）； 解： 原式＝ ·（－ sin α） cos α＝－ sin 2α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） （2）求值： sin cos ＋ sin cos . 解： 原式＝ sin cos ＋ ＝ × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 16. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞ 0，ω＞0，｜φ｜＜π）的一段图象如图所示. （1）求函数f（x）的单调递增区间； 解：由题图可得f（x）＝2 sin ， 由－ ＋2kπ≤2x＋ π≤ ＋2kπ，k∈Z， 得－ ＋kπ≤x≤－ ＋kπ，k∈Z， 所以函数f（x）的单调增区间为［－ ＋ kπ，－ ＋kπ］，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） （2）若x∈ ，求函数f（x）的值域. 解： 因为x∈ ， 所以2x＋ π∈ ， 所以当x＝ 时，f（x）min＝－ ， 当x＝－ 时，f（x）max＝2， 所以函数f（x）的值域为[－ ，2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 17. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝3tan . （1）求f（x）的定义域； 解： 由已知得2x－ ≠kπ＋ （k∈Z）， 即x≠ ＋ （k∈Z）， 所以f（x）的定义域为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） （2）试比较f 与f 的大小. 解： f ＝3tan ＝－3tan ＜0，f ＝ 3tan ＝3tan ＝3tan ＝3tan ＞0，所 以f ＜f . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 18. （本小题满分17分）在①将函数f（x）图象向右平移 个单位所 得图象关于y轴对称；②函数y＝f 是奇函数；③当x＝ 时，函数y＝f 取得最大值.三个条件中任选一个，补充在 题干中的横线处，然后解答问题. 已知函数f（x）＝2 sin （ωx＋φ），其中ω＞0，｜φ｜＜ ，其 图象相邻的对称中心之间的距离为 ， 　　　　 　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） （1）求函数y＝f（x）的解析式； 解： 因为函数f（x）＝2 sin （ωx＋φ）的图象相邻 的对称中心之间的距离为 ， 所以周期 ＝ ，即T＝π，所以ω＝ ＝2. 若选择①， 因为函数f（x）图象向右平移 个单位所得图象关于y轴 对称， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 所以g（x）＝2 sin ＝2 sin （2x－ ＋ φ）的图象关于y轴对称，所以φ－ ＝kπ＋ ，k∈Z， 因为｜φ｜＜ ，所以φ＝－ . 所以函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝2 sin . 若选择②， 因为y＝f ＝2 sin ＝2 sin 是奇函数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 所以 ＋φ＝kπ，k∈Z，因为｜φ｜＜ ，所以φ＝－ .所 以函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝2 sin . 若选择③， y＝f ＝2 sin ＝2 sin （2x－ ＋ φ）， 由题设，当x＝ 时，函数y＝f 取得最大值， 所以2× － ＋φ＝2kπ＋ （k∈Z）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 即φ＝2kπ－ （k∈Z）， 因为｜φ｜＜ ，所以φ＝－ . 所以函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝2 sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） （2）求函数y＝f（x）在 上的最小值，并写出取得最 小值时x的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解： 因为f（x）＝2 sin ，x∈ ， 所以2x－ ∈ ， 所以当2x－ ＝－ ，即x＝－ 时，函数f（x）取得最小 值，最小值为－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 19. （本小题满分17分）对于分别定义在D1，D2上的函数f（x），g （x）以及实数k，若存在x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）－g （x2）＝k，则称函数f（x）与g（x）具有关系M（k）. （1）若f（x）＝ cos x，x∈[0，π]；g（x）＝ sin x，x∈[0， π]，判断f（x）与g（x）是否具有关系M（－2），并说 明理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 解： f（x）与g（x）具有关系M（－2），理由如下： 当x∈[0，π]时，f（x）＝ cos x∈[－1，1]，g（x）＝ sin x∈[0，1]， 当x1＝π时，f（x1）＝f（π）＝－1，当x2＝ 时，g（x2） ＝g（ ）＝1， 此时f（π）－g（ ）＝－2，则f（x）与g（x）具有关系 M（－2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） （2）若f（x）＝ cos x－1与g（x）＝－2 sin 2x＋ sin x＋1具有 关系M（k），求实数k的取值范围； 解：由函数f（x）＝ cos x－1∈[－2，0]， 且g（x）＝－2 sin 2x＋ sin x＋1＝－2（ sin x－ ）2＋ ， 因为 sin x∈[－1，1]，所以当 sin x＝－1时，g（x）min＝ －2×（－1－ ）2＋ ＝－2，当 sin x＝ 时，g（x）max＝ ， 所以g（x）∈［－2， ］， 所以[f（x1）－g（x2）]∈［－ ，2］，所以k∈［－ ，2］，即实数k的取值范围为［－ ，2］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） （3）已知a＞0，h（x）为定义在R上的奇函数，且满足：①在 [0，2a]上，当且仅当x＝ 时，h（x）取得最大值1；② 对任意x∈R，有h（a＋x）＋h（a－x）＝0. 判断是否存在实数a（a＞0），使得f（x）＝ sin 2πx＋h （x）与g（x）＝h（x）－ cos 2πx具有关系M（4），若 存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 解：不存在实数a使得f（x）与g（x）具有关系M（4）. 理由如下： 因为在[0，2a]上，当且仅当x＝ 时，h（x）取得最大值 1，且h（x）为定义在R上的奇函数， 所以在[－2a，0]上，当且仅当x＝－ 时，h（x）取得最 小值－1，故h（x）的值域为[－1，1]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 由对任意x∈R有h（a＋x）＋h（a－x）＝0，可得y＝h （x）关于点（a，0）对称， 又h（a＋x）＝－h（a－x）＝h（x－a），故h（x）的 周期为2a， 又 sin 2πx∈[－1，1]， cos 2πx∈[－1，1]， 所以当h（x1）＝1时，x1＝ ＋2na，n∈Z， sin 2πx1＝1 时，x1＝ ＋k，k∈Z， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） 若 ＋2na＝ ＋k，即a＝ ，k，n∈Z，此时有f （x1）＝ sin 2πx1＋h（x1）＝2； 当h（x2）＝－1时，x2＝－ ＋2ma，m∈Z， cos 2πx2＝1 时，x2＝t，t∈Z， 若－ ＋2ma＝t，则a＝ ，t，m∈Z时，有g（x2） ＝h（x2）－ cos 2πx2＝－2， 因为 ≠ ，所以 sin 2πx1＋h（x1）＋ cos 2πx2－h（x2）＜4， 所以不存在x1∈R，x2∈R使得 sin 2πx1＋f（x1）＋ cos 2πx2 －f（x2）＝4， 故不存在实数a使得f（x）＝ sin 2πx＋h（x）与g（x） ＝h（x）－ cos 2πx具有关系M（4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B版） $