7.3.4 正切函数的性质与图象-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦正切函数的性质与图象，通过“两小儿辩日”情境导入，关联太阳斜射角度问题，类比正弦、余弦函数的学习路径，搭建从已有知识到新知的过渡支架。 其亮点在于以问题驱动探究，结合“三点两线法”作图培养直观想象，通过定义域求解、单调性分析等题型训练数学运算与逻辑推理，分层练习助力巩固。学生能提升知识应用能力，教师可获得系统教学资源，高效落实核心素养。

7.3.4　 正切函数的性质与图象 新课程标准解读 核心素养 1.了解正切函数，会画y＝tan x的图象 直观想象 2.理解正切函数的性质，并能利用正切函数的图 象及性质解决有关问题 数学运算、逻辑推 理 目录 数学·必修第三册（B版） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 孔子东游，见两小儿辩斗，问其故，一儿曰：“日 初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者 凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早 晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地.在相同的时间、 相等的面积里，物体在直线状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题. 目录 数学·必修第三册（B版） 　那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？ 　　类比y＝ sin x，y＝ cos x的图象与性质. 【问题】　（1）y＝tan x是周期函数吗？有最大（小）值吗？ （2）正切函数的图象是连续的吗？ 目录 数学·必修第三册（B版） 知识点一　正切函数 　对于任意一个角x，只要 ，就有 ⁠确 定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数. x≠ ＋kπ，k∈Z　 唯一　 目录 数学·必修第三册（B版） 知识点二　正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 目录 数学·必修第三册（B版） 解析式 y＝tan x 奇偶性 奇函数 单调性 在每个开区间 ⁠ 上都是增函数 对称性 对称中心 ⁠ 零点 kπ，k∈Z （k∈Z）　 （k∈Z）　 目录 数学·必修第三册（B版） 提醒　“三点两线法”作正切函数的图象：①“三点”分别为（kπ， 0）， ， ，其中k∈Z；两线为直线x＝kπ ＋ 和直线x＝kπ－ ，其中k∈Z（两线也称为正切曲线的渐近线， 即无限接近但不相交）；②作图象时，只需先作出一个周期中的两条 渐近线，然后描出三个点，用平滑的曲线连接得到一条曲线，最后平 行移动至各个周期内即可. 目录 数学·必修第三册（B版） 【想一想】 1. 正切函数在定义域上是单调函数吗？ 提示：不是. 2. 正切函数只有一个对称中心吗？ 提示：不是，点 （k∈Z）是其对称中心，有无数个. 3. 正切曲线有无数条对称轴，其对称轴是x＝ ＋kπ（k∈Z），对 吗？ 提示：不对.正切曲线没有对称轴. 目录 数学·必修第三册（B版） 　判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）正切函数的定义域和值域都是R. （　×　） （2）正切函数在R上是递增的. （　×　） （3）正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心. （　√　） × × √ 目录 数学·必修第三册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 　　 题型一 正切函数的定义域及值域 【例1】　（1）函数y＝ ＋lg（1－tan x）的定义域 是 ⁠； 　 解析： 要使函数y＝ ＋lg（1－tan x）有意义， 则即－1≤tan x＜1.在 上满足上述不 等式的x的取值范围是 .又因为y＝tan x的周期为π，所 以所求x的定义域为 . 目录 数学·必修第三册（B版） （2）函数y＝tan（ sin x）的值域为 ⁠. 解析： 因为－1≤ sin x≤1，且[－1，1]⊆ ，所 以y＝tan x在[－1，1]上是增函数，因此tan（－1）≤tan x≤tan 1，即函数y＝tan（ sin x）的值域为[－tan 1，tan 1]. [－tan 1，tan 1]　 目录 数学·必修第三册（B版） 【母题探究】 　（变条件）本例（2）中函数变为“y＝tan2x－2tan x，｜x｜ ≤ ”，求函数y＝tan2x－2tan x的值域. 解：令u＝tan x，∵｜x｜≤ ，∴由正切函数的图象知u∈[－ ， ]，∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－ ， ]，∵二次函数y ＝u2－2u＝（u－1）2－1图象开口向上，对称轴方程为u＝1，∴当u ＝1时，ymin＝－1，当u＝－ 时，ymax＝3＋2 ，∴原函数的值域 为[－1，3＋2 ]. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 1. 求正切函数定义域的方法 （1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的 一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠ ＋ kπ，k∈Z. 而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图 象求解； （2）求正切型函数y＝Atan（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的定义域 时，要将“ωx＋φ”视为一个整体.令ωx＋φ≠kπ＋ ， k∈Z，解得x. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 求正切函数值域的方法 （1）对于y＝Atan（ωx＋φ）的值域，可以把ωx＋φ看成整体， 结合图象，利用单调性求值域； （2）对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用 配方法求值域. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. 函数y＝tan 的定义域为 　 　. 解析：要使函数有意义，自变量x的取值应满足3x－ ≠kπ＋ （k∈Z），得x≠ ＋ （k∈Z），∴函数的定义域为 . 　 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 函数y＝tan ，x∈ 的值域是 　[－ ，0]　. 解析：y＝tan ＝－tan .∵x∈ ，∴2x－ ∈ .∴0≤tan ≤ .∴－ ≤tan ≤0，故 函数y＝tan ，x∈ 的值域为[－ ，0]. [－ ，0]　 目录 数学·必修第三册（B版） 题型二 正切函数的周期性、奇偶性 【例2】　（1）函数y＝4tan 的最小正周期为 　 　. 解析：由于ω＝3，故函数的最小正周期为T＝ ＝ . （2）判断下列函数的奇偶性： ①f（x）＝ ； ②f（x）＝tan ＋tan . 　 目录 数学·必修第三册（B版） 解：①由 得f（x）的定义域为{x｜x≠kπ＋ 且x≠kπ＋ ，k∈Z}， 不关于原点对称， 所以函数f（x）既不是偶函数，也不是奇函数. ②函数定义域为 ， 关于原点对称， 又f（－x）＝tan ＋tan ＝－tan － tan ＝－f（x）， 所以函数是奇函数. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 1. 函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）周期的求解方法 （1）定义法； （2）公式法：对于函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期T ＝ ； （3）观察法（或图象法）：观察函数的图象，看自变量间隔多 少，函数值重复出现. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原 点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f （－x）与f（x）的关系. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. 函数f（x）＝tan 的最小正周期为（　　） A. B. C. π D. 2π 解析： 函数f（x）＝tan（ωx＋φ）的最小正周期是T＝ ，直接利用公式，可得T＝ ＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝tan x＋ ； 解： 要使函数有意义，需满足：tan x≠0，且tan x有意 义，即x∈ ∪ ，k∈Z，可知定 义域关于原点对称.又对于定义域内的任意x，都有f（－x） ＝－tan x－ ＝－f（x），∴函数f（x）为奇函数. 目录 数学·必修第三册（B版） 解：由得 ∴函数f（x）的定义域为（－ ＋kπ，kπ）∪（kπ， ＋ kπ），k∈Z，定义域关于原点对称. 又对任意x∈（－ ＋kπ，kπ）∪（kπ， ＋kπ），k∈Z， 都有f（－x）＝lg｜tan（－x）｜＝lg｜－tan x｜＝lg｜tan x｜＝f（x）， ∴函数f（x）是偶函数. （2）f（x）＝lg｜tan x｜. 目录 数学·必修第三册（B版） 题型三 正切函数的单调性 【例3】　（1）比较大小：tan 1，tan 2，tan 3； 解： 由诱导公式可知tan 2＝tan（2－π），tan 3＝tan（3－ π），因为 ＜2＜π， ＜3＜π，所以－ ＜2－π＜0，－ ＜3－ π＜0，所以－ ＜2－π＜3－π＜1＜ .因为函数y＝tan x在 上单调递增，所以tan（2－π）＜tan（3－π）＜tan 1， 即tan 2＜tan 3＜tan 1. 目录 数学·必修第三册（B版） （2）求函数y＝2tan 的单调区间. 解： y＝2tan ＝－2tan ， 由－ ＋kπ＜2x－ ＜ ＋kπ，k∈Z，可得 － ＜x＜ ＋ ，k∈Z， 故函数y＝2tan 的单调递减区间为 ，k∈Z，无单调递增区间. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 1. 正切型函数单调区间的求解思路 正切函数y＝tan x在开区间 （k∈Z）上是增函 数，求函数y＝Atan（ωx＋φ）的单调区间，将“ωx＋φ”视为一 个整体，若ω＜0，一般先用诱导公式化为ω＞0，使x的系数为正 值，然后求单调区间.当A＞0（或A＜0）时，函数y＝Atan（ωx ＋φ）（A≠0，ω＞0）的单调性与y＝tan x，x∈R，x≠ ＋kπ， k∈Z的单调性相同（或相反），解不等式即可得出对应单调区间. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 利用正切函数的单调性，比较两个正切值大小的步骤 （1）利用诱导公式将任意角的正切值转化为 内的正 切值； （2）确定转化到 内的各角的大小顺序； （3）利用y＝tan x在 上为增函数的性质得出大小顺序. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. 若函数f（x）＝tan x在区间 上单调递增，则实数a的 取值范围是 ⁠. 解析：∵ ＞ ，∴a＞0，∵ ＞0， ＜0， ∴解得0＜a≤1. （0，1]　 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 不通过求值，比较大小：tan 和tan . 解：∵tan ＝－tan ＝tan ， tan ＝－tan ＝tan . 又0＜ ＜ ＜ ，y＝tan x在 内单调递增， ∴tan ＜tan ，即tan ＞tan . 目录 数学·必修第三册（B版） 题型四 正切函数的图象及应用 【例4】　画出函数y＝｜tan x｜的图象，并根据图象判断其单调区 间、奇偶性、周期性. 目录 数学·必修第三册（B版） 解：由y＝｜tan x｜得， y＝其图象如图所示. 由图象可知，函数y＝｜tan x｜是偶函数， 单调递增区间为 （k∈Z）， 单调递减区间为 （k∈Z），周期为π. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 1. 作函数y＝｜f（x）｜的图象一般利用图象变换方法，具体步骤 是： （1）保留函数y＝f（x）图象在x轴上方的部分； （2）将函数y＝f（x）图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折. 2. 若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期 性，延拓到定义域上即可. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　根据正切函数的图象，写出tan x≥－1的解集. 解：作出y＝tan x及y＝－1的图象，如图. ∴满足此不等式的x的集合为{x ＋ kπ≤x＜ ＋kπ，k∈Z}. 目录 数学·必修第三册（B版） 1. 函数f（x）＝ tan ，x∈R的最小正周期为（　　） A. B. π C. 2π D. 4π 解析： 　由 ＝2π，故选C. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 函数f（x）＝2tan（－x）是（　　） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数也是偶函数 D. 非奇非偶函数 解析： 　因为f（－x）＝2tan x＝－2tan（－x）＝－f（x）， 且f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）＝2tan（－x） 是奇函数. 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 函数f（x）＝tan 的定义域是 　 ⁠. 解析：由题意知x＋ ≠kπ＋ （k∈Z），即x≠ ＋kπ （k∈Z）.故定义域为{x｜x≠kπ＋ ，k∈Z}. 　 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 函数y＝tan 的单调递增区间是 　 ，对称中心为 ⁠. 解析：由kπ－ ＜ ＋ ＜kπ＋ ，k∈Z，得2kπ－ ＜x＜2kπ ＋ ，k∈Z. 令 ＋ ＝ （k∈Z），则x＝kπ－ （k∈Z）， 所以对称中心坐标为（kπ－ ，0）（k∈Z）. （k∈Z）　 （kπ－ ，0）（k∈Z）　 目录 数学·必修第三册（B版） 5. 求函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈ 的值域. 解：∵－ ≤x≤ ，∴－1≤tan x≤1. 令tan x＝t，则t∈[－1，1]. ∴y＝－t2＋4t＋1＝－（t－2）2＋5. ∴当t＝－1，即x＝－ 时，ymin＝－4， 当t＝1，即x＝ 时，ymax＝4. 故所求函数的值域为[－4，4]. 目录 数学·必修第三册（B版） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 函数f（x）＝｜tan 2x｜是（　　） A. 周期为π的奇函数 B. 周期为π的偶函数 C. 周期为 的奇函数 D. 周期为 的偶函数 解析： 　f（－x）＝｜tan（－2x）｜＝｜tan 2x｜＝f（x）为 偶函数，T＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 当x∈ 时，函数y＝tan｜x｜的图象（　　） A. 关于原点对称 B. 关于y轴对称 C. 关于x轴对称 D. 没有对称轴 解析： 　∵x∈ ，f（－x）＝tan ｜－x｜＝tan ｜x｜ ＝f（x），∴f（x）为偶函数，即y＝tan ｜x｜的图象关于y轴对 称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 3. （多选）若直线y＝m（m为常数）与函数f（x）＝tan ωx（ω＞ 0）的图象的相邻两支相交于A，B两点，且｜AB｜＝ ，则 （　　） A. 函数f（x）的最小正周期为 B. ω＝4 C. 函数f（x）图象的对称中心的坐标为（ ，0）（k∈Z） D. 函数｜f（x）｜图象的对称轴方程均可表示为x＝ （k∈Z） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　∵｜AB｜＝ ，则T＝ ，∴ω＝4，故A错，B正确； 令4x＝ kπ，k∈Z，∴x＝ kπ，k∈Z. ∴y＝tan 4x的图象的对 称中心为 （k∈Z），故C正确；y＝｜f（x）｜图象的对 称轴方程为x＝ （k∈Z），故D错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 函数y＝tan 在一个周期内的图象是如图中的（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　由函数周期T＝ ＝2π，排除选项B、D；将x＝ 代入 函数式中，得tan ＝tan 0＝0.故函数图象与x轴的一个 交点为 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 5. 函数f（x）＝tan ωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y＝1所得 的线段长为 ，则f 的值是（　　） A. 0 B. C. 1 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　f（x）＝tan ωx的图象的相邻两支截直线y＝1所得的线 段长度为函数的周期，所以该函数的周期是 ，所以 ＝ （ω＞ 0），解得ω＝4.所以f（x）＝tan 4x，当x＝ 时，f ＝ tan ＝tan ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 6. （多选）下列说法错误的是（　　） A. 函数y＝tan x的所有对称中心是（kπ，0）（k∈Z） B. 直线y＝a与正切函数y＝tan x图象相邻两交点之间的距离为π C. y＝2tan x，x∈ 的值域为[0，＋∞） D. y＝tan x在其定义域上是增函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　A错，对称中心为 （k∈Z）；B对，同y＝tan x的周期为π；C对，x∈ 时，tan x≥0；D错，它的单调区间 只在（kπ－ ，kπ＋ ）（k∈Z）内，而不能说它在定义域内是 增函数，由此可知D错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 7. 函数y＝ 的定义域为 　 （k∈Z）　. 解析：由题可得tan x＋1≥0，即tan x≥－1，解得x∈ （k∈Z）. （k∈Z）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 8. 若函数f（x）＝2tan 的最小正周期T满足1＜T＜2，则自 然数k的值为 ⁠. 解析：由T＝ ，又1＜T＜2，∴k的值可取2或3. 2或3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 9. 函数y＝tan 的最小正周期为 　 　，其图象的对称中心 为 ⁠. 解析：最小正周期T＝ .由 ＝2x－ （k∈Z）得x＝ ＋ （k∈Z）.∴对称中心为 （k∈Z）. 　 （k∈Z）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 10. 已知函数f（x）＝3tan . （1）求f（x）的定义域与单调区间； 解： 由函数f（x）＝3tan ， 可得2x－ ≠kπ＋ 求得x≠ ＋ ，k∈Z， 故函数的定义域为 . 令kπ－ ＜2x－ ＜kπ＋ ，k∈Z， 求得 － ＜x＜ ＋ ，k∈Z. 故函数的单调增区间为 ，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （2）比较f 与f 的大小. 解： f ＝3tan ＝－3tan ＜0， f ＝3tan ＝3tan ＞0， 所以f ＜f . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 11. 已知函数y＝tan ωx在 内是减函数，则（　　） A. 0＜ω≤1 B. －1≤ω＜0 C. ω≥1 D. ω≤－1 解析： 　∵y＝tan ωx在 内是减函数，∴ω＜0且T＝ ≥π.∴｜ω｜≤1，即－1≤ω＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 12. （多选）下列关于函数y＝tan 的说法正确的是（　　） A. 在区间 上单调递增 B. 最小正周期是π C. 图象关于点 成中心对称 D. 图象关于直线x＝ 成轴对称 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　令kπ－ ＜x＋ ＜kπ＋ ，解得kπ－ ＜x＜kπ＋ ，k∈Z，显然 不满足上述关系式，故A错误；易知 该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋ ＝ ，解得x＝ － ，k∈Z，当k＝1时，x＝ ，故C正确；正切函数曲线没有对 称轴，因此函数y＝tan 的图象也没有对称轴，故D错误. 故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 13. 设函数f（x）＝tan（ωx＋φ） ，已知函数y ＝f（x）的图象与x轴相邻两个交点的距离为 ，且图象关于点 M 对称. （1）求f（x）的解析式； 解： 由题意知，函数f（x）的最小正周期为T＝ ， 即T＝ ＝ . 因为ω＞0，所以ω＝2，从而f（x）＝tan（2x＋φ）. 因为函数y＝f（x）的图象关于点M 对称， 所以2× ＋φ＝ ，k∈Z，即φ＝ ＋ ，k∈Z. 因为0＜φ＜ ，所以φ＝ ，故f（x）＝tan . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （2）求不等式－1≤f（x）≤ 的解集. 解： 由（1）知，f（x）＝tan . 由－1≤tan ≤ ，得－ ＋kπ≤2x＋ ≤ ＋ kπ，k∈Z， 即－ ＋ ≤x≤ ＋ ，k∈Z. 所以不等式－1≤f（x）≤ 的解集为 ，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 14. 已知函数f（x）＝tan（x＋φ） 的图象的一个对称中 心为 ，则φ的值为 　 或－ 　，最小正周期为 ⁠. 解析：由于 是函数f（x）图象的对称中心，所以 ＋φ＝ π，k∈Z，所以φ＝ π－ ，k∈Z，由于｜φ｜＜ ，故取k＝0， 1，φ＝－ ， ，T＝π. 或－ 　 π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 15. 已知f（x）＝ . （1）判断f（x）的奇偶性； 解： 由函数f（x）＝ 的解析式可得函数的定义 域为 关于原点对称， 又因为f（x）＝ ＝ ， 所以f（－x）＝ ＝ ＝－f（x）， 所以函数f（x）＝ 为奇函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （2）当x∈[－π，π]，且x≠± 时， 画出f（x）的简图，并指出函数的 单调区间. 解： 由（1）可得 f（x）＝ 其图象如图所示： 由图象可知f（x）的单调递增区间为 ，单调递减 区间为 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） $