7.3.2 第2课时 正弦型函数的性质（习题课）-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦正弦型函数性质，通过典型例题精研析，从周期（定义法、公式法、图象法）入手，逐步过渡到单调性、最值及对称性，构建从基础到综合的知识支架，帮助学生衔接前后知识点。 其亮点在于“通性通法”总结与分层训练，结合数学思维（推理、运算）和数学眼光（几何直观），如通过换元法求单调区间、图象法分析周期，培养学生逻辑推理与应用意识。学生能系统掌握解题方法，教师可高效开展分层教学。

第二课时　 正弦型函数的性质（习题课） 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 　　 题型一 正弦型函数的周期 【例1】　求下列函数的周期： （1）y＝ sin ； 解： 法一（定义法）　y＝ sin ＝ sin ＝ sin ， ∴周期为π. 法二（公式法）　y＝ sin 中ω＝2， T＝ ＝ ＝π. 目录 数学·必修第三册（B版） （2）y＝2 sin ； 解： ∵ω＝ ，∴T＝ ＝6π. （3）y＝｜ sin x｜. 解： 作图如下. 观察图象可知周期为π. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 求三角函数周期的方法 （1）定义法：利用周期的定义，对定义域内每一个x判断是否存在非 零常数T，使f（x＋T）＝f（x），若存在，则T是它的一个 周期； （2）公式法：正弦型函数y＝A sin （ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常 数，且A≠0，ω≠0）的周期T＝ ； （3）图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. 若函数f（x）＝ sin （ω＞0）的最小正周期为π，则ω的 值等于（　　） A. 2 B. 1 C. D. 解析： 　由已知得 ＝π，解得ω＝1.故选B. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 已知函数f（x）＝ sin 3x＋｜ sin 3x｜，则f（x）为（　　） A. 周期函数，最小正周期为 B. 周期函数，最小正周期为 C. 周期函数，最小正周期为2π D. 非周期函数 解析： 　画出f（x）＝ sin 3x＋｜ sin 3x｜的部 分图象，如图所示.由图象可知，函数为周期函 数，最小正周期为 ，故选A. 目录 数学·必修第三册（B版） 题型二 正弦型函数的单调性 【例2】　求函数y＝1＋ sin ，x∈[－4π，4π]的单调递减 区间. 解：y＝1＋ sin ＝－ sin ＋1. 由2kπ－ ≤ x－ ≤2kπ＋ （k∈Z）， 解得4kπ－ ≤x≤4kπ＋ π（k∈Z）. 又∵x∈[－4π，4π]， ∴函数y＝1＋ sin 的单调递减区间为 ， ， . 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 求正弦型函数的单调区间的策略 （1）结合正弦函数的图象，熟记它的单调区间； （2）在求形如y＝A sin （ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的函数的单调区 间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整 体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调 区间.当A＞0时y＝A sin z与y＝ sin x的单调性相同，当A＜0 时，y＝A sin z与y＝ sin x的单调性相反； （3）求形如y＝A sin （ωx＋φ），x∈D的单调区间时，先求y＝A sin （ωx＋φ），x∈R的单调区间，再把所求的单调区间和区 间D取交集即得y＝A sin （ωx＋φ），x∈D上的单调区间. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　求函数y＝ sin 的单调递增区间. 解：法一　函数y＝ sin x的单调递增区间为［－ ＋2kπ， ＋ 2kπ］，k∈Z. 令－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z， 解得－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z， 所以函数y＝ sin 的单调递增区间为 ， k∈Z. 目录 数学·必修第三册（B版） 法二　令2x－ ＝ ，解得x＝ ， 所以函数y＝ sin 在x＝ 处取得最大值. 又函数的最小正周期为π，根据周期性与单调性的关系可知，函数y＝ sin 的一个单调递增区间为 ，即 ， 所以函数y＝ sin 的单调递增区间为［－ ＋kπ， ＋ kπ］，k∈Z. 目录 数学·必修第三册（B版） 题型三 正弦型函数的最值（值域） 【例3】　已知函数f（x）＝ sin .给出下列结论： ①f（x）的最小正周期为2π；②f 是f（x）的最大值；③把函数y ＝ sin x的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数y＝f （x）的图象.其中所有正确结论的序号是（　　） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　f（x）＝ sin 的最小正周期为2π，①正确； sin ＝1＝f 为f（x）的最大值，②错误；将y＝ sin x的图象上所有 点向左平移 个单位长度得到f（x）＝ sin 的图象，③正 确.故选B. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 求正弦型函数的最值（值域）的策略 　　求函数y＝A sin （ωx＋φ）的值域与最值问题时，要在x取值 范围的基础之上，把ωx＋φ看成整体，通过正弦函数的最值情况来 求解. 　　当A＞0时， sin （ωx＋φ）最大时y＝A sin （ωx＋φ）就最大， sin （ωx＋φ）最小时y＝A sin （ωx＋φ）就最小； 　　当A＜0时， sin （ωx＋φ）最大时y＝A sin （ωx＋φ）就最小， sin （ωx＋φ）最小时y＝A sin （ωx＋φ）就最大. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　已知函数f（x）＝ sin ＋ ，若f（x）在区间 上 的最大值为 ，求m的最小值. 解：由题意得－ ≤x≤m，∴－ ≤2x≤2m， ∴－ ≤2x－ ≤2m－ .∵函数f（x）的最大值为 ，∴y＝ sin 在 上的最大值为1， ∴2m－ ≥ ，∴m≥ .∴m的最小值为 . 目录 数学·必修第三册（B版） 　正弦函数图象对称性问题的探究 　　 1. 下列图案中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？有没有既 是轴对称又是中心对称的图形？ 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 正弦函数的图象如图.利用图象探索正弦函数图象的对称性. 目录 数学·必修第三册（B版） 【问题探究】 1. 正弦函数的图象有对称轴吗？如果有，请写出对称轴方程，如果没 有，请说明理由. 提示：由正弦函数的图象可以看出，它是轴对称图形，有无数条对 称轴，经过最高点或最低点且与x轴垂直的直线都是它的对称轴， 对称轴方程为x＝ ＋kπ，k∈Z. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 正弦函数的图象有对称中心吗？如果有，请写出对称中心的坐标， 如果没有，请说明理由. 提示：由正弦函数的图象可以看出，它也是中心对称图形，有无数 个对称中心，图象与x轴的交点都是它的对称中心，对称中心坐标 为（kπ，0），k∈Z. 3. 画出函数y＝ sin ｜x｜的图象，并利用图象说明它的对称性. 提示：画出函数图象如图，由图象可知，函 数y＝ sin ｜x｜的图象是轴对称图形，对称 轴为y轴，它不是中心对称图形. 目录 数学·必修第三册（B版） 【迁移应用】 1. 已知函数y＝ sin 的图象在R上关于原点对称，则φ的 值可以是（　　） A. 0 B. － C. D. π 解析： 　因为y＝ sin 的函数图象在R上关于原 点对称，所以y＝ sin 为奇函数，则只需 ＋φ＝ kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－ ，k∈Z，显然当k＝0时，φ＝－ 满 足题意. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 求函数y＝2 sin 的对称轴方程及对称中心坐标. 解：由x－ ＝ ＋kπ，k∈Z，得对称轴方程为x＝ π＋kπ， k∈Z. 由x－ ＝kπ，k∈Z，得x＝ ＋kπ，k∈Z，∴对称中心坐 标为 ，k∈Z. 目录 数学·必修第三册（B版） 1. 函数f（x）＝ sin 的最小正周期为（　　） A. B. π C. 2π D. 4π 解析： 　函数f（x）＝ sin 的最小正周期T＝ ＝4π. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. （多选）对于函数f（x）＝ sin 2x，下列选项中错误的是 （　　） A. f（x）在 上是递增的 B. f（x）的图象关于原点对称 C. f（x）的最小正周期为2π D. f（x）的最大值为2 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　因为函数y＝ sin x在 上是单调递减的，所以f （x）＝ sin 2x在 上是单调递减的，故A错误；因为f（－ x）＝ sin 2（－x）＝ sin （－2x）＝－ sin 2x＝－f（x），所以f （x）为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f（x）的最小正 周期为π，故C错误；f（x）的最大值为1，故D错误. 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 求函数y＝3 sin （x∈[0，π]）的单调递增区间. 解：函数y＝3 sin ＝－3 sin ， 令2kπ＋ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z，求得kπ＋ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z， 又x∈[0，π]，所以函数的单调递增区间为 . 目录 数学·必修第三册（B版） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 函数y＝2 sin （x∈[－π，0]）的单调递增区间是（　　） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　法一　由－ ＋2kπ≤x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，得－ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z. 由于x∈[－π，0]，所以所求单调 递增区间为 . 法二　当x＝ 时，函数y＝2 sin 取得最大值，且其最小正周 期为2π，则函数y＝2 sin （x－ ）的一个单调递增区间为 ，即［－ ， ］，所以当x∈[－π，0]时，所求单调递增区间为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 函数y＝3 sin 的图象的一条对称轴方程是（　　） A. x＝0 B. x＝ C. x＝－ D. x＝ 解析： 　令 sin ＝±1，得2x＋ ＝kπ＋ （k∈Z），即 x＝ π＋ （k∈Z），取k＝1，得x＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 若函数f（x）＝3 sin （ωx＋φ）对任意x都有f ＝ f ，则有f ＝（　　） A. 3或0 B. －3或0 C. 0 D. －3或3 解析： 　由f ＝f 知，x＝ 是函数的对称轴，解得 f ＝－3或3.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 已知函数f（x）＝2 sin ，若对任意的x∈R都有f（x1） ≤f（x）≤f（x2）成立，则｜x1－x2｜的最小值是（　　） A. 4 B. 2 C. 1 D. 解析： 　函数f（x）的最小正周期T＝ ＝4.由于对任意的 x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则f（x1）＝f（x） min＝－2，f（x2）＝f（x）max＝2，从而｜x1－x2｜的最小值为 ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 5. （多选）已知函数f（x）＝ sin （ω＞0）的最小正周期为 π，则该函数的图象（　　） A. 关于点 对称 B. 关于直线x＝ 对称 C. 关于点 对称 D. 关于直线x＝ 对称 解析： 　∵f（x）的周期为π，∴ω＝2.∴f（x）＝ sin ，∴f（x）的图象关于点（ － ，0）（k∈Z）对称，关于 直线x＝ ＋ （k∈Z）对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 6. 将函数y＝ sin 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍 （纵坐标不变），所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增 （　　） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　依题意，原函数经图象变换后，得到函数y＝ sin 的图象.令2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ （k∈Z），解得kπ－ ≤x≤kπ＋ （k∈Z），则函数y＝ sin 的单调递增区间 为 （k∈Z）.结合选项可知，当k＝0时，函数y ＝ sin 在区间 上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 7. 函数y＝ sin 的单调递减区间是 　 ⁠. 解析：令 ＋2kπ≤ x＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z，则 ＋ 4kπ≤x≤ ＋4kπ，k∈Z. （k∈Z）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 8. 已知f（x）＝2 sin （x∈R）为奇函数，则当正数φ 取最小值时，函数f（x）的图象的对称轴方程是 ⁠ ⁠. x＝ ＋ （k∈Z）　 解析：因为f（x）＝2 sin （x∈R）为奇函数，所 以f（0）＝2 sin ＝0，所以2φ＋ ＝kπ（k∈Z），即φ＝ － （k∈Z），所以当k＝1时，正数φ取得最小值 ，此时f （x）＝－2 sin 2x.令2x＝kπ＋ （k∈Z），得x＝ ＋ （k∈Z），故所求函数f（x）图象的对称轴方程是x＝ ＋ （k∈Z）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 9. 函数f（x）＝ sin （2x＋φ） 的图象向左平移 个单位 后所得图象对应的函数是奇函数，则函数f（x）＝ ，在 上的最小值为 　－ 　. sin － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析：函数f（x）的图象向左平移 个单位得g（x）＝ sin 的图象.因为g（x）是奇函数，所以φ＋ ＝kπ， k∈Z. 又因为｜φ｜＜ ，所以φ＝－ ，所以f（x）＝ sin .又x∈ ，所以2x－ ∈ ，所以当x＝0时，f （x）取得最小值－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 10. 已知曲线y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜≤ ）上最 高点为（2， ），该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交 于点（6，0）. （1）求函数的解析式； 解： 由题意可知A＝ ， ＝6－2＝4， ∴T＝16，即 ＝16，∴ω＝ ， ∴y＝ sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 又图象过最高点（2， ）， ∴ sin ＝1， 故 ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z， φ＝ ＋2kπ，k∈Z， 由｜φ｜≤ ，得φ＝ ， ∴y＝ sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （2）求函数在x∈[－6，0]上的值域. 解： ∵－6≤x≤0，∴－ ≤ x＋ ≤ ， ∴－ ≤ sin ≤1. 即函数在[－6，0]上的值域为[－ ，1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 11. （多选）已知函数f（x）＝ sin ，则（　　） A. f（x）的最小值为－1 B. 点 是f（x）的图象的一个对称中心 C. f（x）的最小正周期为π D. f（x）在 上单调递增 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　由正弦函数性质知f（x）的最小值是－1，A正确； 令2x＋ ＝kπ，x＝ － ，k∈Z，没有一个整数k，能使 － ＝ ，B错误；T＝ ＝π，C正确；由2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ ＋ 得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z. 当k＝0时，－ ≤x≤ ， 而 ⊆ ，D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 12. 关于x的方程 sin ＝2m在[0，π]内有相异两实根，则实数 m的取值范围为 ⁠. 解析：由于0≤x≤π，所以 ≤x＋ ≤ ，由于关于x的方程 sin ＝2m在[0，π]内有相异两实根，令u＝x＋ ，由函数y ＝ sin u与y＝2m的图象（图略）可知， ≤2m＜1，解得 ≤m ＜ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 13. 已知函数f（x）＝A sin （A＞0，ω＞0）的最小正周期 为π，且该函数图象上的最低点的纵坐标为－3. （1）求函数f（x）的解析式； 解： ∵f（x）的最小正周期为π，又ω＞0，T＝ ＝ π，∴ω＝ ＝2. 又函数f（x）图象上的最低点纵坐标为－3，且A＞0，∴A ＝3. ∴f（x）＝3 sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （2）求函数f（x）的单调递增区间及对称轴方程. 解： 由2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 可得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z， ∴函数f（x）的单调递增区间为［kπ－ ，kπ＋ ］， k∈Z， 由2x＋ ＝ ＋kπ，得x＝ ＋ ，k∈Z， ∴函数f（x）的对称轴方程为x＝ ＋ ，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 14. （多选）若将函数f（x）＝A sin （A≠0）的图象向左 平移 个单位得到函数g（x）的图象，则下列选项错误的是 （　　） A. g（x）的最大值为A B. g（x）的图象有一条对称轴是直线x＝ C. g（x）的图象有一个对称中心是点 D. g（x）是奇函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　将函数f（x）＝A sin （A≠0）的图象向 左平移 个单位得到函数g（x）＝A sin ［2（ x＋ ）－ ］＝A sin 的图象，因为A≠0，正负不知，所以A错；又因为 g ＝A sin （ 2× ＋ ）＝A sin ＝A，所以直线x＝ 是g （x）图象的一条对称轴，所以B正确；因为g ＝A sin ［2× ＋ ］＝A sin ≠0，所以C错；g（x）＝A sin 为非奇非偶函数，所以D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 15. 某同学用“五点法”画函数f（x）＝A sin （ωx＋φ） 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx＋φ 0 π 2π x A sin （ωx ＋φ） 0 5 －5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析 式； 解： 根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－ . 数据补全如下表： ωx＋φ 0 ​ π ​ 2π x ​ ​ ​ ​ ​ A sin （ωx ＋φ） 0 5 0 －5 0 函数解析式为f（x）＝5 sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （2）将y＝f（x）的图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位 长度，得到y＝g（x）的图象.若y＝g（x）的图象的一个 对称中心为 ，求θ的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解： 由（1）知f（x）＝5 sin ， 所以g（x）＝5 sin . 由于y＝ sin x的图象的对称中心为（kπ，0），k∈Z. 所以令2x＋2θ－ ＝kπ，解得x＝ ＋ －θ，k∈Z. 由于函数y＝g（x）的图象关于点 成中心对称， 则 ＋ －θ＝ ， 解得θ＝ － ，k∈Z. 由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） $