7.3.2 第1课时 正弦型函数的图象-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦正弦型函数\(y = A\sin(\omega x + \varphi)\)的性质与图象，通过物理中简谐运动、交流电等实际情境导入，衔接基本正弦函数，搭建从简单到复杂的学习支架，帮助学生理解参数对图象的影响及变换规律。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种图象变换路径，通过典型例题、跟踪训练及“五点法”作图，强化直观想象与数学运算核心素养。分层设计的自我诊断和随堂检测，助力学生巩固知识，教师可直接用于课堂互动与课后巩固，提升教学效率。

7.3.2　 正弦型函数的性质与图象 新课程标准解读 核心素养 1.了解正弦型函数y＝A sin （ωx＋φ）的实际意 义及各参数对图象变化的影响，会求其周期、最 值、单调区间等 数学抽象、 数学运算 2.会用“图象变换法”作正弦型函数y＝A sin （ωx＋φ）的图象 数学运算、 直观想象 目录 数学·必修第三册（B版） 第一课时　 正弦型函数的图象 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交 流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝A sin （ωx＋φ）的函数. 如图①所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象. 　　将测得的图象放大，如图②所示，可以看出它和正弦曲线很相 似.那么函数y＝A sin （ωx＋φ）与函数y＝ sin x有什么关系呢？ 目录 数学·必修第三册（B版） 【问题】　（1）函数y＝A sin （ωx＋φ）的周期、最值分别受哪些 量的影响？ （2）如何作出函数y＝A sin （ωx＋φ）的图象？ 目录 数学·必修第三册（B版） 知识点一　正弦型函数 1. 形如y＝A sin （ωx＋φ）（其中A，ω，φ都是常数）的函数，通常 叫做正弦型函数. 2. 函数y＝A sin （ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期T ＝ 　 　，频率f＝ 　 　，初相为 ，值域为 ⁠ ， 也称为振幅，｜A｜的大小反映了y ＝A sin （ωx＋φ）的波动幅度的大小. 　 　 φ　 [－｜ A｜，｜A｜]　 ｜A｜　 目录 数学·必修第三册（B版） 知识点二　A，ω，φ对函数y＝A sin （ωx＋φ）图象的影响 1. φ对函数y＝ sin （x＋φ）图象的影响 2. ω对函数y＝ sin （ωx＋φ）图象的影响 目录 数学·必修第三册（B版） 3. A对函数y＝A sin （ωx＋φ）图象的影响 目录 数学·必修第三册（B版） 提醒　在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不 同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了｜ φ｜个单位长度，而后者平移了 个单位长度，这是因为由y＝ sin ωx的图象变换为y＝ sin （ωx＋φ）的图象的过程中，各点的 横坐标增加或减少了 个单位长度，即y＝ sin ωx的图象 y＝ sin ＝ sin （ωx＋φ）的图象. 目录 数学·必修第三册（B版） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝ sin x的图象向右平移 个单位长度，得到函数y＝ sin 的图象. （　×　） （2）将函数y＝ sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到 函数y＝2 sin x的图象. （　√　） （3）函数y＝2 sin 2x的振幅为2. （　√　） × √ √ 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 函数f（x）＝ sin 的最小正周期为（　　） A. B. π C. 2π D. 4π 解析：　　函数的最小正周期T＝ ＝4π. 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 要得到y＝ sin 的图象，只要将y＝ sin x的图象（　　） A. 向右平移 个单位 B. 向左平移 个单位 C. 向上平移 个单位 D. 向下平移 个单位 解析：　　将y＝ sin x的图象向左平移 个单位可得到y＝ sin 的图象. 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 已知函数y＝3 sin ，则该函数的振幅、初相分别 是 ， ⁠. 3　 　 目录 数学·必修第三册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 　　 题型一 正弦型函数图象的变换 【例1】　（1）函数y＝ cos 的图象可以看作是由y＝ sin x的 图象经过怎样的变换得到的？ 解：　y＝ cos ＝ sin ＝ sin ， 可以看作是把y＝ sin x的图象上所有的点向左平移 个单位长 度得到. 目录 数学·必修第三册（B版） （2）函数y＝2 sin －2的图象是由函数y＝ sin x的图象通过 怎样的变换得到的？ 解：　 目录 数学·必修第三册（B版） 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略 （1）确定函数y＝ sin x的图象经过平移变换后图象对应的解析式， 关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注 意平移只对“x”而言； （2）已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解 析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. 先将函数y＝ sin x的图象上各点向右平移 个单位，再将所得各点 的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析 式是（　　） A. y＝ sin B. y＝ sin C. y＝ sin D. y＝ sin 目录 数学·必修第三册（B版） 解析：　　将函数y＝ sin x所有的点向右平移 个单位，所得图象 的函数解析式为y＝ sin ，再把所得各点的横坐标伸长到原 来的2倍得到y＝ sin ，故选C. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 为了得到函数y＝ sin ，x∈R的图象，只需把函数y＝ sin x，x∈R的图象上所有的点： ①向左平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 （纵 坐标不变）； ②向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 （纵 坐标不变）； ③向左平移 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍 （纵坐标不变）； 目录 数学·必修第三册（B版） ④向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍 （纵坐标不变）. 其中正确的是 ⁠. 解析：y＝ sin x y＝ sin y＝ sin . ③　 目录 数学·必修第三册（B版） 题型二 求正弦型函数y＝A sin （ωx＋φ）的解析式 【例2】　（多选）如图是函数y＝ sin （ωx＋φ）的部分图象，则 sin （ωx＋φ）＝（　　） A. sin B. sin C. cos D. cos 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　由题图可知，函数的最小正周期T＝2 ＝π， ∴ ＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝ sin （2x＋φ），将点 代入得， sin ＝0，∴2× ＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝ 2kπ＋ ，k∈Z，故y＝ sin .由于y＝ sin （2x＋ ）＝ sin ＝ sin ，故选项B正确；y＝ sin ＝ cos ＝ cos （2x＋ ），选项C 目录 数学·必修第三册（B版） 正确；对于选项A，当x＝ 时， sin （ ＋ ）＝1≠0，错误；对于选 项D，当x＝ ＝ 时， cos ＝1≠－1，错误；当ω＝ －2时，y＝ sin （－2x＋φ），将 代入，得 sin ＝0，结合函数图象，知－2× ＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝ ＋2kπ， k∈Z，∴y＝ sin （－2x＋ ），但当x＝0时，y＝ sin （－2x＋ ） ＝－ ＜0，与图象不符合，舍去.故选B、C. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 根据函数的部分图象求解析式的方法 （1）直接由图象确定振幅和周期，则可确定函数式y＝A sin （ωx＋ φ）中的参数A和ω，再选取最大值点的数据代入ωx＋φ＝2kπ ＋ ，k∈Z，结合φ的范围求出φ； （2）通过若干特殊点代入函数式，解方程组求相关待定系数A， ω，φ； （3）运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数式y＝A sin ωx， 再根据图象平移规律确定相关的参数. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的 图象如图所示，则f（1）＝（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　由题意可知A＝3，T＝2×（7－3）＝8，所以ω＝ ＝ . 因为函数f（x）的图象经过点（3，0），所以 ＋φ＝π＋2kπ （k∈Z），φ＝ ＋2kπ（k∈Z）.又φ∈[0，2π），所以φ＝ ，所以 f（x）＝3 sin ，所以f（1）＝3.故选B. 目录 数学·必修第三册（B版） 1. 函数y＝2 sin 的周期、振幅依次是（　　） A. 6π，－2 B. 6π，2 C. π，2 D. π，－2 解析： 　振幅为2，周期为 ＝6π. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 为了得到函数y＝3 sin 的图象，只要把函数y＝3 sin 图象上的所有点（　　） A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　由函数图象的伸缩规律知，将函数y＝3 sin 图象 上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数y＝3 sin 的图象.故选B. 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 如图是函数y＝A sin （ωx＋φ） 的图象的 一部分，试求该函数的解析式. 解：由图象可知A＝2，T＝4×（6－2）＝16，ω＝ ＝ . 又x＝6时， ×6＋φ＝2kπ，又｜φ｜＜π，所以φ＝－ . 所以所求函数的解析式为y＝2 sin . 目录 数学·必修第三册（B版） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 为了得到函数y＝ sin （x－1）的图象，只需把函数y＝ sin x的图 象上所有的点（　　） A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位 C. 向左平移π个单位 D. 向右平移π个单位 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 函数y＝ sin 在区间 上的简图是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　当x＝0时，y＝ sin ＝－ ＜0，排除B、D；当x ＝ 时，y＝ sin ＝ sin 0＝0，排除C，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 3. （多选）函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象如 图所示，为了与g（x）＝－A cos ωx的图象重合，可以将f（x） 的图象（　　） A. 向右平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向左平移 个单位 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　由题图所示可知A＝1，T＝4（ π－ ）＝π，所以ω ＝ ＝2，又2× ＋φ＝π，所以φ＝ ，f（x）＝ sin ，g （x）＝－ cos 2x＝－ sin （ －2x＋2kπ）＝ sin ＝ sin ［2（x－ －kπ）＋ ］（k∈Z），可验证得k＝0时，B 正确，k＝－1时，C正确，故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 要得到y＝ sin 的图象，只要将函数y＝ sin 的图象 （　　） A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 解析： 　由于y＝ sin ＝ sin ，所以要得到y＝ sin 的图象，只要将函数y＝ sin 的图象向左平移 个单位 长度即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 5. 函数f（x）＝2 sin （ωx＋φ）（ ω＞0，－ ＜φ＜ ）的部分图象 如图，则ω，φ的值分别为（　　） A. 2，－ B. 2，－ C. 4，－ D. 4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　∵ T＝ π－ ＝ π，∴T＝π，∴ ＝π（ω＞ 0），∴ω＝2.由图象知当x＝ π时，2× π＋φ＝2kπ＋ （k∈Z），即φ＝2kπ－ （k∈Z）.∵－ ＜φ＜ ，∴φ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 6. 把函数y＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜π）的图象向左平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐 标不变），所得图象的函数解析式为y＝ sin x，则（　　） A. ω＝2，φ＝ B. ω＝2，φ＝－ C. ω＝ ，φ＝ D. ω＝ ，φ＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　将y＝ sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），所得图象的函数解析式为y＝ sin 2x，再将此函 数图象向右平移 个单位长度可得y＝ sin 的图象，即y ＝ sin 的图象，所以ω＝2，φ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 7. 函数f（x）＝ sin ｜ax＋1｜的图象恒过定点 ⁠； 当a＝π时，f ＝ 　－ 　. 解析：∵f（0）＝ sin ｜a×0＋1｜＝ sin 1，∴f（x）＝ sin ｜ax ＋1｜的图象恒过定点（0， sin 1）.当a＝π时，f ＝ sin ＝ sin ＝－ . （0， sin 1）　 － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 8. 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0）的图象如图所示，则ω ＝ 　 ⁠. 解析：由题意设函数周期为T，则 ＝ － ＝ ，∴T＝ .∴ω ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 9. 将函数y＝ sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然 后纵坐标缩短为原来的 ，则所得图象的函数解析式为 　y＝ sin ⁠. 解析：y＝ sin 2x的图象 y＝ sin ＝ sin x的图象 y＝ sin x的图象，即所得图象的函数解析式为y＝ sin x. y＝ sin x　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 10. 已知曲线y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）上的一个最高点的 坐标为 ，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点 ，若φ∈ . （1）试求这条曲线的函数表达式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 解： 依题意，A＝ ，T＝4× ＝π. ∵T＝ ＝π，ω＞0，∴ω＝2， ∴y＝ sin （2x＋φ），又曲线上的最高点为 ， ∴ sin ＝1. ∵－ ＜φ＜ ，∴φ＝ . ∴y＝ sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） （2）用“五点法”画出（1）中函数在[0，π]上的图象. 解： 列出x，y的对应值表： x 0 ​ π π π π 2x＋ ​ ​ π π 2π ​ y 1 ​ 0 － 0 1 作图如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 11. （多选）有下列四种变换方式： ①向左平移 个单位，再将横坐标变为原来的 （纵坐标不变）； ②横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位； ③横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位； ④向左平移 个单位，再将横坐标变为原来的 （纵坐标不变）. 其中能将正弦函数y＝ sin x的图象变为y＝ sin 的图象的 是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　①向左平移 个单位，再将横坐标变为原来的 （纵 坐标不变），则正弦函数y＝ sin x的图象变为y＝ sin 的 图象；②横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单 位，则正弦函数y＝ sin x的图象变为y＝ sin ＝ sin 的图象； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） ③横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位，则正 弦函数y＝ sin x的图象变为y＝ sin ＝ sin 的图象； ④向左平移 个单位，再将横坐标变为原来的 （纵坐标不变），则 正弦函数y＝ sin x的图象变为y＝ sin （2x＋ ）的图象，因此①和② 符合题意，故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 12. 已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，－ ＜φ＜ ）在一个周期内的图象如图所示. （1）求函数f（x）的解析式； 解： 由题设图象，易得A＝2， T＝ － ＝ ， 所以T＝π，所以ω＝ ＝2. 所以f（x）＝2 sin （2x＋φ）. 因为函数f（x）的图象经过点 . 所以2 sin ＝2，即 sin ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 又因为－ ＜φ＜ ，所以－ ＜ ＋φ＜ . 所以 ＋φ＝ ，所以φ＝ . 故所求函数f（x）的解析式为f（x）＝2 sin （2x＋ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） （2）设0＜x＜π，且方程f（x）＝m有两个不同的实数根，求实 数m的取值范围. 解： 由题意，知方程f（x）＝m有两个不同的实数 根等价于函数f（x）＝2 sin 的图象与g（x）＝m的图象有两个不同的交点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 因为0＜x＜π，易画出函数f（x）＝2 sin 的图象与函数g（x）＝m的图象 （如图所示）. 依据图象可知： 当－2＜m＜1或1＜m＜2时，直线g（x）＝m与曲线f（x）＝2 sin 有两个不同的交点， 即方程f（x）＝m有两个不同的实数根， 故所求实数m的取值范围为（－2，1）∪（1，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 13. 若将函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平 移 个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）＝ sin 的图象，则ω的最小值为 　 　. 解析：f（x）＝ sin ωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平 移 个单位长度得y＝ sin ，则y＝ sin 和g （x）＝ sin 相同，所以 ＝ ＋2kπ，k∈Z，解得ω＝ ＋6k，k∈Z，因为ω＞0，所以当k＝0时，ω的最小值为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 14. 函数y＝f（x）的图象与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面 积称为函数f（x）在[a，b]上的面积.已知函数y＝ sin nx在 上的面积为 （n∈N＋）. （1）求函数y＝ sin 3x在 上的面积； 解： y＝ sin 3x在［0， ］上的图象如 图所示， 由函数y＝ sin 3x在［0， π］上的面积为 ，所以在［0， π］上的面积为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） （2）求函数y＝ sin （3x－π）＋1在 上的面积. 解： 结合（1），由图可知阴影面积为S＝SABCD＋ ＝ π＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） $