7.3.1 第2课时 正弦函数的图象-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦正弦函数的图象，通过单摆实验情境导入，引导学生从直观观察简谐运动曲线出发，逐步探究精确作图方法，提炼五个关键点，构建从具体现象到抽象知识的学习支架。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，通过“五点法”作图训练数学思维，结合对称性及定义域等应用强化数学语言表达。例如单摆实验联系物理现象，五点法列表描点步骤清晰，助力学生提升直观想象与逻辑推理能力，教师可借助系统例题与分层训练提高教学效率。

第二课时　 正弦函数的图象 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成 了一个简易单摆（如图所示）.在漏斗下方放一块纸板，板的中间画 一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手 使它摆动，同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它 就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”.它 表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的 情况. 目录 数学·必修第三册（B版） 【问题】　（1）通过上述实验，你对正弦函数 图象的直观印象是怎样的？ （2）你能比较精确地画出y＝ sin x在[0，2π]上 的图象吗？ （3）以上方法作图虽然精确，但太麻烦，有没 有快捷画y＝ sin x， x∈[0，2π]图象的方法？你认为图象上哪些点是关键点？ 目录 数学·必修第三册（B版） 知识点　正弦函数的图象 1. 正弦函数y＝ sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：（0， 0）， 　 　，（π，0）， 　 　，（2π，0）. 2. 正弦曲线是轴对称图形，对称轴为 ；正弦 曲线也是中心对称图形，且对称中心为 ⁠. 　 　 x＝ ＋kπ（k∈Z）　 （kπ，0）（k∈Z）　 目录 数学·必修第三册（B版） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝ sin x的图象关于y轴对称. （　×　） （2）正弦函数的图象向左右是无限伸展的. （　√　） （3）正弦函数y＝ sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π]（k∈Z）上 的图象形状相同，只是位置不同. （　√　） × √ √ 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 下列图象中，符合y＝－ sin x在[0，2π]上的图象的是（　　） 解析： 　把y＝ sin x，x∈[0，2π]上的图象关于x轴对称，即可 得到y＝－ sin x，x∈[0，2π]上的图象，故选D. 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 点M 在函数y＝ sin x的图象上，则m＝ ⁠. 解析：由题意－m＝ sin ，∴－m＝1，∴m＝－1. －1　 目录 数学·必修第三册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 　　 题型一 “五点法”作正弦曲线 【例1】　用“五点法”作出下列函数的简图： （1）y＝－ sin x－1（0≤x≤2π）； 解： 找关键的五个点，列表如下： x 0 ​ π ​ 2π sin x 0 1 0 －1 0 － sin x 0 －1 0 1 0 － sin x－1 －1 －2 －1 0 －1 目录 数学·必修第三册（B版） 描点作图，如图： 目录 数学·必修第三册（B版） （2）y＝｜ sin x｜，x∈R. 解： 找关键的五个点，列表如下： x 0 ​ π ​ 2π sin x 0 1 0 －1 0 ｜ sin x｜ 0 1 0 1 0 描点并用光滑的曲线 将它们连接起来，通 过平移得到y＝｜ sin x｜，x∈R的图象，如图所示. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 用“五点法”作函数y＝A sin x＋B（A≠0）在[0，2π]上的简图的 步骤 （1）列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 y＝A sin x＋B B A＋B B －A＋B B 目录 数学·必修第三册（B版） （2）描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：（0，B）， ，（π，B）， ，（2π，B），这里的y 是通过函数式计算得到的； （3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进 行连接. 注意　作图时一定要找准这五个关键点，这是“五点法”作图 的关键所在. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 用“五点法”画出函数y＝2 sin x在区间[0，2π]上的图象. 解：按五个关键点列表如下： x 0 ​ π ​ 2π sin x 0 1 0 －1 0 2 sin x 0 2 0 －2 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示. 目录 数学·必修第三册（B版） 题型二 正弦函数图象的简单应用 【例2】　求函数y＝log3 的定义域. 解：要使函数有意义，则 sin x＞ ， 作出y＝ sin x在[0，2π]内的图象如 图所示. 由图象知，在[0，2π]内使 sin x＞ 的x的取值范围是 . 故原函数的定义域为 （k∈Z）. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 利用三角函数图象解 sin x＞a的三个步骤 （1）作出直线y＝a，y＝ sin x的图象； （2）确定 sin x＝a的x值； （3）确定 sin x＞a的解集. 注意　解三角不等式 sin x＞a，如果不限定范围时，一般先利 用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相 同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　当x＝[0，3π]时，设关于x的方程 sin x＋2｜ sin x｜＝m（m∈R） 的根的个数为n，那么n的取值构成的集合为 ⁠ （用列举法表示）. 解析：求方程的根的个数等价于求直线y＝m与y＝ sin x＋2｜ sin x｜，x∈[0，3π]的图象的交点个数，由题意得y＝ sin x＋2｜ sin x｜＝其图象如图所示， 由图可以看到交点的个数可能为0，2， 4，5，6.故n的取值构成的集合为{0，2，4，5，6}. {0，2，4，5，6}　 目录 数学·必修第三册（B版） 题型三 正弦曲线的对称性 【例3】　求函数y＝2 sin x＋1的图象的对称中心和对称轴. 解：由正弦函数的对称性可知z＝ sin x的对称中心为（kπ，0），k∈Z， 作出y＝2 sin x＋1的图象如图所示. 结合正弦函数的对称性可知y＝2 sin　x＋1的图象的对称中心是（kπ，1）（k∈Z），对称轴是直线x＝kπ＋ （k∈Z）. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 正弦函数y＝ sin x的对称性 　　对称中心：点（kπ，0）（k∈Z），对称轴：直线x＝kπ＋ （k∈Z），要明确两者的不同. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　（多选）函数y＝ sin x与y＝ sin （－x）的图象关于（　　） A. x轴对称 B. y轴对称 C. 直线y＝x对称 D. 直线x＝ 对称 解析：　　∵函数y＝f（x）与y＝f（－x）的图象关于y轴对称， ∴函数y＝ sin x与y＝ sin （－x）的图象关于y轴对称.∵函数y＝f （x）与y＝－f（x）的图象关于x轴对称，y＝ sin （－x）＝－ sin x，∴函数y＝ sin x与y＝ sin （－x）的图象关于x轴对称. 目录 数学·必修第三册（B版） 1. 以下对于正弦函数y＝ sin x的图象描述不正确的是（　　） A. 在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同 B. 关于x轴对称 C. 介于直线y＝1和y＝－1之间 D. 与y轴仅有一个交点 解析：　　　观察y＝ sin x图象可知A、C、D项正确，且关于原点中 心对称，故选B. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 已知a是实数，则函数f（x）＝1＋a sin ax的图象不可能是（　　） 解析：　　当a＝0时，f（x）＝1，选项C符合；当0＜｜a｜＜1时，T＞2π，f（x）的最大值小于2，选项A符合；当｜a｜＞1时，T＜2π，f（x）的最大值大于2，选项B符合.排除选项A、B、C，故选D. 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 函数y＝1－ sin x（x∈[0，2π]）的大致图象是（　　） 目录 数学·必修第三册（B版） 解析：　　用五点法作图时五个关键点是（0，1）， ， （π，1）， ，（2π，1），故只有选项B的图象符合. 目录 数学·必修第三册（B版） 4. y＝1＋ sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2的交点个数是 （　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析：B　由五点法作出函数y＝1＋ sin x，x∈[0，2π]的图象（如图所示），由图 可知其与直线y＝2只有1个交点. 目录 数学·必修第三册（B版） 5. 求方程 sin x＝lg x的解的个数. 解：建立平面直角坐标系xOy，先用五 点法画出函数y＝ sin x，x∈[0，2π]的 图象，再向右连续平移2π个单位，得到 y＝ sin x的图象. 描出点（1，0），（10，1），并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示. 由图象可知方程 sin x＝lg x的解有3个. 目录 数学·必修第三册（B版） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1. 用“五点法”作y＝2 sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐 标是（　　） A. 0， ，π， π，2π B. 0， ， ， π，π C. 0，π，2π，3π，4π D. 0， ， ， ， π 解析：　　由五点作图法，令2x＝0， ，π， π，2π，解得x＝ 0， ， ， π，π. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. （多选）下列函数图象相同的是（　　） A. y＝ sin x与y＝ sin （π－x） B. y＝ sin 与y＝ sin C. y＝ sin x与y＝ sin （－x） D. y＝ sin （2π＋x）与y＝ sin x 解析：　　　根据诱导公式，y＝ sin （π－x）＝ sin x，故A符合； y＝ sin （2π＋x）＝ sin x，故D符合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 函数y＝ sin ｜x｜的图象是（　　） 解析：　　因为函数y＝ sin ｜x｜是偶函数，且x≥0时， sin ｜ x｜＝ sin x.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 函数y＝ 的图象是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析：　　由y＝ ＝｜ sin x｜易知该函数为偶函数， 当 sin x≥0时，y＝ sin x，当 sin x＜0时，y＝－ sin x，作x≥0时y ＝ sin x的图象，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，再关于y轴对 称即作出y＝｜ sin x｜的图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 5. （多选）函数y＝ sin （π－x）－1的图象（　　） A. 关于直线x＝ 对称 B. 关于直线x＝π对称 C. 关于原点对称 D. 关于点（π，－1）对称 解析：　　由三角函数的诱导公式得y＝ sin （π－x）－1＝ sin x －1，所以函数y＝ sin （π－x）－1的图象关于直线x＝ 对称，关 于点（π，－1）对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 6. 下列各点：M（0，0），N ，P ，Q（π，－2） 在函数y＝2 sin x图象上的是 ⁠. 解析：将点的坐标代入可知符合条件的是点M与N. M，N　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 7. 用“五点法”作函数y＝2＋ sin x，x∈[0，2π]的图象时的五个点 分别是 ， ， ⁠ ， ， ⁠. 解析：可结合函数y＝ sin x的图象的五个关键点寻找，即把y＝ sin x的图象上五个关键点向上平移2个单位. （0，2）　 　 （π， 2）　 　 （2π，2）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 8. 在[0，2π]内，不等式 sin x＜－ 的解集是 　 　. 解析：画出y＝ sin x，x∈[0，2π]的图象如下： 因为 sin ＝ ，所以 sin ＝－ ， sin ＝－ . 即在[0，2π]内，满足 sin x＝－ 的是x＝ 或x＝ . 可知不等式 sin x＜－ 的解集是 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 9. 已知函数y＝ sin x（x∈[m，n]）的值域为 ，则n－m的 最大值为 ⁠. 解析：作出正弦函数y＝ sin x（x∈R）的图象， 如图所示，∵函数y＝ sin x的定义域为[m，n]， 值域为 ，又 sin ＝ sin ＝－ ， 结合图象可知n－m的最大值为 － ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 10. 用“五点法”作出函数y＝1－2 sin x，x∈[－π，π]的简图，并回 答下列问题： （1）观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间： ①y＞1；②y＜1. 解：按五个关键点列表 x －π － 0 ​ π sin x 0 －1 0 1 0 1－2 sin x 1 3 1 －1 1 描点连线得： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （1）由图象可知函数y＝1－2 sin x在y＝1上方的部分 y＞1，在y＝1下方的部分y＜1， 所以当x∈（－π，0）时，y＞1， 当x∈（0，π）时， y＜1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （2）若直线y＝a与y＝1－2 sin x有两个交点，求a的取值范围； 解：如图，当直线y＝a与y＝1－2 sin x有两个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1， 所以a的取值范围是{a｜1＜a＜3或－1＜a＜1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （3）求函数y＝1－2 sin x的最大值，最小值及相应的自变量 的值. 解：由图象可知ymax＝3， 此时x＝－ ； ymin＝－1，此时x＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 11. （多选）设函数f（x）＝ sin x，则下列结论正确的是（　　） A. f（x）的一个周期为－2π B. f（x）的图象关于直线x＝0对称 C. f（x）的图象关于点 对称 D. f（x）在区间 上单调递增 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析：　　函数f（x）＝ sin x的最小正周期为2π；对称轴方程 为x＝kπ＋ ，k∈Z；对称中心为（kπ，0），k∈Z；单调增区 间为［2kπ－ ，2kπ＋ ］，k∈Z. 则A正确，B错误，C错误， D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 12. 若 sin θ＝1－log2x，则实数x的取值范围是 ⁠. 解析：由正弦函数的图象，可知－1≤ sin θ≤1，所以－1≤1－ log2x≤1，整理得0≤log2x≤2，解得1≤x≤4. [1，4]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 13. （1）利用 sin （3π－x）＝ sin x，证明正弦曲线关于x＝ 对 称； 证明：　令f（x）＝ sin x，f（3π－x）＝ sin （3π－ x）＝ sin x， ∴f（3π－x）＝f（x），令t＝ －x，则x＝ －t， ∴f ＝f ， 即f ＝f ，∴f（x）＝ sin x关于x＝ 对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （2）利用 sin （2π－x）＝－ sin x，证明正弦曲线关于点（π， 0）对称. 证明：　　令f（x）＝ sin x.∴f（2π－x）＝ sin （2π－ x）＝－ sin x， ∴f（2π－x）＝－f（x），令t＝π－x，则x＝π－t， ∴f[2π－（π－t）]＝－f（π－t），即f（π＋t）＝－f（π －t）， ∴f（x）＝ sin x关于点（π，0）对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 14. 已知函数y＝2 sin x 的图象与直线y＝2围成一个封闭 的平面图形，那么此封闭图形的面积为（　　） A. 4 B. 8 解析：　　数形结合，如图所示，y＝ 2 sin x，x∈ 的图象与直线y＝ 2围成的封闭平面图形的面积相当于由 x＝ ，x＝ ，y＝0，y＝2围成的矩形面积，即S＝ ×2＝4π. C. 4π D. 2π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 15. 已知函数f（x）＝ sin x－2｜ sin x｜，x∈[0，2π]. （1）作出函数f（x）的图象，并写出f（x）的单调区间； 解：　　f（x）＝ 图象如图， 由图象可知f（x）的递增区间为［ ， π］，［ ，2π］；f（x）的递减区间为 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （2）讨论g（x）＝ sin x－2｜ sin x｜－k，x∈[0，2π]的零点 个数，并求此时k的取值范围. 解：　由图象可知： 当k＞0或k＜－3时，直线y＝k与函数f（x）有0个交点， 故g（x）没有零点； 当k＝－3时，直线y＝k与函数f（x）有1个交点，故g （x）有1个零点； 当－3＜k＜－1时，直线y＝k与函数f（x）有2个交点，故 g（x）有2个零点； 当k＝0或k＝－1时，直线y＝k与函数f（x）有3个交点， 故g（x）有3个零点； 当－1＜k＜0时，直线y＝k与函数f（x）有4个交点，故g （x）有4个零点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） $