7.3.1 第1课时 正弦函数的性质-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦正弦函数的性质，从潮汐、钟表等生活周期现象导入，通过问题引导学生观察波浪重复出现的特点，引出周期函数概念，进而系统讲解正弦函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等核心性质，搭建从生活现象到数学概念的学习支架。 其亮点在于以情境导入激发兴趣，结合数学抽象与逻辑推理，通过“通性通法”总结奇偶性判断、单调性比较等方法，如例3通过换元法求复合函数值域，培养学生数学思维。助力学生构建知识体系，教师可依托例题变式与分层练习提升教学实效。

7.3.1　正弦函数的性质与图象 新课程标准解读 核心素养 1.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义 域和值域、最小正周期、奇偶性、单调区间及 函数的零点 数学抽象、 数学运算 2.能正确使用“五点法”作出正弦函数的图象 逻辑推理、 直观想象 目录 数学·必修第三册（B版） 第一课时　正弦函数的性质 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片，思考波浪是怎样变化的？ 【问题】　（1）波浪每隔一段时间会重复出现，波浪是一种周期现 象吗？ （2）你还能举出生活中存在周期现象的例子吗？ 目录 数学·必修第三册（B版） 知识点一　函数的周期性 1. 周期函数：对于函数f（x），如果存在一个 ，使得 对定义域内的 x，都满足 ，那 么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 2. 最小正周期：对于一个 函数f（x），如果在它的 ⁠ 存在一个 ，那么这个 ⁠就叫 做它的最小正周期. 非零常数T　 每一个　 f（x＋T）＝f（x）　 周期　 所有 周期中　 最小的正数　 最小的正数　 目录 数学·必修第三册（B版） 【想一想】 1. 若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？ 提示：不一定唯一. 2. 对非零常数T，若存在x0，使f（x0＋T）＝f（x0），那么T是函 数的周期吗？为什么？ 提示：不是，必须对定义域内的每一个值成立. 目录 数学·必修第三册（B版） 　已知函数f（x）是定义域为R的周期函数，其最小正周期为2，且 当x∈[0，2]时，f（x）＝（x－1）2，则f（3）＝ ⁠. 解析：因为f（x）是周期为2的函数，所以f（3）＝f（3－2）＝f （1）＝0. 0　 目录 数学·必修第三册（B版） 知识点二　正弦函数的性质 1. 正弦函数的定义：对于任意一个角x，都有 确定的正弦 sin x与之对应，因此y＝ sin x是一个函数，一般称为 ⁠ ⁠. 2. 正弦函数的性质 唯一　 正弦函 数　 目录 数学·必修第三册（B版） 函数 y＝ sin x 定义域 ⁠ 值域 ⁠ 最值 当x＝ ＋2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； 当x＝ ＋2kπ（k∈Z）时，ymin＝－1 奇偶性 ⁠函数 R [－1，1] 奇　 目录 数学·必修第三册（B版） 函数 y＝ sin x 周期性 最小正周期： ⁠ 单调性 在 （k∈Z）上递增； 在 （k∈Z）上递减 零点 kπ（k∈Z） 2π　 　 　 目录 数学·必修第三册（B版） 提醒　正弦函数单调性的说明：①正弦函数在定义域R上不是单调函 数，但存在单调区间；②求解（或判断）正弦函数的单调区间（或单 调性）是求值域（或最值）的关键一步；③确定含有正弦函数的较复 杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断. 目录 数学·必修第三册（B版） 【想一想】 1. －2π是正弦函数的周期吗？ 提示：是.2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期. 2. 正弦函数的零点是点吗？若不是，是什么？ 提示：不是，是实数kπ，k∈Z. 目录 数学·必修第三册（B版） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）正弦函数在其定义域上是单调的. （　×　） （2）由于 sin ＝ sin ，则 是正弦函数y＝ sin x 的一个周 期. （　×　） （3）函数f（x）＝ sin 3x是奇函数. （　√　） × × √ 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 函数f（x）＝3＋ sin x的最小正周期是（　　） A. B. π C. D. 2π 3. 函数y＝1－2 sin x的最小值，最大值分别是（　　） A. －1，3 B. －1，1 C. 0，3 D. 0，1 解析： 　∵x∈R，∴ sin x∈[－1，1]，∴当 sin x＝1时，ymin＝ －1；当 sin x＝－1时，ymax＝3.故选A. 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 函数y＝－ sin x＋1的值域为 ，单调递增区间 为 ⁠. 解析：∵函数y＝ sin x的值域为[－1，1]，∴函数y＝－ sin x＋1 的值域为[0，2].由函数y＝ sin x在区间 （k∈Z）上单调递减，知函数y＝－ sin x＋1的单调递增区间为 ［2kπ＋ ，2kπ＋ ］（k∈Z）. [0，2]　 （k∈Z）　 目录 数学·必修第三册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 正弦函数的奇偶性与周期性 【例1】　（1）判断函数f（x）＝ cos ＋x2 sin x的奇偶性； 解： f（x）＝ sin 2x＋x2 sin x. ∵x∈R，f（－x）＝ sin （－2x）＋（－x）2 sin （－x） ＝－ sin 2x－x2 sin x＝－f（x）， ∴f（x）是奇函数. 目录 数学·必修第三册（B版） （2）如果 sin ＝ sin ，那么 是否为函数y＝ sin x的一个 周期？ 解： 在函数周期性的定义中，要求对定义域中的每一个x 值都有f（x＋T）＝f（x）成立，对于个别的x0，虽说满足f （x0＋T）＝f（x0），但不能说T是函数f（x）的周期.如 sin （0＋ ）＝ sin ＝1，而 sin 0＝0，故 sin （0＋ ）≠ sin 0，所 以 不是函数y＝ sin x的一个周期. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 1. 判断正弦函数奇偶性的方法 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 判断正弦函数周期性的方法 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. 下列函数中，最小正周期为π的是（　　） A. y＝ sin x B. y＝｜ sin x｜ C. y＝x D. y＝ln x 解析： 　A选项，函数的最小正周期为2π，所以该选项错误；B 选项，根据函数的图象得函数的最小正周期为π，所以该选项正 确；C、D选项中的函数不存在周期，所以C、D选项都错误. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 已知函数f（x）＝ax3＋ sin x＋2（a≠0），若f（b）＝3，求f （－b）的值. 解：设g（x）＝f（x）－2，则g（x）＝ax3＋ sin x. 则对任意x∈R，都有g（－x）＝a（－x）3＋ sin （－x）＝－ ax3－ sin x＝－（ax3＋ sin x）＝－g（x）， ∴函数g（x）是奇函数. ∴g（－b）＝－g（b），即f（－b）－2＝g（－b）＝－g （b）＝－[f（b）－2]， ∴f（－b）＝－f（b）＋4＝－3＋4＝1. 目录 数学·必修第三册（B版） 题型二 正弦函数的单调性及应用 【例2】　比较大小： （1） sin 250°与 sin 260°； 解： sin 250°＝ sin （180°＋70°）＝－ sin 70°， sin 260°＝ sin （180°＋80°）＝－ sin 80°， 因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y＝ sin x，x∈[0°， 90°]是增函数，所以 sin 70°＜ sin 80°， 所以－ sin 70°＞－ sin 80°，即 sin 250°＞ sin 260°. 目录 数学·必修第三册（B版） （2） sin 与 sin . 解： sin ＝－ sin ＝－ sin ＝－ sin （π－ ） ＝－ sin ， sin ＝－ sin ＝－ sin . 因为0＜ ＜ ＜ ，且函数y＝ sin x，x∈ 是增函数， 所以 sin ＜ sin ，－ sin ＞－ sin ， 即 sin ＜ sin . 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 1. 利用正弦函数的单调性比较大小的方法 （1）同名函数：比较 sin α与 sin β的大小，若α，β在函数y＝ sin x的同一单调区间内，则直接由单调性得大小；若α，β 不在同一单调区间内，则要把它们转化到同一个单调区间来 讨论； （2）异名函数：比较 sin α与 cos β的大小，应先把 cos β转化成 sin ，再依据正弦函数的单调性进行比较. 2. 求正弦函数与其他函数复合而成的函数的单调区间时，要注意使用 复合函数的“同增异减”来判断，同时要注意函数的定义域，单调 区间是在定义域范围内求解，与定义域取交集. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　比较大小： sin 196° 　 　 cos 156°. 解析： sin 196°＝ sin （180°＋16°）＝－ sin 16°， cos 156°＝ cos （180°－24°）＝－ cos 24°＝－ sin 66°.∵0°＜16°＜66° ＜90°，且y＝ sin x在[0°，90°]内递增，∴ sin 16°＜ sin 66°， ∴－ sin 16°＞－ sin 66°，即 sin 196°＞ cos 156°. ＞ 目录 数学·必修第三册（B版） 题型三 正弦函数的值域与最值问题 【例3】　求函数y＝1－2 sin 2x＋ sin x的值域. 解：y＝1－2 sin 2x＋ sin x，令 sin x＝t，则－1≤t≤1， y＝－2t2＋t＋1＝－2 ＋ . 由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图象可知－2≤y≤ ， 即函数y＝1－2 sin 2x＋ sin x的值域为 . 目录 数学·必修第三册（B版） 【母题探究】 　（变条件）本例条件变为“函数y＝｜ sin x｜＋ sin x”，问题不 变. 解：当 sin x≥0时，｜ sin x｜＝ sin x；当 sin x＜0时，｜ sin x｜＝－ sin x，∴原解析式可化为y＝由－1≤ sin x≤1，可 知0≤y≤2，∴函数y＝｜ sin x｜＋ sin x的值域为[0，2]. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 利用正弦函数值域求复合函数值域、最值的常用方法 （1）求解形如y＝a sin x＋b的函数的最值或值域问题，利用正弦函 数的有界性（－1≤ sin x≤1）求解，此时有－｜a｜＋ b≤y≤｜a｜＋b.求三角函数取得最值时相应的自变量x的集 合时，要注意考虑三角函数的周期性； （2）求解形如y＝a sin 2x＋b sin x＋c，x∈D的函数的值域或最值 时，通过换元，令t＝ sin x，将所给三角函数转化为二次函数， 再利用配方法求值域或最值即可.这里应当注意换元之后变量的 范围一般会随之改变，求解过程中要注意t＝ sin x的有界性. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. y＝a sin x＋b（a＞0）的最大值为3，最小值为－1，则ab ＝ ⁠. 解析：因为－1≤ sin x≤1，且a＞0，则解得b＝1， a＝2，所以ab＝2. 2　 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 设｜x｜≤ ，求函数f（x）＝ cos 2x＋ sin x的最小值. 解：f（x）＝ cos 2x＋ sin x＝1－ sin 2x＋ sin x＝－ ＋ . ∵｜x｜≤ ，∴－ ≤ sin x≤ ， ∴当 sin x＝－ 时，f（x）取得最小值，最小值为 . 目录 数学·必修第三册（B版） 1. 函数y＝4 sin （2x－π）的图象关于（　　） A. x轴对称 B. 原点对称 C. y轴对称 D. 直线x＝ 对称 解析： 　y＝4 sin （2x－π）＝－4 sin 2x是奇函数，其图象关于 原点对称. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 函数y＝9－ sin x的单调递增区间是（　　） A. （k∈Z） B. （k∈Z） C. [2kπ，2kπ＋π]（k∈Z） D. [2kπ－π，2kπ]（k∈Z） 解析： 　y＝9－ sin x的单调递增区间与y＝ sin x的单调递减区间 相同. 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 设函数f（x）＝ （a≠0），若f（－2 025）＝2，则f（2 025）＝（　　） A. 2 B. －2 C. 2 023 D. －2 023 解析： 　f（x）＝ （a≠0），f（－x）＝ ＝－f （x），f（x）为奇函数，f（2 025）＝－f（－2 025）＝－2，故 选B. 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 函数f（x）＝ sin x－1的最小值为 ⁠. 解析：当x＝2kπ－ ，k∈Z时， sin x取得最小值－1，所以f （x）＝ sin x－1取得最小值－2. －2　 目录 数学·必修第三册（B版） 5. 设函数f（x）＝ ，请指出函数y＝f（x）的定义域、周期性和 奇偶性. 解：∵函数f（x）＝ ，∴ sin x≠0，∴x≠kπ，k∈Z，故函数 f（x）的定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}. 显然，f（x）的周期即y＝ sin x的周期2π. ∵f（－x）＝ ＝－ ＝－f（x），∴f（x）为奇函数. 目录 数学·必修第三册（B版） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 函数f（x）＝ 是（　　） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数 解析： 　函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关 于原点对称，且f（－x）＝f（x），故f（x）为偶函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 函数y＝－2 sin x＋5，x∈ 的值域是（　　） A. [3，7] B. [5，7] C. [－7，5] D. [3，5] 解析： 　当0≤x≤ 时，0≤ sin x≤1，∴3≤－2 sin x＋5≤5.故 选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 函数y＝－ sin x－7的单调递减区间是（　　） A. [2kπ，2kπ＋π]（k∈Z） B. [2kπ－π，2kπ]（k∈Z） C. （k∈Z） D. （k∈Z） 解析： 　y＝－ sin x－7的单调递减区间与y＝ sin x的单调递增区 间相同. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 4. y＝ 的最小值是（　　） A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 解析： 　由y＝ ＝2－ ，当 sin x＝－1时，y＝ 取得最小值－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 5. 已知a∈R，函数f（x）＝ sin x－｜a｜，x∈R为奇函数，则a等 于（　　） A. 0 B. 1 C. －1 D. ±1 解析： 　法一　易知y＝ sin x在R上为奇函数， ∴f（0）＝0，∴a＝0. 法二　∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），即 sin （－x） －｜a｜＝－ sin x＋｜a｜，－ sin x－｜a｜＝－ sin x＋｜a｜.∴｜ a｜＝0，即a＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 6. （多选）已知函数f（x）＝2a sin x＋a＋b的定义域是 ，值 域为[－5，－1]，则a，b的值为（　　） A. a＝2，b＝－7 B. a＝－2，b＝2 C. a＝－2，b＝1 D. a＝1，b＝－2 解析： 　当a＞0时，由条件知∴当a ＜0时，由条件知∴故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 7. 函数f（x）＝ sin 2x＋1的奇偶性是 ⁠. 解析：f（－x）＝[ sin （－x）]2＋1＝ sin 2x＋1＝f（x），所以 f（x）为偶函数. 偶函数　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 8. sin sin （填“＞”“＜”或“＝”）. 解析：因为－ ＞－ ，且y＝ sin x在 内为增函数，所 以 sin ＞ sin . ＞　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 9. 函数y＝ 的最大值为 　 　，最小值为 ⁠. 解析：由题意知，x∈R，y＝ ＝ ＝3－ .∵－1≤ sin x≤1，∴1≤ sin x＋2≤3，即 ≤ ≤1， ∴－2≤y≤ ，即函数y＝ 的最大值为 ，最小值为－2. 　 －2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解：当x∈ 时，3π－x∈ ， ∵当x∈ 时，f（x）＝1－ sin x， ∴f（3π－x）＝1－ sin （3π－x）＝1－ sin x. 又∵f（x）是以π为周期的偶函数， ∴f（3π－x）＝f（－x）＝f（x）. ∴f（x）的解析式为f（x）＝1－ sin x，x∈ . 10. 已知f（x）是以π为周期的偶函数，且x∈ 时， f（x） ＝1－ sin x，求当x∈ 时，f（x）的解析式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 11. 已知α，β∈ ，且 cos α＞ sin β，则α＋β与 的大小 关系为（　　） A. α＋β≥ B. α＋β＞ C. α＋β≤ D. α＋β＜ 解析： 　∵α，β∈ ，∴ －α∈ .∵ cos α＞ sin β，∴ sin ＞ sin β.∵y＝ sin x在 上是增函数，∴ －α＞β，即α＋β＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 12. （多选）下列说法正确的是（　　） A. y＝｜ sin x｜的定义域为R B. y＝3 sin x＋1的最小值为1 C. y＝－ sin x为奇函数 D. y＝ sin x－1的单调递增区间为［2kπ＋ ，2kπ＋ ］（k∈Z） 解析： 　选项A、C正确.对于B，y＝3 sin x＋1的最小值为－3 ＋1＝－2；对于D，y＝ sin x－1的单调递增区间为 ，k∈Z. 故B、D不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 13. 函数y＝a sin x＋1的最大值为1－a，最小值为－3. （1）求实数a的值； 解： ∵ymax＝1－a，∴a＜0， 故ymin＝1＋a＝－3，∴a＝－4，∴y＝－4 sin x＋1. （2）求该函数的单调递增区间； 解： 当 ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z时，函数y＝－ 4 sin x＋1递增， ∴y＝－4 sin x＋1的递增区间为 （k∈Z）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （3）若x∈[－π，π]，求该函数的递增区间. 解： ∵x∈[－π，π]， （k∈Z） ∩[－π，π]＝ ∪ . ∴当x∈[－π，π]时，y＝－4 sin x＋1的递增区间为 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 14. 函数y＝ 的定义域是 ，单 调递减区间是 ⁠. 解析：由－2 sin x≥0，得 sin x≤0，∴2kπ－π≤x≤2kπ （k∈Z），即函数的定义域是[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）.∵y＝ 与y＝ sin x的单调性相反，∴函数的单调递减区间为 ［2kπ－ ，2kπ］（k∈Z）. [2kπ－π，2kπ]（k∈Z）　 ［2kπ－ ，2kπ］（k∈Z）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 15. 设函数f（x）＝ . （1）请指出函数y＝f（x）的定义域、周期性和奇偶性；（不必 证明） 解： ∵函数f（x）＝ ， ∴ sin x≠0，x≠kπ，k∈Z， 故函数的定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}. 显然，f（x）的周期，即y＝ sin x的周期为2π. 由于满足f（－x）＝ ＝－ ＝－f（x），故f （x）为奇函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （2）请以正弦函数y＝ sin x的性质为依据，并运用函数单调性的 定义证明：y＝f（x）在区间 上单调递减. 解： 证明：正弦函数y＝ sin x在区间 上单调递 增，设0＜x1＜x2＜ ，则0＜ sin x1＜ sin x2＜1， ∴f（x1）＝ ＞ ＝f（x2）， 即f（x1）＞f（x2）， 因此，y＝f（x）在区间 上单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） $