7.2.4 第2课时 诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧，通过“奇变偶不变，符号看象限”口诀情境导入，结合“想一想”问题（如角π/2 - α与α终边对称关系），搭建从已有三角函数知识到新公式的学习支架。 其亮点在于通过自我诊断、分层例题（求值、化简、综合应用）及通性通法总结，培养数学思维（推理、运算）和应用意识。如例1将239°转化为270°-31°化简求值，提升学生解题逻辑，教师可借助系统资源高效教学。

第二课时　 诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧ 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　同学们听了老师的记忆口诀后，更是摸不着头脑，老师随后做了 解释，同学们脑洞大开，都拍手叫绝. 【问题】　你知道“奇变偶不变，符号看象限”的含义吗？ 目录 数学·必修第三册（B版） 知识点　诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧ 1. 诱导公式⑤ sin ＝ ； cos ＝ ⁠. 2. 诱导公式⑥ sin ＝ ； cos ＝ ⁠. cos α　 sin α　 cos α　 － sin α　 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 诱导公式⑧ sin ＝ ； cos ＝ ⁠. － cos α　 － sin α　 3. 诱导公式⑦ sin ＝ ； cos ＝ ⁠. － cos α　 sin α　 目录 数学·必修第三册（B版） 【想一想】 1. 角 －α与角α的终边有什么样的位置关系？ 提示：如图，角 －α与角α的终边关于y＝x对称. 2. 点P1（a，b）关于y＝x对称的对称点坐标是什么？ 提示：点P1（a，b）关于y＝x对称的对称点坐标是P2（b，a）. 目录 数学·必修第三册（B版） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧中的角α只能是锐角. （　×　） （2） sin ＝ cos α. （　×　） （3）若α为第二象限角，则 sin ＝ cos α. （　√　） （4） cos ＝－ sin α. （　√　） × × √ √ 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 已知 sin （ ＋θ）－3 cos （θ－ ）＝0，则tan θ＝ 　－ 　. 解析：由 sin －3 cos ＝0，可得－ cos θ－3 sin θ ＝0，tan θ＝－ . 3. 已知 sin ＝ ，那么 cos α＝ 　 　. － 　 　 目录 数学·必修第三册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 　　题型一 利用诱导公式求值 【例1】　（1）已知 cos 31°＝m，则 sin 239°tan 149°＝ （　B　） A. B. C. － D. － 解析： sin 239°tan 149°＝ sin （270°－31°）·tan （180°－31°）＝－ cos 31°·（－tan 31°）＝ sin 31°＝ ＝ . B 目录 数学·必修第三册（B版） （2）已知 cos （π＋α）＝－ ，α为第一象限角，则 cos ＝ ⁠； 解析： 因为 cos （π＋α）＝－ cos α＝－ ，所以 cos α ＝ ，又α为第一象限角，则 cos ＝－ sin α＝－ ＝－ ＝－ . － 　 目录 数学·必修第三册（B版） （3）已知 sin ＝ ，则 cos ＝ 　 　. 解析： cos ＝ cos ＝ sin ＝ . 　 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 解决化简求值问题的策略 （1）对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原 则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函 数名称转化，以保证三角函数名称最少； （2）对于kπ±α和 ±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不 变名，而后一套公式必须变名. 注意　常见的互余关系有： －α与 ＋α， ＋α与 －α 等；常见的互补关系有： ＋θ与 －θ， ＋θ与 －θ等. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　已知 sin ＝ ，则 cos 的值为（　　） A. B. － C. D. － 解析： 　∵ ＋α－ ＝ ，∴ cos ＝ sin ＝ sin ＝－ sin ＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） 题型二 利用诱导公式化简 【例2】　化简： － . 目录 数学·必修第三册（B版） 解：∵ sin （4π－α）＝ sin （－α）＝－ sin α， cos ＝ cos ＝ cos ＝－ sin α， sin ＝ sin ＝－ sin ＝－ cos α， tan（5π－α）＝tan（π－α）＝－tan α， sin （3π－α）＝ sin （π－α）＝ sin α， ∴原式＝ － ＝－ ＋ ＝ ＝ ＝1. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 用诱导公式进行化简时的注意点 （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母尽量不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 化简：（1） sin cos ； 解： 原式＝ · sin ［－（ －α）］（－ sinα） ＝ · （－ sin α） ＝ ·（－ cos α）（－ sin α） ＝－ cos 2α. 目录 数学·必修第三册（B版） （2） sin （－α－5π） cos － sin cos （α－2π）. 解： 原式＝ sin （－α－π） cos － sin ［π＋ （ ＋α）］· cos [－（2π－α）] ＝ sin [－（α＋π）] cos ＋ sin cos （2π－α） ＝－ sin （α＋π） sin α＋ cos α cos α ＝ sin 2α＋ cos 2α ＝1. 目录 数学·必修第三册（B版） 题型三 诱导公式的综合应用 【例3】　已知f（α）＝ . （1）化简f（α）； 解： f（α）＝ ＝ ＝－ sin α. 目录 数学·必修第三册（B版） （2）若 cos ＝－ ，求f（α）的值. 解： 因为 cos ＝－ ， 即 cos ＝ cos ＝ cos ＝ sin α＝－ ，即 sin α＝－ ， 由（1）知f（α）＝－ sin α＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 【母题探究】 （变结论）本例的条件不变，若 cos （3π－α）＝ ，求 f 的值. 解：由 cos （3π－α）＝ 可得 cos α＝－ ，由本例可知f ＝－ sin ＝－ sin ［8π－（ －α）］＝ sin ＝ cos α ＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 诱导公式综合应用要“三看” 　　一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减 分析两角的关系； 　　二看函数名称：一般是弦切互化； 　　三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分 子分母同乘一个式子变形. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 已知角α为第二象限的角，且其终边与单位圆交于点P ，试 求 的值. 目录 数学·必修第三册（B版） 解：由题意知m2＋ ＝1，解得m2＝ ， 因为α为第二象限角，故m＜0， 所以m＝－ ，所以 sin α＝ ， cos α＝－ . 原式＝ ＝ ＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） 1. sin 95°＋ cos 175°＝（　　） A. sin 5° B. cos 5° C. 0 D. 2 sin 5° 解析： 　原式＝ sin （90°＋5°）＋ cos （180°－5°）＝ cos 5°－ cos 5°＝0.故选C. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 化简： sin ＝（　　） A. sin x B. cos x C. － sin x D. － cos x 解析： 　 sin ＝ sin ＝ sin ＝ cos x. 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 已知 sin ＝ ，则 sin ＋ cos ＝ 　 　. 解析： sin ＝ sin ＝ sin （x＋ ）＝ ， cos ＝ cos ＝ sin （x＋ ）＝ ，则 sin ＋ cos ＝ . 　 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 化简： ＝ ⁠. 解析：原式＝ ＝ ＝ － sin θ. － sin θ　 目录 数学·必修第三册（B版） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知 sin （75°＋α）＝ ，则 cos （15°－α）的值为（　　） A. － B. C. － D. 解析： 　∵（75°＋α）＋（15°－α）＝90°，∴ cos （15° －α）＝ cos [90°－（75°＋α）]＝ sin （75°＋α）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 已知 sin ＝ ，α∈ ，则tan α的值为（　　） A. －2 B. 2 C. － D. 解析： 由已知得 cos α＝ ，又α∈ ，所以 sin α＝ － ＝－ ＝－ .因此，tan α＝ ＝－2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 若 sin （180°＋α）＋ cos （90°＋α）＝－a，则 cos （270° －α）＋2 sin （360°－α）的值是（　　） A. － a B. － a C. a D. a 解析： 　由条件得－ sin α－ sin α＝－a，故 sin α＝ ，原式 ＝－ sin α－2 sin α＝－3 sin α＝－ a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 已知f（ sin x）＝ cos 3x，则f（ cos 10°）的值为（　　） A. － B. C. － D. 解析： 　f（ cos 10°）＝f（ sin 80°）＝ cos 240°＝ cos （270°－30°）＝－ sin 30°＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 5. （多选）已知f（x）＝ sin x＋ cos x，则下列结论不正确的是 （　　） A. f（x＋π）＝ sin x＋ cos x B. f（π－x）＝ sin x＋ cos x C. f ＝ sin x＋ cos x D. f ＝ sin x＋ cos x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　f（x＋π）＝ sin （x＋π）＋ cos （x＋π）＝－ sin x － cos x，f（π－x）＝ sin （π－x）＋ cos （π－x）＝ sin x－ cos x，f（x＋ ）＝ sin （x＋ ）＋ cos （x＋ ）＝ cos x－ sin x，f （ －x）＝ sin （ －x）＋ cos ＝ cos x＋ sin x，故选A、 B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 6. 若角α的终边在第二象限，则下列三角函数中值大于零的是（　　） A. sin B. cos C. sin （π＋α） D. cos （π＋α） 解析： 　由角α的终边在第二象限，可知 sin α＞0， cos α＜ 0，对于A， sin ＝ cos α＜0，错误；对于B， cos ＝－ sin α＜0，错误；对于C， sin （π＋α）＝－ sin α＜0，错 误；对于D， cos （π＋α）＝－ cos α＞0，正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 7. 化简： sin （－α－7π）· cos ＝ ⁠. 解析：原式＝－ sin （7π＋α）· cos ＝－ sin （π＋ α）· ＝ sin α·（－ sin α）＝－ sin 2α. － sin 2α　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 8. 已知 sin （ ＋θ）＋2 sin （ －θ）＝0，则tan（ ＋θ） ＝ ⁠. 解析：∵ sin ＋2 sin ＝0，∴ sin （ ＋θ）＝2 sin ＝2 sin ［ － ］＝2 cos （ ＋θ）， ∴tan ＝2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 9. 已知 sin cos ＝ ，且0＜α＜ ，则 sin α ＝ 　 　， cos α＝ 　 　. 解析： sin cos ＝－ cos α·（－ sin α）＝ sin α cos α＝ ，由0＜α＜ ，可得0＜ sin α＜ cos α，联立，得 得 sin α＝ ， cos α＝ . 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 10. 化简： ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解：因为 sin ＝ cos α， cos ＝ sin α， cos （π＋α）＝－ cos α， sin （π－α）＝ sin α， cos ＝－ sin α， sin （π＋α）＝－ sin α， 所以原式＝ ＋ ＝－ sin α＋ sin α＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 11. 已知α为锐角，且2tan（π－α）－3 cos ＋5＝0，tan（π＋ α）＋6 sin （π＋β）－1＝0，则 sin α＝（　　） A. B. 解析： 　由已知得消去 sin β，得tan α＝3，∴ sin α＝3 cos α，代入 sin 2α＋ cos 2α＝1，化简得 sin 2α＝ ，则 sin α＝ （α为锐角）. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 12. （多选）下列结论正确的是（　　） A. sin （π＋α）＝－ sin α成立的条件是角α是锐角 B. 若 cos （nπ－α）＝ （n∈Z），则 cos α＝ C. 若α≠ （k∈Z），则tan ＝－ D. △ABC中， sin ＝ cos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　由诱导公式知α∈R时， sin （π＋α）＝－ sin α， 所以A错误；当n＝2k（k∈Z）时， cos （nπ－α）＝ cos （－ α）＝ cos α，此时 cos α＝ ，当n＝2k＋1（k∈Z）时， cos （nπ－α）＝ cos [（2k＋1）π－α]＝ cos （π－α）＝－ cos α，此时 cos α＝－ ，所以B错误；若α≠ （k∈Z），则 tan ＝ ＝ ＝－ ，所以C正确； 因为在△ABC中，B＋C＝π－A，所以 sin ＝ sin ＝ cos ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 13. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一半径为1的圆的圆心的初 始位置在点（0，1）处，此时圆上一点P的位置在点（0，0） 处，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于点（2，1）时， 求P的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解：如图所示，由题意知 ＝OB＝2. ∵圆的半径为1，∴∠BAP＝2， 故∠DAP＝2－ ， ∴DA＝AP cos ＝ sin 2， DP＝AP sin ＝－ cos 2. ∴OC＝2－ sin 2，PC＝1－ cos 2. ∴点P的坐标为（2－ sin 2，1－ cos 2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 14. 已知f（α）＝ ，则f（α）＝ ⁠， f 的值为 　 　. 解析：f（α）＝ ＝ cos α，∴f（－ ）＝ cos ＝ cos ＝ cos （8π＋ ）＝ cos ＝ . cos α　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 15. 在①tan（π＋α）＝2；② sin （π－α）－ sin ＝ cos （－ α）；③2 sin ＝ cos ，这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中，并解决该问题. 问题：已知 　　. （1）求 的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （1） ＝ ＝ ＝ ＝8. 解：若选①，则tan（π＋α）＝2，即tan α＝2； 若选②，则 sin （π－α）－ sin ＝ cos （－α），即 sin α－ cos α＝ cos α， 即 sin α＝2 cos α，tan α＝2； 若选③，2 sin ＝ cos ，即2 cos α＝ sin α， tan α＝2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （2）当α为第三象限角时，求 sin （－α）－ cos （π＋α）－ cos sin 的值. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解：当α为第三象限角时，tan α＝ ＝2， 即 sin α＝2 cos α， 又∵ sin 2α＋ cos 2α＝1，即（2 cos α）2＋ cos 2α＝1，解 得 cos α＝－ ， sin α＝－ ＝－ ＝－ ， sin （－α）－ cos （π＋α）－ cos sin ＝－ sin α＋ cos α＋ sin α cos α＝－ － ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） $