7.2.4 第1课时 诱导公式①、②、③、④-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦诱导公式①、②、③、④，通过南京眼、生命之环的对称美情境导入，联系单位圆对称性，引导学生探究角α与π±α、-α的终边关系，搭建从几何直观到公式推导的学习支架。 其亮点在于以逻辑推理为核心，借助单位圆对称推导公式，结合“函数名不变，符号看象限”口诀及“负化正、大化小、小化锐、锐求值”通性通法，强化数学运算。例题分层且含变式训练，助力学生深化理解，教师可直接用于教学，提升效率。

7.2.4　诱导公式 新课程标准解读 核心素养 1.能借助对称，会推导三角函数的诱 导公式 逻辑推理 2.会用诱导公式进行简单的三角求 值、化简与恒等式的证明 数学运算 目录 数学·必修第三册（B版） 第一课时　 诱导公式①、②、③、④ 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现了自己的和谐之 美.而三角函数与（单位）圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几 何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某 些线段之间的关系.圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对 称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形. 目录 数学·必修第三册（B版） 【问题】　你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终 边与π±α，－α有什么样的对称关系？ 目录 数学·必修第三册（B版） 知识点　诱导公式①、②、③、④ 公式 公式① 公式② 公式③ 公式④ 角 α＋2kπ （k∈Z） －α π－α π＋α 图示 与角α终边 的关系 相同 关于 ⁠ 轴对称 关于 ⁠ 轴对称 关于 ⁠ ⁠对称 x　 y　 原 点　 目录 数学·必修第三册（B版） 公式 公式① 公式② 公式③ 公式④ 正弦 sin （α＋2kπ） ＝ ⁠ （k∈Z） sin （－α） ＝ ⁠ sin （π－ α）＝ ⁠ sin （π＋ α）＝ ⁠ 余弦 cos （α＋ 2kπ）＝ ⁠ ⁠ （k∈Z） cos （－α） ＝ ⁠ cos （π－ α）＝ ⁠ cos （π＋ α）＝ ⁠ sin α － sin α sin α － sin α cosα cosα － cos α　 － cos α 目录 数学·必修第三册（B版） 公式 公式① 公式② 公式③ 公式④ 正切 tan（α＋ 2kπ）＝ ⁠ k∈Z） tan（－α） ＝ ⁠⁠ tan（π－ α）＝ ⁠ tan（π＋ α） ＝ ⁠ 记忆口诀 函数名不变，符号看象限 tan α －tanα － tan α tan α 目录 数学·必修第三册（B版） 提醒　诱导公式的记忆：诱导公式①、②、③、④的记忆口诀是“函 数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致， 符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成 锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角. 目录 数学·必修第三册（B版） 【想一想】 1. 根据三角函数的诱导公式①，终边相同的角的同名三角函数值有何 关系？ 提示：终边相同的角，其同名三角函数的值相等. 2. 角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的 交点P2（ cos （－α）， sin （－α））与点P（ cos α， sin α） 有怎样的关系？ 提示：角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x 轴对称. 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆 的交点P3（ cos （π－α）， sin （π－α））与点P（ cos α， sin α）有怎样的关系？ 提示：角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y 轴对称. 目录 数学·必修第三册（B版） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）点P（x，y）关于x轴的对称点是P'（－x，y）. （　×　） （2）诱导公式中的符号是由角α的象限决定的. （　×　） （3）诱导公式①、②、③、④中函数的名称都不变. （　√　） （4）公式tan（α－π）＝tan α中，α＝ 不成立. （　√　） × × √ √ 目录 数学·必修第三册（B版） 2. cos 等于（　　） A. B. C. － D. － 解析： 　 cos ＝ cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 已知tan α＝ ，则tan（2π－α）＝（　　） A. － B. C. － D. 解析： 　∵tan α＝ ，∴tan（2π－α）＝－tan α＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） 4. sin 300°的值为 ⁠. 解析： sin 300°＝ sin （360°－60°）＝ sin （－60°）＝－ sin 60°＝－ . － 　 目录 数学·必修第三册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 给角求值问题 【例1】　求下列各三角函数式的值： （1） cos 210°； 解： cos 210°＝ cos （180°＋30°）＝－ cos 30°＝－ . 解： sin ＝ sin ＝ sin ＝ sin ＝ sin ＝ . （2） sin ； 目录 数学·必修第三册（B版） 解： sin ＝－ sin ＝－ sin ＝－ sin ＝ sin ＝ . 解： tan（－855°）＝－tan 855°＝－tan（2×360°＋ 135°）＝－tan 135°＝－tan（180°－45°）＝tan 45°＝1. （3） sin ； （4）tan（－855°）. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式②或③来转化； （2）“大化小”：用公式①将角化为0°到360°间的角； （3）“小化锐”：用公式②或④将大于90°的角转化为锐角； （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 （1） sin 750°＝ 　 　； cos （－2 040°）＝ 　－ 　； 解析： sin 750°＝ sin （2×360°＋30°）＝ sin 30°＝ ； cos （－2 040°）＝ cos 2 040°＝ cos （5×360°＋ 240°）＝ cos 240°＝ cos （180°＋60°）＝－ cos 60°＝－ . 　 － 　 目录 数学·必修第三册（B版） （2）计算： sin － cos ＝ ⁠. 解析： 原式＝－ sin － cos ＝－ sin （4π＋π＋ ）－ cos ＝ sin ＋ cos ＝ ＋ ＝1. 1　 目录 数学·必修第三册（B版） 题型二 化简、求值问题 【例2】　化简： （1） ； 解： 原式＝ ＝ ＝ ＝1. 目录 数学·必修第三册（B版） （2） . 解： 原式＝ ＝ ＝ ＝－1. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 　　利用诱导公式①～④化简应注意的问题 （1）利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； （2）化简时函数名没有改变，但一定要注意函数值的符号有没有 改变； （3）同时有切（正切）与弦（正弦、余弦）的式子化简，一般采用 切化弦，有时也将弦化切. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 化简： （n∈Z）. 解：当n＝2k时，原式＝ ＝1； 当n＝2k＋1时，原式＝ ＝1. 综上，原式＝1. 目录 数学·必修第三册（B版） 题型三 给值（式）求值问题 【例3】　已知 cos ＝ ，求： （1） cos 的值； 解： cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ . （2） cos 的值. 解： cos ＝ cos ＝ cos ＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 【母题探究】 1. （变设问）在本例条件下，求 sin 2 的值. 解： sin 2 ＝ sin 2 ＝ sin 2 ＝1－ cos 2 ＝1－ ＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 2. （变条件）若将本例中条件“ cos ＝ ”改为“ sin ＝ ，α∈ ”，如何求得（1）的值？ 解：因为α∈ ，则α－ ∈ . 所以 cos ＝－ cos ＝－ cos ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 解决条件求值问题的2技巧 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. 若 sin （π＋α）＝ ，α∈ ，则tan（π－α）＝（　　） A. － B. － C. － D. － 解析： 　因为 sin （π＋α）＝－ sin α，根据条件得 sin α＝－ ，又α∈ ，所以 cos α＝－ ＝－ .所以tan α＝ ＝ ＝ .所以tan（π－α）＝－tan α＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 已知 sin ＝－ ，求 sin 的值. 解：∵ － ＝2π， ∴α－ ＝ －2π. ∵ sin ＝－ ， ∴ sin （α－ ）＝ sin ＝ sin （α＋ ）＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） 1. cos ＝（　　） A. － B. C. － D. 解析： 　 cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 已知 cos （α－π）＝－ ，且α是第四象限角，则 sin （－2π＋ α）＝（　　） A. － B. C. ± D. 解析： 　由 cos （α－π）＝－ ，得 cos α＝ .又α为第四象 限角，所以 sin （－2π＋α）＝ sin α＝－ ＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 点P（ cos 2 025°， sin 2 025°）落在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： 　2 025°＝6×360°－135°，所以 cos 2 025°＝ cos （－135°）＝ cos 135°＜0， sin 2 025°＝ sin （－135°）＝－ sin 135°＜0，所以点P在第三象限. 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 的化简结果为 ⁠. 解析：原式＝ ＝1. 1　 目录 数学·必修第三册（B版） 5. 求下列各式的值： （1） sin （－1 395°） cos 1 110°＋ cos （－1 020°） sin 750°； 解： 原式＝ sin （－4×360°＋45°） cos （3×360° ＋30°）＋ cos （－3×360°＋60°） sin （2×360°＋ 30°）＝ sin 45° cos 30°＋ cos 60° sin 30°＝ × ＋ × ＝ ＋ ＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） （2） sin · cos ·tan . 解： 原式＝ sin · cos ·tan ＝ sin · cos ·tan ＝ sin · cos ·tan ＝ － sin · cos ·tan ＝－ × × ＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. sin ＝（　　） A. B. － C. D. － 解析： 　 sin ＝ sin ＝ sin ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 化简 sin （π－2）－ cos （4π－2）的结果为（　　） A. sin 2－ cos 2 B. －1 C. 2 sin 2 D. －2 sin 2 解析： 　原式＝ sin 2－ cos 2，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 已知tan ＝ ，则tan ＝（　　） A. B. － C. D. － 解析： 　∵tan ＝tan ＝－tan ， ∴tan ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 若 sin （π－α）＝log8 ，且α∈ ，则 cos （π＋α）＝ （　　） A. B. － C. ± D. 以上都不对 解析： 　因为 sin （π－α）＝ sin α＝lo 2－2＝－ ，所以 cos （π＋α）＝－ cos α＝－ ＝－ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 5. （多选）下列各式正确的是（　　） A. sin （α＋180°）＝－ sin α B. cos （－α＋β）＝－ cos （α－β） C. sin （－α－360°）＝－ sin α D. cos （－α－β）＝ cos （α＋β） 解析： 　 sin （α＋180°）＝－ sin α， cos （－α＋β）＝ cos [－（α－β）]＝ cos （α－β）， sin （－α－360°）＝－ sin （α＋360°）＝－ sin α， cos （－α－β）＝ cos [－（α＋ β）]＝ cos （α＋β）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 6. （多选）在△ABC中，三个内角分别为A，B，C. 下列结论正确 的是（　　） A. sin （B＋C）＝ sin A B. 若 cos A＞0，则△ABC为锐角三角形 C. cos （B＋C）＝ cos A D. 若 sin （π－A）＝ sin B，则A＝B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　由A＋B＋C＝π，故A正确，C错误；对B，若 cos A ＞0，可得A为锐角，△ABC不一定是锐角三角形，B错误；由 sin （π－A）＝ sin A＝ sin B，A，B∈（0，π）知，A＝B，故 D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 7. tan 690°＝ ⁠. 解析：tan 690°＝tan（2×360°－30°）＝tan（－30°）＝－tan 30°＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 8. 已知 sin （α＋π）＝ ，且 sin α cos α＜0，则 ＝ 　－ 　. 解析：∵ sin （α＋π）＝ ，∴ sin α＝－ . 又∵ sin α cos α＜0，∴ cos α＞0， cos α＝ ＝ ， ∴tan α＝－ .原式＝ ＝ ＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 9. 化简： · sin （α－2π） cos （2π－α）＝ ⁠ ⁠. 解析：原式＝ ·[－ sin （2π－α）] cos （2π－α）＝ sin α cos α＝ cos 2α. cos 2α　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 10. 在△ABC中，若 sin （2π－A）＝－ sin （π－B）， cos A＝ － cos （π－B），求△ABC的三个内角. 解：由条件得 sin A＝ sin B， cos A＝ cos B， 平方相加得2 cos 2A＝1， cos A＝± ， 又因为A∈（0，π），所以A＝ 或 π. 当A＝ π时， cos B＝－ ＜0，所以B∈ ， 所以A，B均为钝角，不合题意，舍去. 所以A＝ ， cos B＝ ，所以B＝ ，所以C＝ π. 综上所述，A＝ ，B＝ ，C＝ π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 11. 已知 sin ＝ ，则 sin 的值为（　　） A. B. － C. D. － 解析： 　 sin ＝ sin ＝ sin ＝－ sin ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 12. （多选）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π，则称θ 与φ“广义互补”.已知 sin （π＋α）＝－ ，下列角β中，可能 与角α“广义互补”的是（　　） A. sin β＝ B. cos （π＋β）＝ C. tan β＝ D. cos （2π－β）＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　∵ sin （π＋α）＝－ sin α＝－ ，∴ sin α＝ ， 若α＋β＝π，则β＝π－α.A中， sin β＝ sin ＝ sin α ＝ ，故A符合条件；B中， cos （π＋β）＝ cos ＝ cos α＝± ，故B符合条件；C中，tan β＝ ，即 sin β＝ cos β，又 sin 2β＋ cos 2β＝1，故 sin β＝± ，即C不符合条 件；D中， cos （2π－β）＝ cos [2π－（π－α）]＝ cos （π＋ α）＝－ cos α＝± ，故D符合条件.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 13. 已知函数f（x）＝a sin （πx＋α）＋b cos （πx＋β）＋x，且f （2 024）＝0，则f（2 025）＝ ⁠. 解析：因为f（x）＝a sin （πx＋α）＋b cos （πx＋β）＋x， 所以f（2 024）＝a sin （2 024π＋α）＋b cos （2 024π＋β）＋2 024＝a sin α＋b cos β＋2 024＝0，得到a sin α＋b cos β＝－2 024，所以f（2 025）＝a sin （2 025π＋α）＋b cos （2 025π＋ β）＋2 025＝a sin （π＋α）＋b cos （π＋β）＋2 025＝－a sin α－b cos β＋2 025＝－（－2 024）＋2 025＝4 049. 4 049　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 14. 是否存在角α和β，当α∈ ，β∈（0，π）时，等式 sin （3π－α）＝ sin （2π＋β）， cos （－α）＝－ cos （π＋β）同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说 明理由. 解：存在α＝ ，β＝ 使等式同时成立.理由如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） 由 sin （3π－α）＝ sin （2π＋β）， cos （－α）＝－ cos （π＋β）得， sin α＝ sin β， cos α＝ cos β，两式平方相 加得， sin 2α＋3 cos 2α＝2，得到 sin 2α＝ ，即 sin α＝± .因为 α∈ ，所以α＝ 或α＝－ .将α＝ 代入 cos α＝ cos β，得 cos β＝ ，由于β∈（0，π），所以β＝ .将α＝－ 代入 sin α＝ sin β，得 sin β＝－ ，由于β∈（0，π），这样的 角β不存在.综上可知，存在α＝ ，β＝ 使等式同时成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第三册（B版） $