7.2.2 单位圆与三角函数线-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦“单位圆与三角函数线”，通过“水车转动”情境抽象出单位圆模型，结合三角函数定义引出正弦线、余弦线、正切线，构建从代数定义到几何表示的知识支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以情境导入培养数学抽象，通过单位圆中三角函数线的作图与应用，发展直观想象和数学思维，如利用三角函数线比较大小、解不等式等实例，助力学生理解几何意义，教师可借助分层例题提升教学效率，学生能深化对三角函数的理解与应用能力。

7.2.2　单位圆与三角函数线 新课程标准解读 核心素养 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一 个角的正弦、余弦和正切 数学抽象 2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题 直观想象 目录 数学·必修第三册（B版） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水 倒进水渠，流向绿油油的大地，流向美丽的大自然，在水车转动的瞬 间，同学们能想到些什么呢？ 目录 数学·必修第三册（B版） 将图中的水车抽象出一个数学模型，建立平面直角坐标系（如图所示），设水车的轮廓为单位圆.在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴.过点A（1，0）作单位圆 的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，结合三角函数的定义， 你能得到 sin α， cos α，tan α与 ， ， 的关系吗？ 【问题】　 目录 数学·必修第三册（B版） 知识点一　单位圆 1. 在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单 位圆. 2. 角α的 和 分别等于角α终边与单位圆交点的横坐 标和纵坐标. 余弦　 正弦　 目录 数学·必修第三册（B版） 【想一想】 1. 单位圆的圆心和半径分别是什么？ 提示：单位圆的圆心在原点，半径为单位长度即半径等于1. 2. 角α的终边与单位圆的交点是否可以表示为（ cos α， sin α）？ 提示：可以. 目录 数学·必修第三册（B版） 　角 的终边与单位圆的交点的坐标是 　 　. 解析：由于角 的终边与单位圆的交点横坐标是 cos ＝－ ，纵坐 标是 sin ＝ ，所以角 的终边与单位圆的交点的坐标是 . 　 目录 数学·必修第三册（B版） 知识点二　三角函数线 　正弦线、余弦线和正切线都称为 ⁠. 三角函数线　 目录 数学·必修第三册（B版） 提醒　三角函数线的特征：①位置：三条三角函数线中有两条在以坐 标原点为圆心的单位圆内，一条在以坐标原点为圆心的单位圆外；② 方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指 向x轴上的垂足；正切线由切点指向切线与α的终边（或其反向延长 线）的交点；③正负：三条三角函数线的正负可简记为“同向为正， 反向为负”；④书写：起点（比如点A）在前，终点（比如点B）在 后，写为 . 目录 数学·必修第三册（B版） 【想一想】 1. 三角函数线的长度与三角函数的值有何关系？ 提示：三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值. 2. 三角函数线的方向能表示三角函数的正负吗？请说明理由. 提示：能，当三角函数线与x轴（或y轴）正向同向时，所表示三 角函数值为正的，与x轴（或y轴）正向反向时，所表示三角函数 值为负的. 目录 数学·必修第三册（B版） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）余弦线 也可写成 . （　×　） （2）三角函数线的长度等于三角函数值. （　×　） （3）三角函数线的方向表示三角函数值的正负. （　√　） （4）当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存 在. （　√　） × × √ √ 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 如图所示，在单位圆中角α的正弦线，正切线分别是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 解析： 　α为第三象限角，故正弦线为 ，正切线为 ，所以C正确. 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 角 和角 有相同的（　　） A. 正弦线 B. 余弦线 C. 正切线 D. 不能确定 解析： 　 与 的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线. 目录 数学·必修第三册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 三角函数线的意义 【例1】　（1）角α（0＜α＜2π）的正、余弦线的长度相等，且 正、余弦符号相异，那么α的值为（　　） A. B. C. D. 或 解析： 　根据三角函数值的符号可知，当角α在二、四 象限时，角α的正弦、余弦符号相反.又角α的正、余弦线的长 度相等，0＜α＜2π，所以α＝ 或 . 目录 数学·必修第三册（B版） （2）作出 π的正弦线、余弦线和正切线. 解：在直角坐标系中作单位圆，如图所 示，以Ox轴为始边作角 π，角的终边与单位 圆交于点P，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由 单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂 线，与OP的反向延长线交于T点，则 sin π＝ ， cos π＝ ，tan π＝ ，即 π的正弦线为 ，余弦线为 ，正切线为 . 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 1. 作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过 此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线. 2. 作正切线时，应从A（1，0）点引单位圆的切线交角的终边于一点 T，即可得到正切线 ，要特别注意，当角的终边在第二或第三 象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. 已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边（　　） A. 在x轴上 B. 在y轴上 C. 在直线y＝x上 D. 在直线y＝－x上 解析： 根据正弦线的定义知，｜ sin α｜＝1，所以 sin α＝ ±1，所以角α的终边在y轴上. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 有下列说法：① 和 的正弦线长度相等；② 和 的正切线长度 相等；③ 和 的余弦线长度相等.其中正确说法的个数为 （　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 解析： 　 和 的正弦线关于y轴对称，长度相等； 和 两角 的正切线长度相等； 和 的余弦线长度相等.故①②③都正确， 故选C. 目录 数学·必修第三册（B版） 题型二 利用三角函数线比较大小 【例2】　利用三角函数线比较下列各组数的大小： （1） sin 与 sin ； 解：如图所示，设 的终边与单位 圆交于点P1， 的终边与单位圆交 于点P2. 目录 数学·必修第三册（B版） （1）过点P1作P1M1垂直x轴于点M1，过点P2作P2M2垂直x轴 于点M2，则 ， 分别是 ， 的正弦线. ∵｜ ｜＞｜ ｜，且 与 的方向都与y轴的正 方向相同，∴ sin ＞ sin . 目录 数学·必修第三册（B版） 解：易知 ， 分别是 ， 的余弦线. ∵｜ ｜＜｜ ｜，且 与 的方向都与x轴的正方 向相反，∴ cos ＞ cos . （2） cos 与 cos ； 目录 数学·必修第三册（B版） 解：过点A（1，0）作x轴的垂线，交 的终边的反向延长线 于点T1，交 的终边的反向延长线于点T2，则 ， 分别 是 ， 的正切线. ∵｜ ｜＞｜ ｜，且 与 的方向都与y轴的正方向 相反，∴tan ＜tan . （3）tan 与tan . 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 利用三角函数线比较三角函数值的大小的步骤 （1）角的位置标注清楚； （2）比较三角函数线的有向线段的长度； （3）确定有向线段的正负. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　若－ ＜α＜－ ，比较 sin α， cos α，tan α的大小. 解：如图，在单位圆中，作出－ ＜α＜－ 内的任 意一个角α及其余弦线、正弦线、正切线 ， ， . 由图知，｜ ｜＜｜ ｜＜｜ ｜， ∴－｜ ｜＜－｜ ｜＜｜ ｜， 即 sin α＜ cos α＜tan α. 目录 数学·必修第三册（B版） 题型三 利用三角函数线解简单三角不等式（组） 【例3】　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由 此写出角α的集合. （1） sin α≥ ； 解： 作直线y＝ 交单位圆于A， B两点，连接OA，OB，则OA与 OB围成的区域（如图①所示的 阴影部分，包括边界），即为角 α的终边的范围.故满足要求的角α的集合为{α｜2kπ＋ ≤α≤2kπ＋ ，k∈Z}. 目录 数学·必修第三册（B版） （2） cos α≤－ . 解： 作直线x＝－ 交单位圆于C，D两点，连接OC， OD，则OC与OD围成的区域（如图②所示的阴影部分，包括 边界），即为角α的终边的范围. 故满足条件的角α的集合为{α｜2kπ＋ ≤α≤2kπ＋ ， k∈Z}. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 利用三角函数线解简单的三角不等式的步骤 （1）在单位圆中作出边界角的终边； （2）利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的 范围； （3）将图中角的范围用不等式表示出来. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　若0＜α＜2π，则使 sin α＜ 和 cos α＞ 同时成立的α的取值范 围是（　　） A. B. C. D. ∪ 解析： 　如图，适合 sin α＜ 的角α的范围和适 合 cos α＞ 的角α的范围的公共部分，即为角α的 范围. 目录 数学·必修第三册（B版） 　三角函数在单位圆中的几何表示及应用 　　 　　设角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单 位圆相交于点P，如图①，过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直 y轴于点N，则点P的坐标为（ cos α， sin α），其中 cos α＝ OM， sin α＝ON，即角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位 圆交点的横坐标和纵坐标.以A为原点建立y'轴与y轴同向，y'轴与α 的终边（或其反向延长线）相交于点T（或T'），如图②，则tan α＝ AT（或AT'）. 目录 数学·必修第三册（B版） 我们把有向线段OM，ON和AT（或AT'）分别叫做α的余弦线、正弦 线和正切线，它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何 表示. 目录 数学·必修第三册（B版） 【问题探究】 1. 设角α＝x rad，且0＜x＜ ，于是x， sin x，tan x都是实数，请你 给x一个具体的值，比较三个实数的大小. 提示： 我们先给x一个具体的值来进行比较：取x＝ ，则 sin x＝ ，tan x＝ .因为 ＝ ＜ ，所以 sin ＜ .又tan ＝ ＝ ＞ ，所以tan ＞ .从而可得 sin ＜ ＜tan .即当x＝ 时， sin x＜ x＜tan x. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 你在第1问中得到的大小关系是否对区间 上的任意x都成 立？ 提示：设角α的顶点与圆心O重合，始边与x轴 的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，如 图所示.过点P作PM⊥x轴于点M，过x轴正半轴 与以坐标原点为圆心的单位圆的交点A作该单位 圆的切线AT，交α的终边于点T，连接AP，则MP＝ sin x，AT＝tan x，S△OAP＜S扇形AOP ＜S△OAT. 因为S△OAP＝ OA·MP＝ sin x， 目录 数学·必修第三册（B版） S扇形AOP＝ x·12＝ x， S△OAT＝ OA·AT＝ tan x， 所以 sin x＜ x＜ tan x， 即 sin x＜x＜tan x. 因此当x∈ 时， sin x＜x＜tan x. 目录 数学·必修第三册（B版） 【迁移应用】 　利用三角函数线证明：正弦函数在 上是增函数. 解：设0≤α1＜α2≤ ，分别作出α1，α2的正弦 线 ， ，如图所示. ∵｜ ｜＜｜ ｜，且 与 的方向 都与y轴的正方向相同， ∴ sin α1＜ sin α2， 故正弦函数在 上是增函数. 目录 数学·必修第三册（B版） 1. 若角α的正切线位于第一象限，则角α是（　　） A. 第一象限的角 B. 第一、第二象限的角 C. 第三象限的角 D. 第一、第三象限的角 解析： 　由正切线的定义知，当角α是第一、第三象限的角时， 正切线都在第一象限. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 使不等式 －2 sin x≥0成立的x的取值集合是（　　） A. B. C. D. 解析： 　由 －2 sin x≥0，得 sin x≤ ，利用单位圆与三角函 数线可得2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z. 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 函数y＝ 的定义域为 ⁠ 解析：利用三角函数线，画出满足条件的终边 的范围（如图阴影部分所示）.因此所求定义域 为{x｜2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z}. 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边. （1） sin α＝ ； 解： 作直线y＝ 交单位圆于P，Q两点，连接OP，OQ，则OP与OQ为角α的终边，如图甲. 目录 数学·必修第三册（B版） （2） cos α＝－ . 解： 作直线x＝－ 交单位圆于M，N两点，连接 OM，ON，则OM与ON为角α的终边，如图乙. 目录 数学·必修第三册（B版） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1. （多选）下列命题正确的是（　　） A. α一定时，单位圆中的正弦线一定 B. 单位圆中，有相同正弦线的角相等 C. α和α＋π有相同的正切线 D. 具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上 解析： 　由三角函数线的定义A、D正确，B、C不正确.B中有 相同正弦线的角可能不等，如 与 ；C中当α＝ 时，α与α＋π 都没有正切线. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. （多选）已知 的正弦线为 ，正切线为 ，则有（　　） A. 与 的方向相同 B. ｜ ｜＝｜ ｜ C. sin ＝｜ ｜ D. tan ＝｜ ｜ 解析： 　三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的. sin ＝｜ ｜＞0，tan ＝｜ ｜＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第三册（B版） 3. sin 1， cos 1，tan 1的大小关系为（　　） A. sin 1＞ cos 1＞tan 1 B. sin 1＞tan 1＞ cos 1 C. tan 1＞ sin 1＞ cos 1 D. tan 1＞ cos 1＞ sin 1 解析： 　易知 ＜1＜ ，在单位圆中，作出锐角1的正切线、正 弦线、余弦线，观察它们的长度，则有tan 1＞ sin 1＞ cos 1＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 有三个命题：① 与 的正弦线相等；② 与 的正切线相等；③ 与 的余弦线相等.其中真命题的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 解析： 　根据三角函数线定义可知， 与 的正弦线相等， 与 的正切线相等， 与 的余弦线相反. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第三册（B版） 5. 设a＝ sin （－1），b＝ cos （－1），c＝tan（－1），则有 （　　） A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. c＜a＜b D. a＜c＜b 解析： 　如图，作α＝－1的正弦线，余弦线， 正切线，因为－ ＜－1＜－ ，所以b＝ cos （－1）＞0，a＝ sin （－1）＜0，c＝tan（－ 1）＜0，又正切线的长度大于正弦线的长度，所 以a＞c，即c＜a＜b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第三册（B版） 6. （多选）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴 正半轴交于点A（1，0）.已知点B（x1，y1）在圆O上，点T的坐 标是（x0， sin x0），则下列说法中正确的是（　　） A. 若∠AOB＝α，则 ＝α B. 若y1＝ sin x0，则x1＝x0 C. y1＝ sin x0，则 ＝x0 D. 若 ＝x0，则y1＝ sin x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有 ＝1·α ＝α，所以A正确；由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，y1是 对应∠AOB的正弦值，即y1＝ sin x0，所以x1是对应∠AOB的余弦 值，即x1＝ cos x0，所以B错误；当y1＝ sin x0时，∠AOB＝x0＋ 2kπ，k∈Z，所以C错误；反过来，当∠AOB＝x0，即 ＝x0 时，y1＝ sin x0一定成立，所以D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第三册（B版） 7. 若角α的正弦线的长度为 ，且方向与y轴的正方向相反，则 sin α 的值为 ⁠. 解析：三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的，由题设可 知 sin α的值为－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第三册（B版） 8. 借助三角函数线比较 sin ， sin ， sin 的大小，由大到小排列 为 ⁠. 解析：在单位圆中作出 ， ， 角的正弦线，可知 sin ＞ sin ＞ sin . sin ＞ sin ＞ sin 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第三册（B版） 9. 函数y＝ 的定义域为 　 ⁠. 解析：要使函数有意义，有1－2 sin x≥0，得 sin x≤ ，如图，确定正弦值为 的角的终边 OP与OP'，其对应的一个角分别为 π， π， 所求函数定义域为［2kπ＋ π，2kπ＋ π］ （k∈Z）. （k∈Z）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第三册（B版） 10. 利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合： （1）tan α＝－1； 解： 如图①所示， 过点（1，－1）和原点 作直线交单位圆于点P 和P'，则OP和OP'就是 角α的终边，∴∠xOP＝ ＝π－ ，∠xOP'＝－ ， ∴满足条件的所有角α的集合是{α｜α＝－ ＋kπ，k∈Z}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第三册（B版） 解：如图②所示，过点 作x轴的平行线，交单位圆 于点P和P'， 则 sin ∠xOP＝ sin ∠xOP'＝－ ， ∴∠xOP＝ ，∠xOP'＝ ， ∴满足条件的所有角α的集合是 . （2） sin α＜－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第三册（B版） 11. 若0≤θ＜2π，且不等式 cos θ＜ sin θ和tan θ＜ sin θ成立，则 角θ的取值范围是（　　） A. B. C. D. 解析： 　由三角函数线知，在[0，2π）内使 cos θ＜ sin θ的角 θ∈ ，使tan θ＜ sin θ的角θ∈ ∪ ， 故θ的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第三册（B版） 12. （多选）已知 sin α＞ sin β，那么下列说法不成立的是（　　） A. 若α，β是第一象限角，则 cos α＞ cos β B. 若α，β是第二象限角，则tan α＞tan β C. 若α，β是第三象限角，则 cos α＞ cos β D. 若α，β是第四象限角，则tan α＞tan β 解析： 　分别在四个象限内作出满足 sin α＞ sin β的两个角 α，β，再作出要比较的余弦线或正弦线.通过图形（图略）易得 选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第三册（B版） 13. 已知α∈ ，求证：1＜ sin α＋ cos α＜ . 证明：如图所示，设角α的终边与单位圆交于 点P（x，y），过P作PM⊥Ox，PN⊥Oy， M，N分别为垂足. 所以MP＝y＝ sin α，OM＝x＝ cos α， 在△OMP中，OM＋MP＞OP， 所以 sin α＋ cos α＞1. 因为S△OAP＝ OA·MP＝ y＝ sin α， S△OBP＝ OB·NP＝ x＝ cos α， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第三册（B版） S扇形OAB＝ π×12＝ ， 又因为S△OAP＋S△OBP＜S扇形OAB， 所以 sin α＋ cos α＜ ，即 sin α＋ cos α＜ ， 所以1＜ sin α＋ cos α＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第三册（B版） $