模块综合检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

模块综合检测 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若复数z满足z（2－i）＝11＋7i（i为虚数单位），则z＝（　　） A.3＋5i B.3－5i C.－3＋5i D.－3－5i 解析：A　由z（2－i）＝11＋7i得，z＝＝＝＝3＋5i. 2.如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为（　　） A.a＋b－c B.a－b＋c C.b－a＋c D.b－a－c 解析：C　依题意＝－＝＋－，即＝b－a＋c，故选C. 3.某中学高中部共有80名教师，初中部共有120名教师，其性别比例如图所示，现从中按分层随机抽样抽取25人进行优质课展示，则应抽取高中部男教师的人数为（　　） A.3 B.6 C.7 D.9 解析：B　依题意，高中部、初中部教师人数比为＝，按分层随机抽样抽取的25人中，高中部的教师人数为25×＝10，所以应抽取高中部男教师的人数为10×60%＝6.故选B. 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为（　　） A. B. C. D.－ 解析：C　由余弦定理，得cos C＝＝≥，当且仅当a＝b时取“＝”. 5.如图所示的三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为26，则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为20，现从1，2，3，4，5中任取两个不同的数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：B　由题意可知，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为26－20＝6.从1，2，3，4，5中任取两个不同的数字的样本点为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10个，其中“两个数字之和为6”的样本点有2个，则所求概率为＝. 6.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（单位：mm），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示.估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是（　　） A.28 mm B.28.5 mm C.29 mm D.29.5 mm 解析：C　棉花纤维的长度在25 mm以下的比例为（0.01＋0.01＋0.04＋0.06）×5＝0.6＝60%，在30 mm以下的比例为60%＋25%＝85%，因此，80%分位数一定位于[25，30）内，因为25＋5×＝29，所以估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是29 mm.故选C. 7.某校为普及足球运动知识，组织了有关知识的多项选择题测试.规定全部选对得10分，部分选对的得2分，有错选得0分，根据以往做题经验，多项选择题正确选项有两项的概率为，正确选项有三项的概率为，正确选项有四项的概率为0.若某同学对某一道多选题随机选出一项，则该同学得2分的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：C　若答案是两个选项，所有的可能情况有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共有6种情况，此时该同学随机选出一项，得2分的概率为＝；若答案是三个选项，所有的可能情况有ABC，ACD，ABD，BCD，共有4种情况，此时该同学随机选出一项，得2分的概率为；所以该同学得2分的概率为P＝×＋×＝，故选C. 8.《算数术》竹简于上世纪八十年代出土，是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.现有一圆锥底面周长为，侧面面积为，其体积的近似公式为V≈L2h，用此π的近似取值（用分数表示）计算过该圆锥顶点的截面面积的最大值为（　　） A.15 B.3 C. D.8 解析：D　因为V＝πr2h，L＝2πr，所以V＝π（ ）2h＝L2h.又因为V≈L2h，即L2h≈L2h，所以π≈.设圆锥母线长为l，底面半径为r，则侧面积为×l＝，解得l＝4.因为圆锥底面的周长2πr＝，所以r＝.又π≈，所以r≈3.设截面的顶角为θ，当截面为轴截面时，cos θ＝＝－＜0，即截面顶角的最大值θmax为钝角，所以θ∈（0，θmax].又截面面积为l2sin θ＝8sin θ，所以当θ＝时截面面积最大，为8.故选D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.下列关于复数x＋i的说法一定正确的是（　　） A.是虚数 B.存在x使得x＋i是纯虚数 C.存在x使得x＋i小于0 D.实部和虚部均为1 解析：BC　由复数x＋i，当x＝－i时，x＋i＝0为实数，故A不正确；当x＝0时，x＋i＝i，故B正确；取x＝－2－i，可知C正确；由于x的取值未知，故D错误；故选B、C. 10.某地遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐赠5 000万元物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐，如图为该品牌服饰某分店1～8月的销量（单位：件）情况.以下描述正确的是（　　） A.这8个月销量的极差为4 132 B.这8个月销量的中位数为2 499 C.这8个月中2月份的销量最低 D.这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份 解析：ACD　对于A，这8个月销量的极差为4 844－712＝4 132，故A正确；对于B，这8个月的销量从小到大依次为712，1 433，1 533，1 952，2 822，3 046，4 532，4 844，所以这8个月销量的中位数是＝2 387，故B不正确；对于C，由题图可知，这8个月中2月份的销量最低，故C正确；对于D，由题图可知，这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份，增加了4 532－2 822＝1 710，故D正确. 11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是（　　） A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB B.异面直线AD与PB所成的角为90° C.二面角P-BC-A的大小为45° D.BD⊥平面PAC 解析：ABC　如图，对于A，取AD的中点M，连接PM，BM.∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BM.又PM∩BM＝M，PM，BM⊂平面PMB，∴AD⊥平面PMB，故A正确.对于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确.对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角.设AB＝1，则BM＝，PM＝，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P-BC-A的大小为45°，故C正确.对于D，易证BD与PA不垂直，∴BD与平面PAC不垂直，故D错误.故选A、B、C. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔使用，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为. 解析：第一次取出的笔是黑色笔的概率是，第二次取出的笔是黑色笔的概率也是，且两次取笔的结果相互独立，故两次使用的都是黑色笔的概率为×＝. 13.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为. 解析：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为＝2.又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，则球的半径R＝1，根据球的体积公式，得此球的体积V＝πR3＝. 14.在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为. 解析：由题意知∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°，又∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°.所以AD＝CD＝AC＝.在△BCD中，∠BCD＝60°＋45°＝105°，sin∠BCD＝sin（60°＋45°）＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得＝，所以BD＝CD·＝·＝a.在△ADB中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝a2＋（a）2－2·a·a·＝a2，所以AB＝. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知向量a与b的夹角为θ＝，且｜a｜＝3，｜b｜＝2. （1）若ka＋2b与3a＋4b共线，求k； （2）求a·b，｜a＋b｜. 解：（1）若ka＋2b与3a＋4b共线，则存在实数λ，使得ka＋2b＝λ（3a＋4b）， 即（k－3λ）a＋（2－4λ）b＝0，又因为向量a与b不共线， 所以解得所以k＝. （2）a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝3×2×＝－6， ｜a＋b｜＝＝＝. 16.（本小题满分15分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin（A－B）＝sin Bsin（C－A）. （1）证明：2a2＝b2＋c2； （2）若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长. 解：（1）证明：因为sin Csin（A－B）＝sin Bsin（C－A）， 所以sin Csin Acos B－sin Csin Bcos A＝sin Bsin Ccos A－sin Bsin Acos C， 所以ac·－2bc·＝－ab·， 即－（b2＋c2－a2）＝－， 所以2a2＝b2＋c2. （2）因为a＝5，cos A＝， 由（1）得b2＋c2＝50， 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， 则50－bc＝25， 所以bc＝， 故（b＋c）2＝b2＋c2＋2bc＝50＋31＝81， 所以b＋c＝9. 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝14. 17.（本小题满分15分）如图①，已知等腰梯形ABCD的外接圆半径为2，AB∥CD，AB＝2CD，点P是上半圆上的动点（不包含A，B两点），点Q是线段PA上的动点，如图②所示，将半圆APB所在的平面沿直径AB折起，使得平面PAB⊥平面ABCD，连接PC，PD. （1）求三棱锥P-ACD体积的最大值； （2）当PC∥平面QBD时，求的值. 解：（1）当PO⊥AB时，三棱锥P-ACD体积最大，由PO⊂平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，知PO⊥平面ABCD，此时，点P到平面ABCD的距离最大，为PO＝2， 所以VP-ACD的最大值为×S△ACD×PO＝××2××2＝. （2）如图，连接BD，交AC于点M，连接QM， 则平面PAC∩平面QBD＝QM， 依题意，PC∥平面QBD，PC⊂平面PAC，所以PC∥QM，所以＝，在等腰梯形ABCD中，△MAB∽△MCD，则＝，所以＝＝＝. 18.（本小题满分17分）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量（单位：辆）如下表： A类轿车 B类轿车 C类轿车 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆. （1）求z的值； （2）在C类轿车中用分层随机抽样的方法抽取5辆轿车，再从这5辆轿车中任意抽取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率； （3）用简单随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，它们的综合测评得分（十分制）分别为：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 解：（1）设该厂这个月共生产轿车n辆. 由题意得＝，解得n＝2 000， 则z＝2 000－100－300－150－450－600＝400. （2）设所抽的5辆轿车中有a辆舒适型轿车. 由题意得＝，则a＝2. 因此在抽取的5辆轿车中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车. 用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，从5辆轿车中任取2辆，则样本空间Ω＝{（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}. 设事件E＝“至少有1辆舒适型轿车”，则E＝{（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）}， 故P（E）＝，即所求概率为. （3）总体平均数＝×（9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2）＝9.0. 设事件D＝“从总体中任取一个数，该数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”，则样本空间包含8个样本点，事件D包含6个样本点：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0， 所以P（D）＝＝，即所求概率为. 19.（本小题满分17分）设f（z）是一个关于复数z的表达式，若f（x＋yi）＝x1＋y1i（其中x，y，x1，y1∈R，i为虚数单位），就称f将点P（x，y）“f对应”到点Q（x1，y1）.例如f（z）＝将点（0，1）“f对应”到点（0，－1）. （1）若f（z）＝z＋1（z∈C）将点P1（1，1）“f对应”到点Q1，将点P2“f对应”到点Q2（1，1），求点Q1、P2的坐标； （2）设常数k，t∈R，若直线l：y＝kx＋t，f（z）＝z2（z∈C），是否存在一个有序实数对（k，t），使得直线l上的任意一点P（x，y）“f对应”到点Q（x1，y1）后，点Q仍在直线l上？若存在，试求出所有的有序实数对（k，t）；若不存在，请说明理由； （3）设常数a，b∈R，集合D＝{z｜z∈C且Rez＞0}（Rez表示复数z的实部）和A＝{ω｜ω∈C且｜ω｜＜1}，若f（z）＝满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有f（z）∈A；②对于集合A中的任意一个元素ω，都存在集合D中的元素z使得ω＝f（z）.请写出满足条件的一个有序实数对（a，b），并论证此时的f（z）满足条件. 解：（1）由P1（1，1）知z＝1＋i，则f（z）＝z＋1＝2＋i，故Q1（2，1）； 设P2（x，y），则f（z）＝z＋1＝（x＋1）＋yi， 由Q2（1，1）知x＋1＝1，y＝1，则x＝0，y＝1，即P2（0，1）. （2）∵直线l上的任意一点P（x，y）“f对应”到点Q（x1，y1）， ∴z＝x＋yi，f（z）＝z2＝（x2－y2）＋2xyi，且y＝kx＋t， ∴x2－y2＝x1，2xy＝y1，即Q（x2－y2，2xy）， 由题意，点Q（x1，y1）仍在直线l上，则2xy＝k（x2－y2）＋t，又y＝kx＋t， 则2x（kx＋t）＝k[x2－（kx＋t）2]＋t， 展开整理得（k3＋k）x2＋（2t＋2k2t）x＋kt2－t＝0， 则解得k＝t＝0， ∴所求的有序实数对（k，t）为（0，0）. （3）满足条件的一个有序实数对为（－1，1），即a＝－1，b＝1，f（z）＝，证明如下： 设z＝x＋yi，x，y∈R，x＞0，则f（z）＝＝，｜f（z）｜＝＝＝， ∵（－x＋1）2＋y2－[（x＋1）2＋y2]＝－4x＜0， ∴（－x＋1）2＋y2＜（x＋1）2＋y2， ｜f（z）｜＝＜1，即f（z）∈A，满足条件①； 设ω＝m＋ni，m，n∈R，且｜ω｜＜1，即＜1，得m2＋n2＜1， 由ω＝f（z）得ω＝， 则z＝＝－1＋＝－1＋＝－1＋ ＝－1＋－ ＝－， 则Rez＝＞0，满足条件②， 综上，满足条件的一个有序实数对为（－1，1）. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $