10.2 第1课时 事件的相互独立性及相互独立事件的概率-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦“事件的相互独立性”核心知识点，通过“3张奖券有放回抽取”情境导入，结合古典概型基础，以“事件A是否影响B概率”“互斥与独立区别”问题链搭建学习支架，引导学生从具体情境抽象概念。 资料以新课标核心素养为导向，通过“问题情境—概念抽象—性质探究—应用拓展”教学链，结合有放回取球判断独立性等实例，培养数学抽象、数学运算与逻辑推理能力。助力学生构建知识体系，提升解题能力，为教师提供清晰教学路径，提高课堂效率。

10.2　事件的相互独立性 新课程标准解读 核心素养 1.结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义 数学抽象 2.结合古典概型，利用独立性计算积事件的概率 数学运算 第1课时　事件的相互独立性及相互独立事件的概率 　　3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”. 【问题】　（1）上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？ （2）互斥事件与相互独立事件有什么区别？ 　 　 　 　 　 　 知识点　事件的相互独立性 1.相互独立事件的定义 对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝　P（A）P（B）　成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 2.相互独立事件的性质 当事件A，B相互独立时，事件A与事件　相互独立　，事件与事件B　相互独立　，事件与事件　相互独立　. 提醒　两个事件独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响. 3.推广 两个事件的相互独立性可以推广到n（n＞2，n∈N*）个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）. 提醒　当三个事件A，B，C两两独立时，等式P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）一般不成立，事件相互独立与事件两两独立是不等同的. 1.掷一枚正方体骰子一次，设事件A＝“出现偶数点”，事件B＝“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是（　　） A.互斥但不相互独立　 B.相互独立但不互斥 C.互斥且相互独立 D.既不相互独立也不互斥 解析：B　事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件AB＝{6}，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}.所以P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（AB）＝＝×，即P（AB）＝P（A）P（B），因此事件A与B相互独立.当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件. 2.甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为（　　） A.0.8 B.0.7 C.0.56 D.0.1 解析：C　由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报中甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7＝0.56. 3.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，求这两个人中恰有一人获得一等奖的概率. 解：根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是×＋×＝. 题型一 相互独立事件的判断 【例1】　（2024·威海月考）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（　　） A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 解析：B　事件甲发生的概率P（甲）＝，事件乙发生的概率P（乙）＝，事件丙发生的概率P（丙）＝，事件丁发生的概率P（丁）＝.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P（甲丙）≠P（甲）P（丙），故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝，P（甲丁）＝P（甲）P（丁），故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为＝，P（乙丙）≠P（乙）P（丙），故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.故选B. 通性通法 两个事件是否相互独立的判断 （1）定量法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件.即利用P（AB）＝P（A）·P（B）是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立； （2）定性法：直观地判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，若没有影响就是相互独立事件. 【跟踪训练】 　甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A为“甲击中目标”，事件B为“乙击中目标”，则事件A与事件B（　　） A.相互独立但不互斥 B.互斥但不相互独立 C.相互独立且互斥 D.既不相互独立也不互斥 解析：A　同时对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，即事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件.故选A. 题型二 相互独立事件的性质及应用 【例2】　（多选）设M，N为两个随机事件，给出以下命题，其中正确的命题为（　　） A.若P（M）＝，P（N）＝，P（MN）＝，则，为相互独立事件 B.若P（）＝，P（N）＝，P（MN）＝，则M，N为相互独立事件 C.若P（M）＝，P（）＝，P（MN）＝，则，N为相互独立事件 D.若P（M）＝，P（N）＝，P（）＝，则M，N为相互独立事件 解析：ABD　P（M）＝，P（N）＝，P（MN）＝，则P（MN）＝P（M）P（N），故由相互独立事件的性质知，为相互独立事件，故A正确；P（）＝，P（N）＝，P（MN）＝，则P（M）＝1－P（）＝，P（MN）＝P（M）·P（N），故M，N为相互独立事件，故B正确；P（M）＝，P（）＝，P（MN）＝，则P（N）＝1－P（）＝，P（M）P（N）＝×＝≠P（MN），故由相互独立事件的性质知，N不相互独立，故C错误；P（M）＝，P（N）＝，P（）＝，则P（MN）＝1－P（）＝＝P（M）·P（N），故M，N为相互独立事件，故D正确，故选A、B、D. 通性通法 相互独立事件的性质 （1）如果事件A和事件B相互独立，那么它们中的任何一个事件也相互独立，也就是说，如果事件A和事件B可以同时发生，但它们发生的概率互不影响，那么事件A和事件B相互独立； （2）如果有n个事件相互独立，那么将其中任意一个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立. 提醒　概率为0的事件与任何事件相互独立. 【跟踪训练】 （2024·青岛月考）对于两个相互独立的事件A与B，若P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，则P（A）＝（　　） A.0.42 B.0.28 C.0.12 D.0.18 解析：D　由相互独立事件的性质知A与也相互独立，所以P（A）＝P（A）[1－P（B）]＝0.18. 题型三 相互独立事件的概率 【例3】　（2024·阳江月考）甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率： （1）两人都能破译的概率； 解：由题意，甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和， 两人能否破译密码相互独立， 所以两人都能破译的概率为×＝. （2）恰有一人能破译的概率； 解：恰有一人能破译的概率为×（ 1－）＋（ 1－）×＝. （3）至多有一人能破译的概率. 解：事件“至多有一人能破译”与事件“两人都能破译”互为对立事件， 所以至多有一人能破译的概率为1－×＝1－＝. 通性通法 1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤 （1）首先确定各事件之间是相互独立的； （2）求出每个事件的概率，再求积. 2.使用相互独立事件同时发生的概率公式计算时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的. 【跟踪训练】 1.甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的.现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：C　设“从甲盒中任取一螺杆为A型螺杆”为事件M，“从乙盒中任取一螺母为A型螺母”为事件N，则事件M与N相互独立，P（M）＝＝，P（N）＝＝，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P（MN）＝P（M）P（N）＝×＝. 2.加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为. 解析：加工出来的零件的正品率是（1－）×（1－）×（1－）＝，因此加工出来的零件的次品率为1－＝. 1.若P（AB）＝，P（）＝，P（B）＝，则事件A与B的关系是（　　） A.互斥 B.相互独立 C.互为对立 D.无法判断 解析：B　因为P（）＝，所以P（A）＝，又P（B）＝，所以事件A与事件B不对立，又因为P（AB）＝，所以有P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B相互独立但不一定互斥.故选B. 2.（2024·莆田月考）甲、乙两人练习射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都击中的概率是（　　） A.0.3 B.0.63 C.0.7 D.0.9 解析：B　设甲击中为事件A，乙击中为事件B，则P（AB）＝P（A）·P（B）＝0.9×0.7＝0.63.故选B. 3.某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨.则他们淋雨的概率是. 解析：由题意，A表示下雨，B表示准时收到帐篷，且P（A）＝P（B）＝，所以淋雨的可能性为P（A）P（）＝×＝. 4.一个不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球. （1）从口袋内有放回地抽取2个球，记事件A＝“第一次抽到红球”，B＝“第二次抽到黄球”； （2）从口袋内无放回地抽取2个球，记事件A＝“第一次抽到红球”，B＝“第二次抽到黄球”. 试分别判断（1）（2）中的事件A，B是否为相互独立事件. 解：（1）有放回地抽取小球，事件A是否发生对事件B是否发生没有影响，它们是相互独立事件. （2）无放回地抽取小球，记红、黄、蓝球的号码分别为1，2，3，则样本空间 Ω＝{（1，2），（1，3），（2，1），（2，3），（3，1），（3，2）}，共包含6个样本点， A＝{（1，2），（1，3）}，B＝{（1，2），（3，2）}. 因为P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（AB）＝， 所以P（AB）≠P（A）P（B）， 所以事件A，B不是相互独立事件. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $