10.1.4 概率的基本性质-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦概率的基本性质这一核心知识点，通过“甲、乙两人下棋”的问题情境导入，梳理互斥事件、对立事件的概率运算法则，结合“想一想”“提醒”等环节搭建学习支架，衔接前后知识脉络。 资料以情境化问题驱动教学，设置互斥事件、对立事件、综合应用等分层题型及跟踪训练，融入掷骰子、抽奖券等实例，培养数学抽象与数学运算核心素养，助力学生用数学思维解决实际问题，提升教师课堂效率与教学效果。

10.1.4　概率的基本性质 新课程标准解读 核心素养 1.结合具体实例，理解概率的性质 数学抽象 2.掌握互斥事件、对立事件概率的运算法则 数学运算 　　甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3. 【问题】　甲获胜的概率是多少？ 　 　 　 　 　 　 知识点　概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P（A）　≥　0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）＝　1　，P（⌀）＝　0　. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝　P（A）＋P（B）　. 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝　1－P（A）　，P（A）＝　1－P（B）　. 性质5：如果A⊆B，那么P（A）　≤　P（B）. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（A∪B）＝　P（A）＋P（B）－P（A∩B）　. 提醒　一般地，如果A1，A2，…，Am是两两互斥的事件，则P（A1∪A2∪…∪Am）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（Am）；P（A）＋P（）＝1. 【想一想】 设事件A发生的概率为P（A），事件B发生的概率为P（B），那么事件A∪B发生的概率是P（A）＋P（B）吗？ 提示：不一定.当事件A与B互斥时，P（A∪B）＝P（A）＋P（B）；当事件A与B不互斥时，P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）. 1.在掷骰子的游戏中，向上的数字是5或6的概率是（　　） A.　　 　B.　　 　C.　　 　D.1 解析：B　事件“向上的数字是5”与事件“向上的数字是6”为互斥事件，且二者发生的概率都是，所以“向上的数字是5或6”的概率是＋＝. 2.（2024·韶关月考）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为50%，那么乙不输的概率是（　　） A.20% B.70% C.80% D.30% 解析：B　由题意可得乙获胜的概率为1－30%－50%＝20%，所以乙不输的概率是20%＋50%＝70%，故选B. 3.事件A与B是对立事件，且P（A）＝0.2，则P（B）＝0.8. 解析：因为A与B是对立事件，所以P（A）＋P（B）＝1，即P（B）＝1－P（A）＝0.8. 题型一 互斥事件概率公式的应用 【例1】　在数学考试（满分100分）中，小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18，在80～89分（包括80分与89分，下同）的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率： （1）小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩； 解：分别记小明的成绩“在90分及90分以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”“在60分以下”为事件A，B，C，D，E，显然这五个事件两两互斥. 小明的成绩在80分及80分以上的概率为P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.18＋0.51＝0.69. （2）小明考试及格（60分及60分以上为及格）. 解：小明考试及格的概率为P（A∪B∪C∪D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93. 通性通法 　　运用互斥事件的概率加法公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）解题时，首先要判断事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件拆分为若干个两两互斥的事件，然后求出各事件的概率，用互斥事件的概率加法公式得出结果. 【跟踪训练】 1.现有历史、政治、物理和化学4本书，从中任取1本，则取出的书是物理或化学书的概率为（　　） A.　　 　B. C.　　 　D. 解析：C　记取出历史、政治、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，则事件A，B，C，D两两互斥，所以取出物理或化学书的概率为事件C，D的概率的和，即P（C∪D）＝P（C）＋P（D）＝＋＝. 2.某商店的月收入（单位：元）在[10 000，30 000 ）内的概率如下表所示： 月收入 [10 000，15 000） [15 000，20 000） [20 000，25 000） [25 000，30 000） 概率 0.12 a b 0.14 已知月收入在[10 000，30 000）内的概率为0.67，求月收入在[15 000，30 000）内的概率. 解：记月收入（单位：元）在[10 000，15 000），[15 000，20 000），[20 000，25 000），[25 000，30 000）内分别为事件A，B，C，D.因为事件A，B，C，D两两互斥，且P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝0.67，所以P（B∪C∪D）＝0.67－P（A）＝0.55. 题型二 对立事件概率公式的应用 【例2】　（1）据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1，则该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为0.9； 解析：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D，由题意知，事件C与事件D互为对立事件，所以P（D）＝1－P（C）＝1－0.1＝0.9. （2）一个盒子里装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.有放回地随机抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c. ①求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率； ②求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率. 解：由题意知，试验的样本空间Ω＝{（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（2，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3）}，共27个样本点. ①记“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A， 则事件A包含的样本点有（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3个，所以P（A）＝＝.故“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为. ②记“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B的对立事件包括的样本点有（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3个，所以P（B）＝1－P（）＝1－＝.故“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为. 通性通法 1.当直接计算符合条件的事件的概率比较麻烦时，可先计算出其对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P（A）＋P（）＝1求出符合条件的事件的概率. 2.当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题. 【跟踪训练】 1.（2024·三明月考）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，已知P（A）＝0.7，P（B）＝0.2，P（C）＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为（　　） A.0.7　　　B.0.2 C.0.1　　　D.0.3 解析：D　∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，事件A＝{抽到一等品}，P（A）＝0.7，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.7＝0.3.故选D. 2.盒子里装有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次. （1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率； （2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率. 解：试验的样本空间Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）}，共25个样本点. （1）事件“取到的2个球中恰好有1个黑球”包含的样本点为（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），共12个，故所求的概率为. （2）事件“取到的2个球中至少有1个是红球”的对立事件为“没有一个红球”，即“全是黑球”.事件“全是黑球”包含的样本点为（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共4个，故所求的概率为1－＝. 题型三 概率性质的综合应用 【例3】　袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是. （1）试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率； 解：从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，它们彼此互斥， 则P（A）＝，P（B∪C）＝P（B）＋P（C）＝， P（C∪D）＝P（C）＋P（D）＝，P（B∪C∪D）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＝1－P（A）＝1－＝. 联立解得P（B）＝，P（C）＝，P（D）＝， 故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为，，. （2）从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率. 解：事件“得到红球或绿球”可表示为A∪D，由（1）及互斥事件的概率加法公式得P（A∪D）＝P（A）＋P（D）＝＋＝， 故得到的不是红球也不是绿球的概率为P＝1－P（A∪D）＝1－＝. 通性通法 　　求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化. 【跟踪训练】 　某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4 000人，女职工1 600人；第二分厂有男职工3 000人，女职工1 400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人.如果从该公司职工中随机抽取1人，求该职工为女职工或第三分厂的职工的概率. 解：记事件A为“抽取的为女职工”，记事件B为“抽取的为第三分厂的职工”，则A∩B表示“抽取的为第三分厂的女职工”，A∪B表示“抽取的为女职工或第三分厂的职工”，则有 P（A）＝＝， P（B）＝＝， P（A∩B）＝＝， 所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）＝＋－＝. 1.如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为（　　） A.0.2　　　　　　　　　B.0.4 C.0.6 D.0.7 解析：C　因为事件A与B是互斥事件，所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.8，又因为P（A）＝3P（B），所以P（A）＝0.6.故选C. 2.若A，B为互斥事件，则（　　） A.P（A）＋P（B）＜1 B.P（A）＋P（B）＞1 C.P（A）＋P（B）＝1 D.P（A）＋P（B）≤1 解析：D　因为A，B为互斥事件，所以A∪B是随机事件或必然事件，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）≤1，当A，B为对立事件时，P（A）＋P（B）＝1. 3.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.4，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.3，则不用现金支付的概率为（　　） A.0.4 B.0.3 C.0.7 D.0.6 解析：B　由题得不用现金支付的概率P＝1－0.4－0.3＝0.3.故选B. 4.（2024·东营月考）我国西部一个地区的年降水量在下列区间的概率如下表所示： 年降水量/mm [100，150） [150，200） [200，250） [250，300] 概率 0.21 0.16 0.13 0.12 则年降水量在[200，300]（mm）范围内的概率为0.25. 解析：设“年降水量在[200，300]范围内”为事件A，“年降水量在[200，250）范围内”为事件B，“年降水量在[250，300]范围内”为事件C，则A＝B∪C，而事件B与C互斥，且P（B）＝0.13，P（C）＝0.12，则P（A）＝P（B）＋P（C）＝0.25，所以年降水量在[200，300]（mm）范围内的概率为0.25. 1.下列说法中正确的是（　　） A.对立事件一定是互斥事件 B.若A，B为随机事件，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B） C.若事件A，B，C两两互斥，则P（A）＋P（B）＋P（C）＝1 D.若事件A，B满足P（A）＋P（B）＝1，则A与B是对立事件 解析：A　A说法显然正确；B说法不正确，当事件A，B能同时发生时，不满足P（A∪B）＝P（A）＋P（B）；C说法不正确，P（A）＋P（B）＋P（C）不一定等于1，还可能小于1；D说法不正确，当事件A，B不属于同一个试验时，显然不成立. 2.已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝0.3，P（C）＝0.6，则P（A∪B）＝（　　） A.0.3　　　 B.0.6　　　 C.0.7　　　 D.0.9 解析：C　因为P（C）＝0.6，事件B与C对立，所以P（B）＝0.4，又P（A）＝0.3，A与B互斥，所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.3＋0.4＝0.7，故选C. 3.某校高三（1）班50名学生参加1 500 m体能测试，其中23人成绩为A，其余人成绩都是B或C.从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是（　　） A.0.14 B.0.20 C.0.40 D.0.60 解析：A　由于成绩为A的有23人，故抽到C的概率为1－－0.4＝0.14.故选A. 4.（2024·济南月考）盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共10个，从中随机取出1个，是肉馅包子的概率为，不是豆沙馅包子的概率为，则素馅包子的个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：C　由题意可知，肉馅包子的个数为10×＝4.从中随机取出1个，不是豆沙馅包子的概率为，则该包子是豆沙馅包子的概率为1－＝，所以豆沙馅包子的个数为10×＝3.因此，素馅包子的个数为10－4－3＝3. 5.（多选）（2024·许昌月考）高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则（　　） A.恰有一名参赛学生是男生的概率为 B.至少有一名参赛学生是男生的概率为 C.至多有一名参赛学生是男生的概率为 D.两名参赛学生都是男生的概率为 解析：AC　从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛，共有15种等可能的结果.恰有一名参赛学生是男生，即从3名男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有9种结果，所以恰有一名参赛学生是男生的概率为＝，A对；“至少有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是女生”，从3名女生中任选2人有3种结果，所以至少有一名参赛学生是男生的概率为1－＝，B错；“两名参赛学生都是男生”，从3名男生中任选2人有3种结果，其概率为＝，D错；“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，所以至多有一名参赛学生是男生的概率为1－＝，C对.故选A、C. 6.（多选）在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的是（　　） A.A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件 B.A1∪A2∪A3不一定是必然事件 C.P（A2∪A3）＝0.8 D.P（A1∪A2）≤0.5 解析：BD　因为A1，A2，A3不一定是互斥事件，所以A不正确，B正确；P（A2∪A3）≤0.8，P（A1∪A2）≤0.5，所以C不正确，D正确. 7.已知P（A）＝0.4，P（B）＝0.2. （1）如果B⊆A，则P（A∪B）＝0.4，P（A∩B）＝0.2； （2）如果A，B互斥，则P（A∪B）＝0.6，P（A∩B）＝0. 解析：（1）因为B⊆A，所以P（A∪B）＝P（A）＝0.4，P（A∩B）＝P（B）＝0.2. （2）如果A，B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.4＋0.2＝0.6.P（A∩B）＝P（⌀）＝0. 8.某城市2023年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率P 其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，该城市2023年空气质量达到良或优的概率为. 解析：由于空气质量达到良或优为污染指数T≤100，由互斥事件概率的加法公式，得该城市2023年空气质量达到良或优的概率为＋＋＝. 9.（2024·宁波月考）若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P（A）＝2－a，P（B）＝4a－5，则实数a的取值范围是. 解析：因随机事件A，B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝3a－3，依题意及概率的性质得即解得＜a≤，所以实数a的取值范围是. 10.某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C. （1）求P（A），P（B），P（C）； （2）求抽取1张奖券中奖的概率； （3）求抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率. 解：（1）由题意，每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个， 故P（A）＝，P（B）＝＝，P（C）＝＝. （2）设“抽取1张奖券中奖”为事件D， 则P（D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝＋＋＝. （3）设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E， 则P（E）＝1－P（A）－P（B）＝1－－＝. 11.已知随机事件A，B发生的概率满足条件P（A∪B）＝，某人猜测事件∩发生，则此人猜测正确的概率为（　　） A.1　　　　　　　　　 B. C. D.0 解析：C　事件∩与事件A∪B是对立事件，则此人猜测正确的概率P（∩）＝1－P（A∪B）＝1－＝. 12.（多选）口袋里装有1红、2白、3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的2球同色”，B＝“取出的2球中至少有1个黄球”，C＝“取出的2球中至少有1个白球”，D＝“取出的2球不同色”，E＝“取出的2球中至多有1个白球”.则下列判断中正确的是（　　） A.A与D为对立事件 B.C与E是对立事件 C.P（C∪E）＝1 D.P（B）＝P（C） 解析：AC　因为口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，由对立事件定义得A与D为对立事件，故A正确；C与E有可能同时发生，不是对立事件，故B错误；P（C）＝1－＝，P（E）＝，P（C∩E）＝，从而P（C∪E）＝P（C）＋P（E）－P（C∩E）＝1（或由C∪E为必然事件，得P（C∪E）＝1），故C正确；黄球与白球的个数不同，从而P（B）≠P（C），故D错误. 13.（2024·厦门月考）从1，2，3，…，30这30个数中任意取出一个数，则取出的数是偶数或能被5整除的数的概率是. 解析：设事件A＝“取出的数为偶数”，事件B＝“取出的数能被5整除”，则P（A）＝，P（B）＝＝，P（A∩B）＝＝，所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）＝＋－＝. 14.某医院首批救灾人员中有2名医生、3名护士和1名管理人员.采用抽签的方式，从这六名人员中随机选取两人在表彰大会上发言. （1）写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间； （2）求选中1名医生和1名护士发言的概率； （3）求至少选中1名护士发言的概率. 解：（1）2名医生记为A1，A2，3名护士记为B1，B2，B3，1名管理人员记为C， 则样本空间Ω＝{（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B3，C）}. （2）设事件M＝“选中1名医生和1名护士发言”，则M＝{（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）}，所以n（M）＝6， 又n（Ω）＝15，所以P（M）＝＝. （3）设事件N＝“至少选中1名护士发言”， 则＝{（A1，A2），（A1，C），（A2，C）}， 所以n（）＝3，所以P（）＝＝， 所以P（N）＝1－P（）＝1－＝. 15.人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人能给哪些血型的人输血，是有严格规定的，输血法则可归结为4条：①X→X；②O→X；③X→AB；④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的（其中X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者）.已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照规则，若受血者为A型血，则一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为（　　） A.0.27　　 B.0.31 C.0.42　　 D.0.69 解析：B　当受血者为A型血时，供血者可以为A型或O型，即B，AB两种血型不能为供血者，我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，所以一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为：P＝24%＋7%＝31%＝0.31.故选B. 16.袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求： （1）袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是多少？ （2）从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个的概率是多少？ （3）经计算从袋中任取两个球可得36个样本点，则两个球颜色不相同的概率是多少？ 解：（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，根据已知， 得 解得 所以任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，. 所以黑球的个数为9×＝3，黄球的个数为9×＝2，绿球的个数为9×＝4， 所以袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是3，2，4. （2）由（1）知黑球、黄球个数分别为3，2， 所以从所有黑球、黄球中任取两个球的样本空间中共有10个样本点，记黑球与黄球各得一个的事件为D，其D中包含6个样本点，则P（D）＝＝. （3）因为从袋中任取两个球可得36个样本点，其中两个黑球的样本点是3个，两个黄球的样本点是1个，两个绿球的样本点是6个，于是，两个球同色的概率为＝，则两个球颜色不相同的概率是1－＝. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $