10.1.2 事件的关系和运算-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦“事件的关系和运算”核心知识点，通过掷骰子试验创设情境，定义12个具体事件并设计问题链，引导学生从具体事件中抽象出包含、并、交、互斥、对立等关系，衔接随机事件基础，为概率计算搭建学习支架。 资料以数学抽象和数学建模为核心素养，通过表格对比事件关系的含义、符号与图形，结合“打靶”“抛硬币”等实例解析题型，帮助学生理解抽象概念。分层练习设计兼顾基础与提升，助力教师高效教学，培养学生逻辑思维与问题解决能力。

10.1.2　事件的关系和运算 新课程标准解读 核心素养 了解随机事件的并、交与互斥的含义，会进行简单的随机事件的运算 数学抽象、数学建模 在掷骰子试验中，定义如下事件：C1＝{出现1点}；C2＝{出现2点}；C3＝{出现3点}；C4＝{出现4点}；C5＝{出现5点}；C6＝{出现6点}；D1＝{出现的点数不大于1}；D2＝{出现的点数不大于3}；D3＝{出现的点数不大于5}；E＝{出现的点数小于5}；F＝{出现的点数大于4}；G＝{出现的点数为偶数}；H＝{出现的点数为奇数}. 【问题】　（1）在上述事件中，事件C1与事件C2的并事件是什么？ （2）事件D2与事件G及事件C2间有什么关系？ （3）事件C1与事件C2间有什么关系？ （4）事件E与事件F间有什么关系？ 　 　 　 　 　 　 知识点　两个事件的关系和运算 事件的关系和运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生，B一定发生 A⊆B B包含A，A也包含B A＝B（两事件相等） 事件的关系和运算 含义 符号表示 图形表示 并事件（和事件） A与B至少一个发生 A∪B或A＋B 交事件（积事件） A与B同时发生 A∩B或AB 事件的关系和运算 含义 符号表示 图形表示 互斥（互不相容） A与B不能同时发生 A∩B＝⌀ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝⌀，A∪B＝Ω 提醒　互斥事件与对立事件的区别与联系：①区别，两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：（ⅰ）若事件A发生，则事件B就不发生；（ⅱ）若事件B发生，则事件A就不发生；（ⅲ）事件A，B都不发生.而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则A∪B不一定是必然事件， 即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个；②联系，互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立. 【想一想】 对于三个事件A，B，C至少有一个发生如何用符号表示？同时发生如何表示？ 提示：至少有一个发生可表示为A∪B∪C（或A＋B＋C）； 同时发生可表示为A∩B∩C（或ABC）. 1.打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示（　　） A.全部击中 B.至少击中1发 C.至少击中2发 D.以上均不正确 解析：B　A＝A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.故选B. 2.抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件A＝{至少1枚正面朝上}，事件B＝{至多2枚正面朝上}，事件C＝{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（　　） A.C＝A∩B B.C＝A∪B C.C⊆A D.C⊆B 解析：D　记事件D＝{1枚硬币正面朝上}，事件E＝{2枚硬币正面朝上}，事件F＝{3枚硬币正面朝上}，则A＝D∪E∪F，B＝C∪D∪E，显然C≠A∩B，C≠A∪B，C⊆B，C不含于A.故选D. 3.掷一颗骰子，若事件A：出现奇数点，则A的对立事件为出现偶数点. 解析：掷一颗骰子，事件A：出现奇数点，则A的对立事件为出现偶数点. 题型一 事件的包含关系的判断 【例1】　在掷骰子试验中，可以得到以下事件： A＝{出现1点}；B＝{出现2点}；C＝{出现3点}；D＝{出现4点}；E＝{出现5点}；F＝{出现6点}；G＝{出现的点数不大于1}；H＝{出现的点数小于5}；I＝{出现奇数点}；J＝{出现偶数点}. 请判断下列两个事件的关系： （1）B⊆H；（2）D⊆J； （3）E⊆I；（4）A＝G. 解析：因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B⊆H；同理D⊆J，E⊆I；又易知事件A与事件G相等，即A＝G. 通性通法 　　判断事件之间的包含关系，主要判断表示事件的两集合间的包含关系. 【跟踪训练】 　掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A＝“3次正面向上”，B＝“只有1次正面向上”，C＝“至少有1次正面向上”，试判断事件A，B，C之间的包含关系. 解：当事件A发生时，事件C一定发生， 当事件B发生时，事件C一定发生， 因此有A⊆C，B⊆C； 当事件A发生时，事件B一定不发生， 当事件B发生时，事件A一定不发生， 因此事件A与事件B之间不存在包含关系. 综上，事件A，B，C之间的包含关系为A⊆C，B⊆C. 题型二 事件的运算 【例2】　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球，1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”.问： （1）事件D与A，B是什么样的运算关系？ 解：对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B. （2）事件C与A的交事件是什么事件？ 解：对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个均为红球，故C∩A＝A. 通性通法 进行事件运算时应注意的问题 （1）进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析； （2）在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理. 【跟踪训练】 （多选）（2024·滨州月考）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球，设事件S＝“第一次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两球颜色相同”，N＝“两球颜色不同”，则（　　） A.S⊆R B.R∩G＝M C.R∪G＝M D.M＝ 解析：CD　S＝“第一次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，则R⊆S，A不正确；R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，两个事件没有公共的基本事件，R∩G＝⌀，B不正确；R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两球颜色相同”，R或G表示摸的两个球的颜色相同，即R∪G＝M，C正确；M＝“两球颜色相同”，N＝“两球颜色不同”，由对立事件的定义知M＝，D正确.故选C、D. 题型三 互斥事件与对立事件的判断 【例3】　（1）同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且都不是6点”的对立事件为（　C　） A.一个是5点，另一个是6点 B.一个是5点，另一个是4点 C.至少有一个是5点或6点 D.至多有一个是5点或6点 解析：同时抛掷两枚均匀的骰子，可能出现的结果共有36个，“都不是5点且都不是6点”包含16个样本点，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”，故选C. （2）（多选）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（　BD　） A.2个小球不全为红球 B.2个小球恰有1个红球 C.2个小球至少有1个红球 D.2个小球都为绿球 解析：从装有红色、绿色和蓝色小球各2个的口袋内，一次任意取出2个小球，这两个小球可能为2个红色球、2个绿色球、2个蓝色球、1个红色1个蓝色、1个红色1个绿色、1个蓝色1个绿色共6种情况，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有：2个小球恰有1个红球；2个小球都为绿球，而2个小球不全为红球与事件2个小球都为红色是对立事件；2个小球至少有1个红球包括2个红色球、1个红色1个蓝色、1个红色1个绿色，则选项C与“2个小球都为红色”不互斥.故选B、D. 通性通法 辨析互斥事件与对立事件的思路 （1）从发生的角度看：①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生；②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生. （2）从事件个数的角度看：互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件. 【跟踪训练】 1.某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶的互斥不对立事件是（　　） A.至少有一次中靶 B.三次都不中靶 C.恰有两次中靶 D.至少两次中靶 解析：C　至多一次中靶包含没有中靶和恰有一次中靶，至少有一次中靶，包含恰有一次，两次，三次中靶三种情况，两者都包含了恰有一次中靶，故不是互斥事件，A错误；三次都不中靶包含于至多有一次中靶，故不是互斥事件，B错误；恰有两次中靶，与至多有一次中靶不可能同时发生，但不对立，属于互斥不对立事件，C正确；至少两次中靶与至多有一次中靶为对立事件，故D错误.故选C. 2.袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则：①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中，是对立事件的为②. 解析：①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件. 1.若干人站成一排，其中为互斥事件的是（　　） A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙站排尾” C.“甲站排头”与“乙不站排头” D.“甲不站排头”与“乙不站排头” 解析：A　根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件. 2.掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不小于5}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是（　　） A.A⊆B B.A∩B＝{出现的点数为6} C.事件A与B互斥 D.事件A与B对立 解析：B　由题意事件A表示出现的点数是5或6；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为6}. 3.（2024·洛阳月考）某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（　　） A.至多有1次中靶 B.2次都中靶 C.2次都不中靶 D.只有1次中靶 解析：C　对立事件的定义是：A，B两件事不能同时发生，但必须有一件事发生，则A，B是对立事件，事件：至少有1次中靶包括恰有1次中靶和2次都中靶，所以对立事件是2次都不中靶.故选C. 4.从某大学数学系图书室中任选一本书，设A＝{数学书}；B＝{中文版的书}；C＝{2023年后出版的书}.问： （1）A∩B∩表示什么事件？ （2）在什么条件下有A∩B∩C＝A？ （3）⊆B表示什么意思？ 解：（1）A∩B∩＝{2023年或2023年前出版的中文版的数学书}. （2）在“图书室中所有数学书都是2023年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A. （3）⊆B表示2023年或2023年前出版的书全是中文版的. 1.一个射手进行一次射击，事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数大于5，则（　　） A.A与B是互斥事件 B.A与B是对立事件 C.A⊆B D.A⊇B 解析：C　事件A：命中环数大于8即命中9或10环；事件B：命中环数大于5即命中6或7或8或9或10环，故A⊆B.故选C. 2.从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A，则A的对立事件是（　　） A.至多有一件次品 B.两件全是正品 C.两件全是次品 D.至多有一件正品 解析：B　从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A，则A的对立事件是两件全是正品. 3.从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A表示“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（　　） A.所取的3个球中至少有一个白球 B.所取的3个球中恰有2个白球、1个黑球 C.所取的3个球都是黑球 D.所取的3个球中恰有1个白球、2个黑球 解析：B　从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，事件A的互斥事件是所取的3个球中白球多于1个，所以事件A的互斥事件是所取的3个球中恰有2个白球、1个黑球. 4.（2024·泰安月考）从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，记“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件B，则A＋B和A∪B包含的样本点个数分别为（　　） A.1，6 B.4，2 C.5，1 D.6，1 解析：C　从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}.其中事件A包含的样本点有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个.事件B包含的样本点有：（1，3），（2，4），共2个.所以事件A＋B包含的样本点有：（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5个.事件A∪B包含的样本点有：（2，4），共1个.故选C. 5.（多选）下列各组事件中是互斥事件的是（　　） A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6 B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分 C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒 D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70% 解析：ACD　对于A，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6不可能同时发生，故A中两事件为互斥事件；对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件；对于C，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件；对于D，检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%不可能同时发生，故D中两事件为互斥事件.故选A、C、D. 6.（多选）（2024·珠海月考）抛掷一枚骰子，事件A表示“向上的点数是1或2”，事件B表示“向上的点数是2或3”，事件C表示“向上的点数不大于4”，则下列说法正确的是（　　） A.A∪B＝C B.A∩C＝A C.A∩B表示事件“向上的点数是2” D.A∪B∪＝Ω 解析：BC　由题意知，A＝{1，2}，B＝{2，3}，C＝{1，2，3，4}，则A∪B＝{1，2，3}，故A不正确；A∩C＝{1，2}＝A，故B正确；A∩B＝{2}，表示随机事件“向上的点数为2”，故C正确；＝{5，6}，A∪B∪＝{1，2，3，5，6}，而Ω＝{1，2，3，4，5，6}，故D不正确. 7.设事件A为“至少做完三套练习题”，则A的对立事件为②.（填序号） ①至多做完三套练习题；②至多做完两套练习题；③至多做完四套练习题；④至少做完两套练习题. 解析：至少做完3套练习题包含做完3，4，5，6，…套练习题，故它的对立事件为做完0，1，2套练习题，即至多做完2套练习题. 8.在随机抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中，设事件A＝“出现不大于4的偶数点”，事件B＝“出现小于6的点数”，则事件A∪的含义为出现2，4，6点，事件A∩B的含义为出现2，4点. 解析：易知＝“出现6点”，则A∪＝“出现2，4，6点”，A∩B＝“出现2，4点”. 9.甲、乙两个元件构成一串联电路，设E＝“甲元件故障”，F＝“乙元件故障”，则表示电路有故障的事件为E∪F；表示电路无故障的事件为∩. 解析：因为该电路为两个电子元件串联，如图所示， 由题意知＝“甲元件无故障”，＝“乙元件无故障”，则表示电路有故障的事件为E∪F，表示电路无故障的事件为∩. 10.抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E. （1）试判断事件A与事件B，C，E的关系； （2）试求A∩D，B∪C所包含的样本点，并判断A∩D与B∪C的关系. 解：（1）事件A为“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，两次反面向上”“两次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三个基本事件， 所以B⊆A，C⊆A，E⊆A，A＝B∪C∪E. （2）“至少一次反面向上”为事件D，包含“一次正面向上，两次反面向上”“两次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三个基本事件，可以看出事件A与事件D有相同的两个基本事件，即“一次正面向上，两次反面向上”“两次正面向上，一次反面向上”，故A∩D＝{一次正面向上两次反面向上，两次正面向上一次反面向上}，B∪C＝{一次正面向上两次反面向上，两次正面向上一次反面向上}，所以A∩D＝B∪C. 11.如果事件A，B互斥，那么（　　） A.A∪B是必然事件 B.∪是必然事件 C.与一定互斥 D.与一定不互斥 解析：B　如图所示，因为事件A，B互斥，所以∪＝Ω是必然事件，故选B. 12.盒子内有3个红球，2个白球，1个黑球，从中任取2个球，则下列选项中的两个事件互斥而不对立的是（　　） A.“至少有1个白球”和“至多有1个白球” B.“至少有1个白球”和“至少有1个红球” C.“至少有1个白球”和“没有白球” D.“至少有1个白球”和“红球、黑球各1个” 解析：D　当取出的2个球是1白1红时，A中两个事件同时发生，所以A中的两个事件不是互斥事件，此时B也一样，所以排除A、B；C中，两个事件不可能同时发生，但是必有一个发生，所以C中的两个事件是互斥且对立事件，所以排除C；D中，两个事件不可能同时发生，但是当取出的2个球都是红球时，这两个事件都没有发生，所以D中的两个事件是互斥事件但不是对立事件. 13.生产某种产品需要2道工序，设事件A＝“第一道工序加工合格”，事件B＝“第二道工序加工合格”，事件D＝（A∩）∪（∩B）∪（∩）表示的含义是产品不合格. 解析：事件D＝（A∩）∪（∩B）∪（∩）表示的是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格，所以事件D表示“产品不合格”. 14.有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A＝“只订甲报”，事件B＝“只订乙报”，事件C＝“至少订一种报纸”，事件D＝“至多订一种报纸”，事件E＝“一种报纸也没订”，事件F＝“两种报纸都订”.根据上述事件回答下列问题： （1）请列举出具有包含关系的事件； （2）用和事件的定义判断上述事件中哪些是和事件； （3）从上述事件中找出成对的互斥事件和对立事件. 解：（1）“至少订一种报纸”包含“只订甲报”，即A⊆C. 同理，B⊆C，F⊆C，A⊆D，B⊆D，E⊆D. （2）由题意及事件的相互关系可知，C＝A∪B∪F，D＝A∪B∪E. （3）由互斥事件及对立事件的定义知，互斥事件有A和B，A和E，A和F，B和E，B和F，E和F，D和F，C和E；对立事件有C和E，D和F. 15.（2024·丽水月考）如图是一个连有电灯的含有三个开关的电路.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝B∩（C∪D）（或（BC）∪（BD））.（用B，C，D间的运算关系式表示） 解析：要使电灯变亮，则开关Ⅰ必须闭合，且开关Ⅱ和Ⅲ中至少有一个闭合，即要使“事件B发生”且“事件C发生或事件D发生”，用符号表示为B∩（C∪D）.也可分类讨论，即开关Ⅰ和Ⅱ闭合或开关Ⅰ和Ⅲ闭合，即事件BC发生或事件BD发生，用符号表示为（BC）∪（BD）. 16.某连锁火锅城开业之际，为吸引更多的消费者，开展抽奖活动，前20位顾客可参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘（上面扇形的圆心角都相等），顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品，最高120元，每人只能参加一次这个活动.记事件A：“获得不多于30元菜品或饮品”. （1）求事件A包含的基本事件； （2）写出事件A的对立事件，以及一个事件A的互斥事件. 解：（1）事件A包含的基本事件有：{获得10元菜品或饮品}，{获得20元菜品或饮品}，{获得30元菜品或饮品}. （2）事件A是获得不多于30元菜品或饮品，它的对立事件获得多于30元但不多于120元的菜品或饮品，即事件：“获得多于30元但不多于120元菜品或饮品”， 在获得的菜品或饮品多于30元且不多于120元中的任何一个都与事件A互斥，如事件A的一个互斥事件为：“获得40元菜品或饮品”. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $