10.1.1 有限样本空间与随机事件-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦“有限样本空间与随机事件”核心知识点，以体育彩票摇奖实例导入，通过提问引导学生思考试验结果，梳理随机试验、样本点、样本空间及事件的概念，为概率学习搭建基础支架。 该资料以生活实例（如彩票摇奖、掷骰子）为载体，通过数学抽象构建样本空间概念，结合数学建模分析随机事件关系，题型涵盖事件判断、样本点确定等，培养学生用数学眼光观察、思维思考的能力，助力教师高效教学，提升学生抽象与应用意识。

第十章 概率 10.1　随机事件与概率 10.1.1　有限样本空间与随机事件 新课程标准解读 核心素养 1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义 数学抽象 2.理解随机事件与样本点的关系 数学建模 　　体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同的小球标上号码，分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，然后放入摇奖器中经过充分搅拌后先后摇出两个小球. 【问题】　观察两个小球的号码，你知道这个试验的结果有几种情况吗？ 　 　 　 　 　 　 知识点一　随机试验及样本空间 1.随机试验的概念和特点 （1）随机试验：我们把对　随机现象　的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母　E　表示. （2）随机试验的特点： ①试验可以在相同条件下　重复　进行； ②试验的所有可能结果是　明确可知　的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 【想一想】 随机试验在相同条件下重复进行时所得结果一样吗？ 提示：所得结果是随机的，但所有可能结果是一样的. 2.样本点和样本空间 定义 字母表示 样本点 随机试验E的每个　可能　的　基本结果　称为样本点 用　ω　表示样本点 样本空间 全体　样本点　的集合称为试验E的样本空间 用　Ω　表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间 Ω＝{ω1，ω2，…，ωn} 提醒　对样本点和样本空间的再理解：①样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；②只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间. 知识点二　三种事件的定义 随机 事件 我们将样本空间Ω的　子集　称为随机事件，简称事件，并把只包含　一个　样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 必然 事件 Ω作为自身的子集，包含了　所有　的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 不可能 事件 空集⌀不包含　任何　样本点，在每次试验中都不会发生，我们称⌀为不可能事件 1.下列事件：①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形；②经过有信号灯的路口，遇上红灯；③下周六是晴天.其中是随机事件的是（　　） A.①②　　　B.②③ C.①③　　　D.② 解析：B　①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形是必然事件；②经过有信号灯的路口，可能遇上红灯也可能不遇上红灯，是随机事件；③下周六可能是晴天也可能不是晴天，是随机事件.故选B. 2.从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（　　） A.3件都是正品 B.至少有1件次品 C.3件都是次品 D.至少有1件正品 解析：D　将抽到正品记为1，次品记为0，则样本空间Ω＝{（1，1，0），（1，0，0），（1，1，1）}，因此至少有1件正品为必然事件. 3.“袋子中有红、黄、蓝三个小球，从中取出两个球，观察颜色”这一试验的样本空间为{（红，黄），（红，蓝），（黄，蓝）}. 解析：袋子中有红、黄、蓝三个小球，从中取出两个球，观察颜色，可能的组合有：（红，黄），（红，蓝），（黄，蓝），故该试验的样本空间为{（红，黄），（红，蓝），（黄，蓝）}. 题型一 事件类型的判断 【例1】　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： （1）三角形的两边之和大于第三边； 解：所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件. （2）没有空气和水，人类可以生存下去； 解：空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件. （3）从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签； 解：任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任意一张，所以是随机事件. （4）科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现. 解：由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件. 通性通法 判断一个事件是哪类事件的方法 （1）看条件：因为三种事件都是相对于一定条件而言的； （2）看结果是否发生：一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件. 【跟踪训练】 （2024·开封月考）从1，2，3，…，10这10个数中任取3个不同的数，那么事件“这三个数的和大于10”是（　　） A.必然事件　 B.不可能事件 C.随机事件 D.以上选项均不正确 解析：C　因为从1，2，3，…，10这10个数中任取3个不同的数，这3个数的和可能小于10，可能等于10，也有可能大于10，所以事件“这三个数的和大于10”是随机事件，故选C. 题型二 确定试验的样本点与样本空间 【例2】　写出下列试验的样本空间： （1）同时抛掷三枚质地均匀的骰子，记录三枚骰子出现的点数之和； 解：该试验的样本空间Ω1＝{3，4，5，…，18}. （2）从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果； 解：该试验所有可能的结果如图所示， 因此，该试验的样本空间Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}. （3）将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点用（x，y）表示，其中x表示第一次抛掷出现的点数，y表示第二次抛掷出现的点数.用集合表示事件“出现的点数之和大于8”. 解：列出抛掷两次骰子出现点数和对应的表： 由表可知“出现的点数之和大于8”可用集合表示为{（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}. 通性通法 写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法 （1）列举法：适用于样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏； （2）树状图法：适用于较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步（两步及两步以上）完成的结果可以用树状图进行列举； （3）列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏. 【跟踪训练】 1.一个家庭生两个小孩，所有的样本点有（　　） A.（男，女），（男，男），（女，女） B.（男，女），（女，男） C.（男，男），（男，女），（女，男），（女，女） D.（男，男），（女，女） 解析：C　把第一个孩子的性别写在前面，第二个孩子的性别写在后面，则所有的样本点是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），故选C. 2.甲、乙两人做猜拳游戏（锤子、剪刀、布）.求该事件的样本空间. 解：样本空间Ω＝{（锤子，锤子），（锤子，剪刀），（锤子，布），（剪刀，锤子），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子），（布，剪刀），（布，布）}. 题型三 随机事件的含义 【例3】　柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚.指出下列随机事件的含义： （1）M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}； 解：事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”. （2）N＝{A1B1，B1C1，A1C1}； 解：事件N的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”. （3）P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}. 解：事件P的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成双”. 通性通法 　　解答此类题目，要首先理解题意，清楚试验过程及样本空间，以及事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定事件的含义. 【跟踪训练】 　在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义： （1）事件A＝{（1，3），（2，3），（3，3），（4，3），（5，3），（6，3）}； 解：事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中， 故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3. （2）事件B＝{（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3）}； 解：事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中， 故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6. （3）事件C＝{（1，3），（3，1），（4，2），（2，4），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4）}. 解：事件C中所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件C中， 故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2. 1.以下事件中不是随机事件的是（　　） A.在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两次，两次都出现反面 B.明天下雨 C.连续两次抛掷同一枚骰子，两次都出现2点 D.平面四边形的内角和是360° 解析：D　因为平面四边形的内角和是360°是一个确定的事实，而其他三个都是随机出现的，所以选项D不符合题意，故选D. 2.（2024·青岛月考）集合A＝{2，3}，B＝{1，2，4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为（　　） A.8 B.9 C.12 D.11 解析：D　从A，B中各任意取一个数，可构成12，21，22，24，42，13，31，23，32，34，43，共11个样本点. 3.用红、黑、黄3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，若事件A＝{（红，红），（黑，黑），（黄，黄）}，则事件A的含义是甲、乙两个小球所涂颜色相同. 4.从标有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，观察取出的卡片上的数字. （1）写出这个试验的样本空间； （2）求这个试验的样本点的总数； （3）“数字之和为5”这一事件包含哪几个样本点？ 解：（1）这个试验的样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}. （2）样本点的总数是10. （3）“数字之和为5”这一事件包含以下两个样本点：（1，4），（2，3）. 1.下列事件为随机事件的是（　　） A.投掷一枚骰子，向上一面的点数小于7 B.投掷一枚骰子，向上一面的点数等于7 C.下周日下雨 D.在标准大气压下，水加热到100 ℃沸腾 解析：C　A、D中事件为必然事件；B中事件为不可能事件；C中事件为随机事件. 2.试验E：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（　　） A.{10，11，…，99} B.{1，2，…，18} C.{0，1，…，18} D.{1，2，…，10} 答案：B 3.已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中任取两个不相同的数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有（　　） A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 解析：C　事件“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0.又集合A中有9个非零数，故选C. 4.（2024·佛山月考）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X＞4”表示试验的结果为（　　） A.第一枚为5点，第二枚为1点 B.第一枚为5或6点，第二枚为1点 C.第一枚为6点，第二枚为1点 D.第一枚为1点，第二枚为6点 解析：C　“X＞4”即“X＝5”表示的试验结果为“第一枚为6点，第二枚为1点”.故选C. 5.一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球，则k的最小值为（　　） A.10 B.15 C.16 D.17 解析：C　为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球，需满足k－1≥7＋8，即k的最小值为16.故选C. 6.（多选）袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是基本事件的是（　　） A.取出的两球标号为3和7 B.取出的两球标号的和为4 C.取出的两球标号都大于3 D.取出的两球标号的和为8 解析：ABC　取出的两球标号为3和7是基本事件，故选项A正确；取出的两球标号的和为4，指取出的两球标号为1和3，是基本事件，故选项B正确；取出的两球标号都大于3，指取出的两球标号为5和7，是基本事件，故选项C正确；取出的两球标号的和为8包括取出的两球标号为1和7、3和5，是两个样本点，故选项D不正确.故选A、B、C. 7.在装有4个红球和2个白球的盒子中，任意取一球，则事件“取出的球是白球”为随机事件（填“必然”“随机”或“不可能”）. 解析：由于是任意取一球，所以是随机事件. 8.从长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条（抽取不分先后），设事件A＝“取出的三条线段能构成一个三角形”，则事件A包含的样本点有4个. 解析：由题意知，A＝{（2，4，5），（4，5，7），（4，7，9），（5，7，9）}，共包含4个样本点. 9.笼子中有4只鸡和3只兔，依次随机抽取，每次只取一只，直到3只兔全部被取出.记录剩余动物的脚的只数，则该试验的样本空间为{0，2，4，6，8}. 解析：由题意知，最少取3次，最多取7次，那么剩余鸡的只数最多为4，最少为0，所以剩余动物的脚的只数可能是8，6，4，2，0，故样本空间为{0，2，4，6，8}. 10.某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表： 一年级 二年级 三年级 男 A B C 女 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛. （1）用表中字母写出这个试验的样本空间； （2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M包含的样本点. 解：（1）样本空间Ω＝{（A，B），（A，C），（A，X），（A，Y），（A，Z），（B，C），（B，X），（B，Y），（B，Z），（C，X），（C，Y），（C，Z），（X，Y），（X，Z），（Y，Z）}. （2）事件M包含的样本点为（A，Y），（A，Z），（B，X），（B，Z），（C，X），（C，Y）. 11.（2024·泉州月考）将一枚骰子掷两次，若朝上的面先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实数根的样本点个数为（　　） A.36　　　B.30 C.25　　　D.19 解析：D　掷一枚骰子两次，向上的面出现的点数如表所示： 方程x2＋bx＋c＝0有实数根的充要条件为b2－4c≥0，即b2≥4c.由上表可知，共有1＋2＋4＋6＋6＝19个满足题意的样本点. 12.（多选）先后抛掷质地均匀的一角、五角的硬币各一次，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件中包含3个样本点的是（　　） A.至少有一枚硬币正面向上 B.至多有一枚硬币正面向上 C.两枚硬币都正面向上 D.两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上 解析：AB　A中包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上”“一角硬币正面向上，五角硬币反面向上”“一角硬币反面向上，五角硬币正面向上”3个样本点，故A符合题意；B中包括“一角硬币正面向上，五角硬币反面向上”“一角硬币反面向上，五角硬币正面向上”“两个硬币均反面向上”3个样本点，故B符合题意；C中包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上”1个样本点，故C不符合题意；D中包括“一角硬币正面向上，五角硬币反面向上”“一角硬币反面向上，五角硬币正面向上”2个样本点，故D不符合题意.故选A、B. 13.在所有考试中，小明同学的语文、数学、英语这三科的成绩都是优秀或良好.随机抽取一次考试的成绩，记录小明同学的语文、数学、英语这三科成绩的情况. （1）写出该试验的样本空间； （2）用集合表示下列事件： A＝“至少有两科成绩为优秀”； B＝“三科成绩不都相同”. 解：分别用x1，x2，x3表示语文、数学、英语的成绩，则样本点表示为（x1，x2，x3）.用1表示优秀，用0表示良好，则x1，x2，x3∈{0，1}. （1）该试验的样本空间可表示为Ω＝{（x1，x2，x3）｜x1，x2，x3∈{0，1}}，用列举法表示为Ω＝{（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）}. （2）A＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）}； B＝{（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}. 14.班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生. （1）若女生被抽到是必然事件，则a的取值范围为18＜a≤33，a∈N*　； （2）若女生小丽被抽到是随机事件，则a的取值范围为1≤a＜33，a∈N*. 解析：（1）班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生被抽到是必然事件，所以18＜a≤33，a∈N*. （2）班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生小丽被抽到是随机事件，所以1≤a＜33，a∈N*. 15.设有一列单程北上的火车，已知停靠的站点由南至北分别为S1，S2，…，S10，共十站.若甲在S3站买票，乙在S6站买票.设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达站点的集合，B表示乙可能到达站点的集合. （1）写出该事件的样本空间Ω； （2）写出事件A，事件B包含的样本点； （3）铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？ 解：（1）Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}. （2）A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}，B＝{S7，S8，S9，S10}. （3）铁路局需要准备从S1站发车的车票9种，从S2站发车的车票8种，……，从S9站发车的车票1种，合计9＋8＋…＋2＋1＝45（种）. 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $