9.2.4 总体离散程度的估计-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦“总体离散程度的估计”核心知识点，通过甲、乙两种钢筋抗拉强度比较的问题情境导入，衔接前期学习的平均数（集中趋势），以平均距离为起点，逐步构建方差、标准差、极差的概念体系，形成统计描述的完整脉络。 资料以问题驱动教学，结合机床加工零件、分层抽样方差计算等实例，通过题型分类（计算应用、图表综合）培养数据分析与数学运算素养，帮助学生理解离散程度的统计意义，教师可直接利用丰富例题与习题，提升课堂效率和学生应用能力。

9.2.4　总体离散程度的估计 新课程标准解读 核心素养 1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差） 数据分析 2.理解离散程度参数的统计含义 数学运算 　　有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本（如表所示）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2），通过计算发现，两个样本的平均数均为125 kg/mm2. 甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 【问题】　哪种钢筋的质量较好？ 　　 　　 知识点　总体离散程度的估计 1.平均距离 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的　绝对值　作为“距离”，即｜xi－｜（i＝1，2，…，n）作为xi到的“距离”.可以得到这组数据x1，x2，…，xn到的“平均距离”为｜xi－｜. 2.方差、标准差 绝对值改用平方来代替，即（xi－）2＝　－　，我们称为这组数据的　方差　.取它的算术平方根，即，我们称为这组数据的　标准差　. 3.总体方差、总体标准差 如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝　（Yi－）2　为总体方差，S＝　　为总体标准差. 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i＝1，2，…，k），则总体方差为S2＝　fi（Yi－）2　. 4.样本方差、样本标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝　（yi－）2　为样本方差，s＝　　为样本标准差. 提醒　标准差、方差的意义：①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差；②标准差、方差的取值范围是[0，＋∞）.标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性；③因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. 1.下列数字特征不能反映样本数据的离散程度、波动情况的是（　　） A.极差 B.平均数 C.方差 D.标准差 解析：B　平均数描述数据的集中趋势，极差、方差、标准差描述数据的离散程度.故选B. 2.已知有样本数据2，4，5，6，8，则该样本的方差为（　　） A.5 B.4 C.2 D.0 解析：B　平均数为＝5.该样本的方差为＝4.故选B. 3.（2024·济南月考）国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均成绩 8.5 8.8 8.8 8 方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7 则应派丙参赛最为合适. 解析：由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适. 题型一 标准差、方差的计算与应用 【例1】　甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据如下： 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 （1）分别计算两组数据的平均数及方差； 解：＝×（99＋100＋98＋100＋100＋103）＝100， ＝×（99＋100＋102＋99＋100＋100）＝100. ＝×[（99－100）2＋（100－100）2＋（98－100）2＋（100－100）2＋（100－100）2＋（103－100）2]＝， ＝×[（99－100）2＋（100－100）2＋（102－100）2＋（99－100）2＋（100－100）2＋（100－100）2]＝1. （2）根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. 解：两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又＞，所以乙机床加工零件的质量更稳定. 通性通法 1.计算方差常用公式 （1）定义法：s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]； （2）简化法：s2＝[（＋＋…＋）－n]. 2.具有线性关系的数据的平均数和方差 若数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn之间满足关系yi＝axi＋b，且数据x1，x2，…，xn的平均数和方差分别为和s2，那么y1，y2，…，yn的平均数为a＋b，方差为a2s2，标准差为｜as｜. 特别地，若yi＝xi±b，则y1，y2，…，yn的平均数为±b，方差为s2，标准差为s；若yi＝kxi，则y1，y2，…，yn的平均数为k，方差为k2s2，标准差为｜ks｜. 【跟踪训练】 1.现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：A　由s2＝－，得s2＝×100－32＝1，∴s＝1. 2.（2024·开封月考）一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，求原来数据的平均数和方差. 解：法一　设原来的数据为x1，x2，x3，…，xn，则新数据为2x1－80，2x2－80，2x3－80，…，2xn－80，所以＝1.2，所以＝1.2，则原来数据的平均数为＝40.6.[（2x1－80－1.2）2＋（2x2－80－1.2）2＋…＋（2xn－80－1.2）2]＝4.4，即[（2x1－81.2）2＋（2x2－81.2）2＋…＋（2xn－81.2）2]＝4.4，则原来数据的方差为[（x1－40.6）2＋（x2－40.6）2＋…＋（xn－40.6）2]＝[（2x1－81.2）2＋（2x2－81.2）2＋…＋（2xn－81.2）2]＝×4.4＝1.1. 法二　设原数据的平均数为，方差为s2，则数据中的每一个数都乘2，再都减80，得一组新数据后，新数据的平均数为2－80，方差为22s2，由题意得解得 题型二 分层随机抽样的方差 【例2】　甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？ 解：由题意可知＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为w甲＝＝， ＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为w乙＝＝， 则甲、乙两队全部队员的平均体重为 ＝w甲＋w乙＝×60＋×70＝68（kg）， 甲、乙两队全部队员的体重的方差为 s2＝w甲[＋（－）2]＋w乙[＋（－）2] ＝[200＋（60－68）2]＋[300＋（70－68）2]＝296. 通性通法 计算分层随机抽样的方差s2的步骤 （1）确定，，，； （2）确定； （3）应用公式s2＝[＋（－）2]＋[＋（－）2]，计算s2. 【跟踪训练】 　（2024·温州月考）在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如表： 班级 人数 平均分数 方差 甲 30 2 乙 20 3 其中＝，则甲、乙两个班数学成绩的方差为（　　） A.2.2 B.2.6 C.2.5 D.2.4 解析：D　由题意知，甲、乙两个班数学成绩的平均数为＝＝，则两个班数学成绩的方差为s2＝[2＋（－）2]＋[3＋（－）2]＝＋＝2.4.故选D. 题型三 方差、标准差与统计图表的综合应用 【例3】　（2024·周口月考）已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试中的成绩统计如图，则下列说法错误的是（　　） A.若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则＞ B.若甲、乙两组数据的方差分别为，，则＞ C.甲成绩的极差小于乙成绩的极差 D.甲成绩比乙成绩稳定 解析：B　对于A，由折线图可知，甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩，A正确；对于B，由折线图可知，甲同学的成绩较乙同学的成绩更稳定，所以＜，B错误；对于C，由折线图可知，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，C正确；对于D，甲成绩比乙成绩稳定，D正确. 通性通法 统计图中数字特征的求解技巧 　　根据统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的统计意义有关，但一般情况下，整体分布位置较高的平均数大，数据波动性小的方差小. 【跟踪训练】 　甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）的频数条形统计图如图所示.则甲、乙、丙三人训练成绩方差，，的大小关系是（　　） A.＜＜ B.＜＜ C.＜＜ D.＜＜ 解析：A　方差表示数据稳定程度，越稳定方差越小，丙的成绩集中在6环，乙的成绩平均分散，甲的成绩分散在两边，所以丙的成绩最稳定，方差最小；甲的成绩最不稳定，方差最大，所以＜＜. 1.已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的标准差为（　　） A.1　　　　B. 　　　C.　　　　D.2 解析：B　∵＝×（1＋2＋3＋4＋5）＝3，∴s＝＝. 2.若数据x1，x2，…，x9的方差为2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方差为（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 解析：D　数据x1，x2，…，x9的方差s2＝2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方差为22s2＝8.故选D. 3.样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为（　　） A. B. C. D.2 解析：D　依题意得m＝5×1－（0＋1＋2＋3）＝－1，样本方差s2＝×[（－1）2＋02＋12＋22＋（－2）2]＝2，即所求的样本方差为2. 4.在某次考试中，要对甲、乙两名同学的学习成绩进行比较，甲同学的平均分＝76，方差＝4，乙同学的平均分＝77，方差＝10，根据以上数据，你认为哪位同学的平均成绩好？哪位同学的各科发展均衡？ 解：代表平均水平，因为＜，所以乙同学的平均成绩好. s2表示相对于平均成绩的集中与分散、稳定与波动的大小，因为＜，所以甲同学的各科发展均衡. 1.甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是（　　） A.甲 B.乙 C.甲、乙相同 D.不能确定 解析：A　因甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准差3.5小于乙的标准差4.62，即甲每场比赛的得分波动较乙的小，甲发挥更稳定.故选A. 2.（2024·莆田月考）有一农场在同一块稻田中种植一种水稻，连续8年的亩产量（单位：kg）如下：450，430，460，440，450，440，470，460，则其方差为（　　） A.120 B.80 C.15 D.150 解析：D　因为连续8年的亩产量的平均数为×（450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋460）＝450，所以其方差为×[（450－450）2＋（430－450）2＋（460－450）2＋（440－450）2＋（450－450）2＋（440－450）2＋（470－450）2＋（460－450）2]＝150. 3.已知样本容量为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如图所示，则标准差最大的是（　　） 解析：D　选项A中，样本数据都为5，数据没有波动幅度；选项B中，样本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6；选项C中，样本数据为3，3，4，4，5，6，6，7，7；选项D中，样本数据为2，2，2，2，5，8，8，8，8，故标准差最大的是D.也可由样本数据的离散程度的大小反映标准差，从题图中可以看出D中的数据波动最大. 4.已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，若此时平均数为，方差为s2，则（　　） A.＝5，s2＝2 B.＝5，s2＝1.6 C.＝4.9，s2＝1.6 D.＝5.1，s2＝2 解析：B　设这10个数据分别为：x1，x2，…，x7，x8＝4，x9＝5，x10＝6，根据题意＝5⇒x1＋x2＋…＋x7＝35，＝2⇒（x1－5）2＋（x2－5）2＋…＋（x7－5）2＝14，所以＝＝＝5，s2＝＝＝1.6.故选B. 5.（多选）高一某班的同学在学习了“统计”后，进行了交流讨论. 甲同学说：“平均数是刻画一组数据集中趋势最主要的指标.” 乙同学说：“众数刻画了总体中个体的稳定或波动程度.” 丙同学说“方差越小，表明个体越整齐，波动越小.” 丁同学说：“两组样本数据对比分析时，极差较大的一组数据其方差也较大.” 其中说法正确的是（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析：AC　平均数是刻画一组数据集中趋势最主要的指标，甲的说法正确；方差刻画了总体中个体的稳定或波动程度，乙的说法错误；方差越小，表明个体越整齐，波动越小，丙的说法正确；两组样本数据对比分析时，一组数据极差较大不能说明其方差也较大，丁的说法错误.故选A、C. 6.（多选）（2024·金华月考）一组数据x1，x2，…，xn的平均数为6，方差为1，则关于新数据2x1－3，2x2－3，…，2xn－3，下列说法正确的是（　　） A.这组新数据的平均数为6 B.这组新数据的平均数为9 C.这组新数据的方差为1 D.这组新数据的方差为4 解析：BD　由题意得：x1＋x2＋…＋xn＝6n，（x1－6）2＋（x2－6）2＋…＋（xn－6）2＝n，则＝＝9，＝＝4，所以这组新数据的平均数为9，方差为4.故选B、D. 7.为了考查某种小麦的长势，从中抽取10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为16，9，14，11，12，10，16，8，17，19，则这组数据的极差是11. 解析：苗高数据中最大的为19，最小的为8，所以极差为19－8＝11. 8.（2024·广州月考）若一组10个数据a1，a2，…，a10的平均数为3，方差为6，则＋＋…＋＝150. 解析：由题意可知，这10个数据的平均数为＝ai＝3，方差为s2＝（ai－）2＝（－10）＝（－90）＝6，解得＋＋…＋＝＝150. 9.某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组的平均成绩为130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为215.则在这次测试中全班学生方差为265. 解析：依题意＝130，＝115，＝110，＝215，∴＝×130＋×110＝115（分），∴全班学生成绩的方差为s2＝[＋（－）2]＋·[＋（－）2]＝×（115＋225）＋×（215＋25）＝85＋180＝265. 10.某教育集团为了办好让人民满意的教育，每年年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评（满意度最高分120分，最低分0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低）.去年测评的数据如下： 甲校：96，112，97，108，100，103，86，98； 乙校：108，101，94，105，96，93，97，106. （1）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数； （2）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的方差； （3）根据以上数据你认为甲、乙哪所学校人民满意度比较好？ 解：（1）甲学校人民满意度测评数据的平均数为＝×（96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98）＝100， 中位数为＝99， 乙学校人民满意度测评数据的平均数为＝×（108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106）＝100， 中位数为＝99. （2）甲学校人民满意度测评数据的方差为＝×[（96－100）2＋（112－100）2＋…＋（98－100）2]＝55.25， 乙学校人民满意度测评数据的方差为＝×[（108－100）2＋（101－100）2＋…＋（106－100）2]＝29.5. （3）由（1）（2）可知甲、乙两学校人民满意度测评数据的平均数相同，中位数相同，而乙学校人民满意度测评数据的方差小于甲学校的方差，故乙学校人民满意度比较好. 11.甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学各自的五次点数统计结果如下： 甲：平均数为3，中位数为2； 乙：中位数为3，众数为2； 丙：中位数为3，极差为4； 丁：平均数为2，方差为2.4. 通过以上数据可以判断一定没出现6点的是（　　） A.甲　 B.乙 C.丙 D.丁 解析：D　若甲5次出现的点数为：1，1，2，5，6，显然平均数为3，中位数为2，会出现6点；若乙5次出现的点数为：2，2，3，5，6，显然中位数为3，众数为2，会出现6点；若丙5次出现的点数为：2，2，3，5，6，显然中位数为3，极差为4，会出现6点；丁的平均数为2，方差为2.4，当有6点时，＝3.2＞2.4，显然不可能，故选D. 12.在某市高三第一次诊断性考试后，各班级都有外出学习艺体的同学回归校园学习文化课.假设某位回归校园的同学的“一诊”数学成绩刚好是班级平均分，则对该班级的数学成绩，下列说法正确的是（　　） A.平均分变大，方差不变 B.平均分变小，方差不变 C.平均分不变，方差变大 D.平均分不变，方差变小 解析：D　设该班原有n位同学，数学成绩记为a1，a2，a3，…，an，原平均分＝，原方差＝，该同学回归校园后新平均分＝＝＝，即平均分不变.该同学回归校园后新方差＝ ＝＝＜，即方差变小.故选D. 13.（多选）春节7天假期期间，高速公路免费通行.如图是某部门统计的甲、乙两个收费站在第n天的通行车辆数量统计图，则下列结论正确的是（　　） A.甲收费站的平均通行车辆数多于乙收费站的平均通行车辆数 B.甲收费站通行车辆数的极差大于乙收费站通行车辆数的极差 C.甲收费站通行车辆数的中位数大于乙收费站通行车辆数的中位数 D.甲收费站通行车辆数的方差大于乙收费站通行车辆数的方差 解析：AB　对于A，甲收费站的平均通行车辆数为≈1 371，乙收费站的平均通行车辆数为≈1 343，故甲收费站的平均通行车辆数多于乙收费站的平均通行车辆数，故A正确；对于B，甲收费站通行车辆数的极差为2 000－800＝1 200，乙收费站通行车辆数的极差为1 800－800＝1 000，故B正确；对于C，甲收费站通行车辆数为800，1 200，1 200，1 200，1 600，1 600，2 000，中位数为1 200，乙收费站通行车辆数为800，800，1 200，1 600，1 600，1 600，1 800，中位数为1 600，故C错误；对于D，通过方差公式计算甲、乙收费站通行车辆数的方差，可以判断甲收费站通行车辆数的方差小于乙收费站通行车辆数的方差，故D错误. 14.某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，则该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差分别为39.2，20.64. 解析：由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为＝＝45（岁），年龄的方差为＝[3×（58－45）2＋5×（40－45）2＋2×（38－45）2]＝73，所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为＝×38＋×45≈39.2（岁），该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是s2＝[2＋（38－39.2）2]＋·[73＋（45－39.2）2]＝20.64. 15.某市环卫局在A、B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近一周（7天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下： 住户编号 1 2 3 4 5 6 A小区（分钟） 220 180 210 220 200 230 B小区（分钟） 200 190 240 230 220 210 （1）分别计算A、B两个小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差； （2）假设A小区有1 000户，为更好地进行生活垃圾分类，市环卫局与A小区物业及住户协商，初步实施下列方案： 方案一：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错，每位工作人员的月工资按照3 000元（按照28天计算标准）计算； 方案二：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职人员对生活垃圾分类的效果相当于4位普通居民对生活垃圾分类的效果，每位专职人员（每天工作8小时）的月工资按照4 000元（按照28天计算标准）计算. ①若选择方案一，则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？ ②若选择方案二，则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？ ③试分析哪个方案的惠民力度大，更值得推广. 解：（1）＝×（220＋180＋210＋220＋200＋230）＝210（分钟）， ＝×（200＋190＋240＋230＋220＋210）＝215（分钟）， ＝×[（220－210）2＋（180－210）2＋（210－210）2＋（220－210）2＋（200－210）2＋（230－210）2]＝， ＝×[（200－215）2＋（190－215）2＋（240－215）2＋（230－215）2＋（220－215）2＋（210－215）2]＝. （2）①A小区一个月至少需要1 000÷200＝5位工作人员进行检查和纠错，其费用是5×3 000＝15 000（元）， 每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费为＝15（元）. ②由（1）知，A小区平均每位住户每周需要210分钟进行生活垃圾分类， 则A小区全部住户一个月平均需要210×4×1 000＝840 000（分钟）进行生活垃圾分类， 则A小区一个月至少需要专职人员≈16（位）， 则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费为＝64（元）. ③按照每位住户每个月需要承担的生活垃圾分类费来说，选择方案一惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项；对于高档小区的居民，可以选择方案二，这只是方便个别高收入住户. 综上，方案一的惠民力度大，更值得推广. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $