9.2.3 总体集中趋势的估计-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦“总体集中趋势的估计”核心知识点，涵盖众数、中位数、平均数的定义、计算及应用。通过甲、乙、丙厂家家电使用寿命案例导入，联系初中知识引出三家广告称寿命为8年的疑问，搭建新旧知识桥梁，形成学习支架。 资料特色在于结合新课标核心素养，以数据分析、数学运算、数学建模为导向。通过公司工资分析、学生成绩频率分布直方图等实例，引导学生用数学眼光观察数据，用数学思维分析集中趋势参数含义，用数学语言表达结论。题型分层且提供通性通法，助力教师高效教学，培养学生解决实际问题能力。

9.2.3　总体集中趋势的估计 新课程标准解读 核心素养 1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数） 数据分析、数学运算 2.理解集中趋势参数的统计含义 数学运算、数学建模 　　现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种家电产品中各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下（单位：年）：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12. 【问题】　三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？ 　 　 　 　 知识点一　众数、中位数、平均数的定义 1.众数：一组数据中出现次数　最多　的数. 2.中位数：把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处在　中间　位置的数（或中间两个数的　平均数　）. 3.平均数：一组数据的　和　除以数据个数所得到的数. 知识点二　总体集中趋势的估计 1.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关. 2.对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的（图①），那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”（图②），那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”（图③），那么平均数小于中位数.也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边. 3.在频率分布直方图中，　众数　是最高矩形底边中点的横坐标，　中位数　左边和右边的直方图的小矩形的面积应该　相等　，　样本平均数　的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和. 提醒　（1）如果一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的平均数是＋a；mx1，mx2，…，mxn的平均数是m；mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a；（2）平均数、中位数、众数之间的区别：①一组数据中的平均数、中位数都是唯一的；②众数一定是原数据中的数，平均数和中位数都不一定是原数据中的数；③众数可以有一个，也可以有多个，也可以没有.如果在一组数据中有两个或两个以上的数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据的众数. 1.空气质量指数简称AQI，是定量描述空气质量状况的无量纲指数.某市4月30日22时至5月1日5时的空气质量指数的整点报告为70，71，69，70，72，70，68，72，这一时段整点空气质量指数的众数是（　　） A.69 B.70 C.71 D.72 解析：B　观察数据可知，70出现次数最多，所以空气质量指数的众数是70，故选B. 2.样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（　　） A.14 B.16 C.18 D.20 解析：B　将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为16，故选B. 3.数据2，3，5，8，8，10的平均数为6. 解析：2，3，5，8，8，10 的平均数为：＝6. 题型一 众数、中位数、平均数的计算 【例1】　某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数如下所示： 甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26 乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11 则下面结论中正确的是①②（填序号）. ①乙的众数是21；②甲的平均数为21.4；③甲的中位数是24. 解析：把两组数据按从小到大的顺序分别排列，得 甲：8，12，13，20，22，24，25，26，27，37 乙：9，11，13，14，18，19，20，21，21，23 乙中出现最多的数据是21，所以①正确；甲的平均数为＝×（8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37）＝21.4，所以②正确；甲的中位数为×（22＋24）＝23，故③不正确. 通性通法 平均数、众数、中位数的计算方法 　　平均数一般是根据公式来计算的，计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算. 【跟踪训练】 　（2024·郑州月考）给定一组数据15，17，14，10，12，17，17，16，14，12，设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则（　　） A.a＞b＞c B.c＞b＞a C.c＞a＞b D.b＞c＞a 解析：B　将数据从小到大排列：10，12，12，14，14，15，16，17，17，17，平均数a＝（10＋12＋12＋14＋14＋15＋16＋17＋17＋17）＝14.4，中位数b＝＝14.5，众数c＝17，所以c＞b＞a.故选B. 题型二 利用频率分布直方图估计总体的集中趋势 【例2】　某校从参加高一年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示. （1）求这次测试数学成绩的众数； 解：由题图知众数为＝75，则这80名学生的数学成绩的众数为75分. （2）求这次测试数学成绩的中位数. 解：设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03×（x－70），所以x≈73.3，即这80名学生的数学成绩的中位数为73.3分. 【母题探究】 1.（变设问）若本例的条件不变，求这次测试数学成绩的平均数. 解：由本例题图知这次测试数学成绩的平均数为：×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72（分）. 2.（变设问）若本例条件不变，求样本中80分以下的学生人数. 解：分数在[40，80）内的频率为：（0.005＋0.015＋0.020＋0.030）×10＝0.7，所以样本中80分以下的学生人数为80×0.7＝56. 通性通法 用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 （1）众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数； （2）中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数； （3）平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. 【跟踪训练】 　（多选）（2024·济宁月考）随着生活水平的不断提高，我国居民的平均身高也在增长.某市为了调查本市小学一年级男生身高情况，从某小学一年级随机抽取了100名同学进行身高测量，得到频率分布直方图（如图），其中右侧三组小长方形面积满足2S2＝S1＋S3.则下列说法正确的是（　　） A.身高在[130，140）范围内的频率为0.18 B.身高的众数的估计值为115 cm C.身高的中位数的估计值为125 cm D.身高的平均数的估计值为121.8 cm 解析：ABD　∵前三组的频率分别为0.04，0.08，0.34，∴后三组的频率和为1－（0.04＋0.08＋0.34）＝0.54.∵右侧三组小长方形面积满足2S2＝S1＋S3，设[130，140）的频率为x，∴3x＝0.54，可得x＝0.18，而[140，150]的频率为0.06，则[120，130）的频率为0.3，A正确；由直方图知：频率最高的区间为[110，120），∴身高的众数的估计值为115 cm，B正确；设中位数为a，∵前三组的频率和为0.46，第四组的频率为0.3，∴中位数a在区间[120，130）内，由0.46＋（a－120）×0.03＝0.5得a＝120＋≈121.3 cm，C错误；由题意：身高的平均数为95×0.04＋105×0.08＋115×0.34＋125×0.3＋135×0.18＋145×0.06＝121.8 cm，D正确.故选A、B、D. 题型三 平均数、中位数、众数的应用 【例3】　（2024·杭州月考）据了解，某公司的33名职工月工资（单位：元）如下： 职务 董事长 副董事长 董事 人数 1 1 2 工资 11 000 10 000 9 000 职务 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 5 3 20 工资 8 000 6 500 5 500 4 000 （1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数（精确到元）； 解：平均数是：＝4 000＋（7 000＋6 000＋5 000×2＋4 000＋2 500×5＋1 500×3＋0×20）≈4 000＋1 333＝5 333（元）. 中位数是4 000元，众数是4 000元. （2）假设副董事长的工资从10 000元提升到20 000元，董事长的工资从11 000元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少（精确到元）？ 解：平均数是＝4 000＋（26 000＋16 000＋5 000×2＋4 000＋2 500×5＋1 500×3＋0×20）≈4 000＋2 212＝6 212（元）. 中位数是4 000元，众数是4 000元. （3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法. 解：在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能准确反映这个公司员工的工资水平. 通性通法 众数、中位数、平均数的意义 （1）样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大； （2）当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势. 【跟踪训练】 　下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表（每个岗位仅有一人）： 老板 大厨 二厨 采购员 杂工 服务生 会计 6 000元 900元 700元 800元 640元 640元 820元 （1）计算所有人员的周平均收入； 解：周平均收入＝（6 000＋900＋700＋800＋640＋640＋820）＝1 500（元）. （2）这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？为什么？ 解：这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员. （3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的周收入的水平吗？ 解：去掉老板的收入后的周平均收入＝ （900＋700＋800＋640＋640＋820）＝750（元）.这能代表打工人员的周收入水平. 1.（2024·厦门月考）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20）， [20，22.5）， [22.5，25），[25，27.5），[27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间的平均数是（　　） A.23.75 B.23.875 C.24.25 D.23.25 解析：B　平均数为：18.75×0.02×2.5＋21.25×0.10×2.5＋23.75×0.16×2.5＋26.25×0.08×2.5＋28.75×0.04×2.5＝23.875.故选B. 2.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是（　　） A.85，85，85 B.87，85，86 C.87，85，85 D.87，85，90 解析：C　从小到大列出所有数学成绩：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.故选C. 3.（多选）已知一组数据为－2，6，8，x，12，且这组数据的众数为6，那么下列说法正确的是（　　） A.数据的中位数是6 B.数据的平均数是6 C.x＝6 D.x＝8 解析：ABC　众数是指出现次数最多的数据，所以x＝6，将这组数据按从小到大的顺序排列：－2，6，6，8，12，中位数是指处于中间位置的数，即为6，平均数为＝6.故选A、B、C. 4.某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为165，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是2. 解析：数据的和相差了165－105＝60，平均相差＝2，故求出的平均数与实际平均数相差2. 1.已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为（　　） A.1　 B.2 C.3　 D.4 解析：A　因为一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，所以另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为2×2－3＝1.故选A. 2.（2024·清远月考）某射击小组有20人，教练将他们某次射击的数据绘制成如下表格，则这组数据的众数和中位数分别是（　　） 环数 5 6 7 8 9 10 人数 1 2 7 6 3 1 A.7，7 B.8，7.5 C.7，7.5 D.8，6 解析：C　由表格可知，射中7环的有7人，人数最多，所以这组数据的众数为7；这组数据按照从小到大顺序排序，则第10个数据是7，第11个数据是8，所以中位数为＝7.5.故选C. 3.跳水比赛共有7名裁判分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比，一定不会改变的数字特征是（　　） A.众数 B.平均数 C.中位数 D.极差 解析：C　从7个原始评分去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，其平均数、极差、众数都可能会发生改变，不变的数字特征是中位数.故选C. 4.如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，记由该直方图得到的数学考试成绩的众数、中位数和平均数分别为a，b，c，则（　　） A.b＞c＞a B.a＞b＞c C.＞b D.＞c 解析：A　由频率分布直方图可知：众数a＝＝75；中位数应落在[70，80）区间内，则有：0.004×10＋0.018×10＋0.04×（b－70）＝0.5，解得：b＝77；平均数c＝0.004×10×＋0.018×10×＋0.04×10×＋0.032×10×＋0.006×10×＝2.2＋11.7＋30＋27.2＋5.7＝76.8.所以b＞c＞a.故选A. 5.（多选）小华所在的班级共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米，则下列说法正确的是（　　） A.1.65米是该班学生身高的平均水平 B.班上比小华高的学生人数不会超过25 C.这组身高数据的中位数不一定是1.65米 D.这组身高数据的众数不一定是1.65米 解析：ACD　由平均数所反映的意义知A选项正确；由中位数与平均数的关系确定C选项正确；由众数与平均数的关系确定D选项正确；由于平均数受一组数据中的极端值的影响，故B选项错误.因此选A、C、D. 6.已知一组数据按从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么数据的众数是6，平均数是5. 解析：∵中位数为5，∴＝5，解得x＝6.∴该组数据的众数为6，平均数为＝5. 7.（2024·新乡月考）一组数据1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的平均数为4. 解析：根据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷＝3，把这组数据从小到大排列为1，2，2，x，5，10，则＝3，解得x＝4，所以这组数据的平均数为＝×（1＋2＋2＋4＋5＋10）＝4. 8.某校开展“爱我家乡”摄影比赛，9位评委给参赛作品A打出的分数如下：88，89，89，93，92，9，92，91，94.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91.复核员在复核时，发现有一个数的个位数字无法看清.若记分员计算无误，则该数应该是91. 解析：设该数的个位数字为x，则这个数为90＋x，由题意，知最低分为88.若90＋x为最高分，则平均分为≈91.4≠91，故最高分为94，则去掉最高分94和最低分88，平均分为＝91，解得x＝1，故该数为91. 9.某校高一年级举行了一次数学竞赛，为了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图（如图所示），已知得分在[50，60），[90，100]内的频数分别为8，2. （1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值； （2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数. 解：（1）由题意可知，样本容量n＝＝50， y＝＝0.004， x＝0.1－0.016－0.040－0.010－0.004＝0.030. （2）由题中频率分布直方图可知，本次竞赛学生成绩的众数约为75. 设中位数为m，∵（0.016＋0.030）×10＜0.5＜（0.016＋0.030＋0.040）×10，则m∈[70，80）， ∴（0.016＋0.030）×10＋（m－70）×0.040＝0.5， 解得m＝71，即本次竞赛学生成绩的中位数约为71. 本次竞赛学生成绩的平均数约为55×0.16＋65×0.3＋75×0.4＋85×0.1＋95×0.04＝70.6. 10.已知数据x1，x2，…，x200是某市普通职工2023年的年收入，设这200个数据的平均数为x，中位数为y，众数为z，如果再加上该市首富的年收入x201，对于这201个数据，下列说法中正确的是（　　） A.x一定变大，y一定变大，z可能不变 B.x可能不变，y可能不变，z一定不变 C.x可能不变，y一定变大，z可能不变 D.x一定变大，y可能不变，z一定不变 解析：D　因为数据x1，x2，…，x200是某市普通职工2023年的年收入，而x201为该市首富的年收入，则x201会远大于x1，x2，…，x200，故年收入的平均数x一定变大，但中位数y可能不变，也可能稍微变大，众数z一定不变. 11.“小康县”的经济评价标准为：①年人均收入不低于7 000元；②年人均食品支出（单位：元）不高于年人均收入的35%.某县有40万人，年人均收入如表所示，年人均食品支出如图所示，则该县（　　） 年人均收入/元 0 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 16 000 人数/万人 6 3 5 5 6 7 5 3 A.是小康县 B.达到标准①，未达到标准②，不是小康县 C.达到标准②，未达到标准①，不是小康县 D.两个标准都未达到，不是小康县 解析：B　由图表可知年人均收入为（2 000×3＋4 000×5＋6 000×5＋8 000×6＋10 000×7＋12 000×5＋16 000×3）÷40＝7 050（元），达到了标准①；年人均食品支出为（1 400×3＋2 000×5＋2 400×13＋3 000×10＋3 600×9）÷40＝2 695（元），则年人均食品支出占年人均收入的×100%≈38.2%＞35%，未达到标准②，所以该县不是小康县. 12.（多选）（2024·临沂月考）甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人测试成绩的条形图如图所示，则（　　） A.甲运动员测试成绩的中位数等于乙运动员测试成绩的中位数 B.甲运动员测试成绩的众数大于乙运动员测试成绩的众数 C.甲运动员测试成绩的平均数大于乙运动员测试成绩的平均数 D.甲运动员测试成绩的第90百分位数等于乙运动员测试成绩的第90百分位数 解析：AD　甲运动员测试成绩：3次7环，8次8环，5次9环，4次10环.所以中位数为8，众数为8，平均数为＝8.5，第90百分位数为10.乙运动员测试成绩：4次7环，7次8环，4次9环，5次10环.所以中位数为8，众数为8，平均数为＝8.5，第90百分位数为10.故选A、D. 13.（2024·绍兴月考）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是4，4，7，4，8，10，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能值组成的集合为{－9，5，33}. 解析：设丢失的数据为x，则这七个数据的平均数为，众数是4，因为这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，若x≤4，则中位数为4，此时＋4＝2×4，解得x＝－9；若4＜x＜7，则中位数为x，此时＋4＝2x，解得x＝5；若x≥7，则中位数为7，此时＋4＝2×7，解得x＝33.综上可知，丢失数据的所有可能的取值为－9，5，33，其构成的集合为{－9，5，33}. 14.甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示. （1）请填写表格： 平均数 中位数 命中9环及9环以上的次数 甲 乙 （2）从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析： ①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？ ②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？ ③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？ 解：（1）由题图可知，甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 甲的平均数是×（2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10）＝7，中位数是＝7.5，命中9环及9环以上的次数是3. 乙的平均数是×（9＋5＋7＋8＋7＋6＋8＋6＋7＋7）＝7，中位数是＝7，命中9环及9环以上的次数是1. 填表如下： 平均数 中位数 命中9环及9环以上的次数 甲 7 7.5 3 乙 7 7 1 （2）①由（1）知，甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲的成绩较好. ②由（1）知，甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲的成绩较好. ③从题中的折线图看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙在7环上下波动，故甲更有潜力. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $