9.1.2 分层随机抽样-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦分层随机抽样核心知识点，通过高一新生访谈情境导入，对比简单随机抽样缺点，引出分层抽样必要性，衔接已有抽样知识，搭建学习支架。 以问题驱动教学，结合数学建模（设计抽样方案）和数据分析（样本均值计算），例题涵盖概念辨析、比例计算、方案设计，贴合学生生活实际，帮助学生理解适用场景，提升教师教学效率，培养学生解决实际问题能力。

9.1.2　 分层随机抽样 新课程标准解读 核心素养 1.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法 数学建模 2.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值 数据分析 　　某校高一新生共900人，其中男生500人，女生400人.学校想了解高一新生对文史类课程的看法，以便开设相关选修课程，准备从高一新生中抽取45人进行访谈. 【问题】　（1）如果直接采用简单随机抽样，会有什么缺点？ （2）采用怎样的抽样方法较好？ 　 　 　 　 知识点　分层随机抽样 1.定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个　子总体　，每个个体　属于且仅属于　一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为　层　. 2.比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小　成比例　，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 3.平均数的计算公式 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n.我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数和样本平均数分别为 ＝＝Xi，＝＝xi. 第2层的总体平均数和样本平均数分别为 ＝＝Yi，＝＝yi. 总体平均数和样本平均数分别为＝　　，＝　　. 由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此我们可以用 ＝＋估计总体平均数. 在比例分配的分层随机抽样中，＝＝，可得＋＝＋＝. 因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用　样本平均数　估计总体平均数. 提醒　（1）分层随机抽样的实施步骤：第一步，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体；第二步，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样；第三步，把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本. （2）在比例分配的分层随机抽样中需注意两点：①抽样比＝；②可以直接用样本平均数估计总体平均数. 1.某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的体重状况，从男生中随机抽取25人，从女生中随机抽取20人进行调查.这种抽样方法是（　　） A.分层随机抽样　　　　B.抽签法 C.随机数法 D.其他随机抽样 解析：A　从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层随机抽样.故选A. 2.某年级共有男生250人，女生150人，从该年级抽取24人调查他们的身高，考虑到性别对身高发育的影响，则应抽取的男生人数为（　　） A.12 B.15 C.16 D.18 解析：B　由题意得，应抽取的男生人数为24×＝15. 3.某校高一、高二、高三年级共有2 800名学生，为了解暑假学生在家的每天学习情况，计划用分层随机抽样的方法抽取一个容量为56的样本，已知从高二年级学生中抽取的人数为19，则该校高二年级学生人数为950. 解析：设该校高二年级学生人数为x，则＝，解得x＝950. 题型一 分层随机抽样的概念 【例1】　下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是（　　） A.从10名同学中抽取3人参加座谈会 B.红星中学共有学生1 600名，其中男生840名，防疫站对此校学生进行身体健康调查，抽取一个容量为200的样本 C.从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间 D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 解析：B　A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样. 通性通法 分层随机抽样的前提和遵循的两条原则 （1）前提：分层随机抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取； （2）遵循的两条原则： ①每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；②每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比. 【跟踪训练】 　要完成下列两项调查： （1）某社区有100户高收入家庭，210户中收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查有关消费购买力的某项指标； （2）从某中学高一年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况，应采用的抽样方法分别是（　　） A.（1）用简单随机抽样，（2）用分层随机抽样 B.（1）（2）都用简单随机抽样 C.（1）用分层随机抽样，（2）用简单随机抽样 D.（1）（2）都用分层随机抽样 解析：C　因为有关消费购买力的某项指标受家庭收入的影响，而社区家庭收入差距明显，所以（1）用分层随机抽样；从10名体育特长生中抽取3人调查学习情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以（2）用简单随机抽样.故选C. 题型二 分层随机抽样中的计算问题 【例2】　（1）某中学高中部有三个年级，其中高三年级有600人，采用分层随机抽样抽取一个容量为45的样本.已知高一年级抽取15人，高二年级抽取10人，则高中部的总人数是1 350； 解析：因为抽取的样本容量为45，且高一年级抽取15人，高二年级抽取10人，那么高三年级抽取45－15－10＝20人，设高中部学生人数为n，则＝，得n＝＝1 350. （2）分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为6. 解析：＝×3＋×8＝6. 通性通法 进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的关系 （1）＝； （2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比； （3）已知数据x1，x2，…，xm的平均数为，数据y1，y2，…，yn的平均数为，则数据x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均数为＝＋. 【跟踪训练】 1.（2024·厦门月考）某校高二有重点班学生400人，普通班学生800人，为调查总体学生数学成绩的平均值，按比例分配进行分层随机抽样，从重点班抽出20人，从普通班抽出40人，通过计算重点班平均成绩为125分，普通班平均成绩为95分，则高二总体数学成绩平均值为（　　） A.110 B.125 C.95 D.105 解析：D　总体数学成绩平均值为＝105. 2.（2024·济宁质检）已知甲、乙两地人口之比为2∶3，其中甲地人均年收入为8万元，乙地人均年收入为10万元，则甲、乙两地的人均年收入为（　　） A.8 B.9.2 C.10 D.9 解析：B　甲、乙两地的人均年收入为×8＋×10＝9.2（万元）. 题型三 分层随机抽样的方案设计 【例3】　在100个产品中，有一等品20个，二等品30个，三等品50个，现要抽取一个容量为30的样本，请说明抽样过程. 解：先将产品按等级分成三层：第一层，一等品20个；第二层，二等品30个；第三层，三等品50个. 然后确定每一层抽取的个体数，因为抽样比为＝，所以应在第一层中抽取产品20×＝6（个），在第二层中抽取产品30×＝9（个），在第三层中抽取产品50×＝15（个）. 分别给这些产品编号并贴上标签，用抽签法或随机数法在各层中抽取，得到一等品6个，二等品9个，三等品15个，这样就通过分层随机抽样得到了一个容量为30的样本. 通性通法 设计分层随机抽样方案的思路 　　在分层随机抽样中，确定抽样比k是抽样的关键.一般地，按抽样比k＝（N为总体容量，n为样本量）在各层中抽取个体，就能确保抽样的公平性.注意在每层抽样时，应灵活采用简单随机抽样的方法. 【跟踪训练】 某单位有职工400人，其中不到37岁的有128人，37岁至49岁的有184人，50岁及以上的有88人.为了了解这个单位职工血脂高低情况（血脂高低与年龄有关），从中抽取50名职工进行调查，应该怎样抽取？请写出具体的抽样步骤. 解：用分层随机抽样的方法来抽取样本，步骤如下： （1）按年龄将职工分成三层：不到37岁的职工，37岁至49岁的职工，50岁及以上的职工； （2）确定每层应抽取个体的个数，抽样比为＝，则在不到37岁的职工中抽取128×＝16（人），在37岁至49岁的职工中抽取184×＝23（人），在50岁及以上的职工中抽取88×＝11（人）； （3）在各层中分别按简单随机抽样抽取样本； （4）综合每层抽样，组成样本. 1.下列抽样调查中，宜用分层随机抽样的是（　　） A.为了研究班级同学父母的受教育状况，从班级的40名同学中抽取10名同学，调查他们的父母受教育状况 B.为了研究全校同学的肺活量，从全校三个年级的1 500 名同学中抽取50名同学，调查他们的肺活量 C.质量检验员从同一批产品中抽取10%进行质量检查 D.园林绿化人员调查一块的草坪土质，在草坪中提取部分泥土进行检验 解析：B　A.班级的40名同学没有明显差异，不宜用分层随机抽样；B.全校三个年级的1 500名同学有明显的差异，宜用分层随机抽样；C.同一批的产品，没有明显差异，不宜用分层随机抽样；D.同一块的草坪土质没有明显差异，不宜用分层随机抽样.故选B. 2.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层随机抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为14人，则样本容量为（　　） A.15 B.20 C.25 D.30 解析：D　设样本容量为x，由题意得＝，得x＝30，故选D. 3.某校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学生中用分层随机抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（　　） A.18 B.20 C.22 D.30 解析：B　依题意，该校高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生人数比为550∶500∶450＝11∶10∶9，所以抽取的高二年级学生人数为×60＝20.故选B. 4.（2024·广州月考）某校高二年级化生史组合只有2个班，且每班50人，在一次数学测试中，从两个班各随机抽取了20名学生的数学成绩进行分析，统计得在该次测试中，两班中各抽取的20名学生的平均成绩分别为110分和106分，则该组合学生的平均成绩约为108分. 解析：样本中40名学生的平均成绩为×110＋×106＝108（分），所以该组合学生的平均成绩约为108分. 1.某市为了了解职工家庭生活状况，先把职工按所从事的行业分为8类（每类家庭数不完全相同），再对每个行业抽取的职工家庭进行调查，这种抽样方法是（　　） A.简单随机抽样 B.随机数法 C.分层随机抽样 D.不属于以上几类抽样 解析：C　因为职工所从事的行业有明显差异，所以是分层随机抽样.故选C. 2.某校初一有500名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，学校要求他们从四大名著中选一本阅读，其中有200人选《三国演义》，125人选《水浒传》，125人选《西游记》，50人选《红楼梦》，若采用分层随机抽样的方法抽取40名学生分享他们的读后感，则选《西游记》的学生抽取的人数为（　　） A.5 B.10 C.12 D.15 解析：B　根据分层随机抽样的方法，可得选《西游记》的学生抽取的人数为40×＝10. 3.分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行（　　） A.每层等可能抽样 B.每层可以不等可能抽样 C.所有层按同一抽样比等可能抽样 D.所有层抽取的个体数量相同 解析：C　保证每个个体等可能入样是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取. 4.一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，抽出的男运动员平均身高为177.5 cm，抽出的女运动员平均身高为168.4 cm，估计该田径队运动员的平均身高是（　　） A.172.95 cm B.173.6 cm C.172.3 cm D.176 cm 解析：B　依题意，该田径队运动员的平均身高为177.5×＋168.4×＝173.6 cm.故选B. 5.（多选）（2024·泉州月考）某部门为调查学生对学校“延时服务”的满意率，想从全市3个学校按学生数用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本.已知3个学校学生数之比为2∶5∶3，如果从学生数最少的一个学校抽出的个体数是16，则（　　） A.此样本的容量n为20 B.此样本的容量n为80 C.样本中来自学生数最多的学校的有40人 D.样本中来自学生数最多的学校的有24人 解析：BC　因为样本中来自学生数最少的学校有16人，则＝，解得n＝80，故A错误，B正确；样本中来自学生数最多的学校的有80×＝40（人），故C正确，D错误. 6.（多选）某运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若采用分层随机抽样的方法，且不用剔除个体，则样本量n的取值可能是（　　） A.5 B.6 C.20 D.24 解析：BD　因为运动队有足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运动员6人，所以当样本容量为n时，分层随机抽样的抽样比为，则足球运动员为×18＝人，篮球运动员为×12＝人，乒乓球运动员为×6＝人，所以n是6的整数倍，故选B、D. 7.（2024·丽水月考）某班级有50名学生，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为95分. 解析：设20名女学生的平均成绩为分，由题意得50×92＝30×90＋20×，∴＝95. 8.某公司为了调查消费者对某项服务的真实评价，采用分层随机抽样的方法在甲、乙、丙三个城市共抽取了3 600人进行问卷调查，若在甲、乙、丙三个城市抽取的人数分别为a，b，c，且满足a＋c＝2b，则乙城市抽取的人数为1 200. 解析：因为在甲、乙、丙三个城市抽取的人数分别为a，b，c，且满足a＋c＝2b，所以乙城市抽取的人数占总抽取的人数的，所以乙城市抽取的人数为3 600×＝1 200. 9.某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层随机抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表： 产品类型 A B C 产品数量/件 1 300 样本量 130 由于不小心，表格中A、C两种产品的有关数据被污染了，统计员只记得A产品的样本量比C产品的样本量多10，根据以上信息，则C产品的数量为800. 解析：易知抽样比为130∶1 300＝1∶10，即每10件产品中抽取1件产品，又A产品的样本量比C产品的样本量多10，故C产品的数量是[（3 000－1 300）－100]×＝800（件）. 10.某网站针对“2024年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下： 支持A方案 支持B方案 支持C方案 35岁以下的人数 200 400 800 35岁以上（含35岁）的人数 100 100 400 （1）从所有参与调查的人中，用分层随机抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值； （2）从支持B方案的人中，用分层随机抽样的方法抽取5人，在这5人中35岁以上（含35岁）的人数是多少？35岁以下的人数是多少？ 解：（1）由题意得 ＝， 解得n＝40. （2）35岁以下的人数为×5＝4，35岁以上（含35岁）的人数为×5＝1. 11.（多选）（2024·烟台月考）已知某地区有小学生120 000人，初中生75 000人，高中生55 000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，对小学生、初中生、高中生进行按比例分配的分层随机抽样，抽取一个容量为2 000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%，则下列说法中正确的有（　　） A.从高中生中抽取了440人 B.每名学生被抽到的概率为 C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60% D.估计高中生的近视人数约为44 000 解析：ABD　由题意得，抽样比为＝，故B正确；从高中生中抽取了55 000×＝440（人），故A正确；高中生近视人数约为55 000×80%＝44 000（人），故D正确；学生总人数为250 000人，小学生占比为＝，同理，初中生、高中生分别占比为，，在样本中，小学生、初中生和高中生分别抽取960人，600人和440人，则近视人数为960×30%＋600×70%＋440×80%＝1 060（人），所以估计该地区中小学生总体的平均近视率为＝53%，故C错误. 12.调查显示，某地区共享电动车的使用者中，年龄在50岁以上的占15%，共900人，年龄在25～50岁的有4 500人，其余使用者的年龄均在25岁以下.现从所有使用者中随机抽取40人，调查他们对共享电动车的使用感受，则适合采用的抽样方法为分层随机抽样；年龄在25岁以下的使用者中抽取的人数为4. 解析：因为总体由差异明显的各层组成，故应采用分层随机抽样；由题可得，总人数为900÷15%＝6 000，所以年龄在25岁以下的人数为6 000－4 500－900＝600，根据分层随机抽样的定义可得年龄在25岁以下的使用者中抽取的人数为40×＝4. 13.某校在全校开展党史学习教育活动并进行问卷测试，已知该校高一年级有学生1 200人，高二年级有学生960人，高三年级有学生840人.为了解全校学生问卷测试成绩的情况，按年级进行分层随机抽样得到容量为100的样本. （1）求在各年级中应分别抽取的人数； （2）如果高一、高二、高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分，80分，90分，求该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分. 解：（1）该校共有学生1 200＋960＋840＝3 000（人）， 则高一年级应抽取100×＝40（人）， 高二年级应抽取100×＝32（人）， 高三年级应抽取100×＝28（人）. （2）全体学生本次问卷测试成绩的平均分为×85＋×80＋×90＝84.8（分）. 14.（2024·洛阳质检）已知样本x1，x2，…，xn的平均数为，样本y1，y2，…，ym的平均数为（≠）.若样本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均数z＝a＋（1－a），其中＜a＜1，则n，m（n，m∈N*）的大小关系为（　　） A.n＝m B.n≤m C.n＞m D.n＜m 解析：C　由题意可知，＝＋＝a＋（1－a），所以a＝.又＜a＜1，所以＞1－a＞0，即1－a＜a，则＞，故n＞m. 15.为了对某课题进行研究，分别从A，B，C三所高校中用分层随机抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A有m名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授（其中0＜m≤72≤n）. （1）若A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，求m，n； （2）若高校B中抽取的教授人数是高校A和C中抽取的教授总人数的，求三所高校教授的总人数. 解：（1）∵0＜m≤72≤n，A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，∴高校B中抽取2名教授，高校A中抽取1名教授，高校C中抽取3名教授，∴＝＝，解得m＝36，n＝108. （2）∵高校B中抽取的教授人数是高校A和C中抽取的教授总人数的， ∴（m＋n）＝72，解得m＋n＝108， ∴三所高校教授的总人数为m＋n＋72＝180. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $