8.6.3 第2课时 平面与平面垂直的性质-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦平面与平面垂直的性质定理，通过教室黑板与地面垂直、长方体中平面垂直等生活及模型实例导入，衔接面面垂直的判定，搭建从直观感知到抽象归纳的学习支架。 资料以直观想象为基础，借助实例与模型帮助学生建立空间观念，通过定理推导和例题训练逻辑推理能力，题型涵盖垂直关系转化与综合应用，助力学生掌握转化思想，教师使用可高效落实核心素养，提升教学效果。

第2课时　平面与平面垂直的性质 新课程标准解读 核心素养 1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系 直观想象 2.归纳出平面与平面垂直的性质定理 逻辑推理 1.在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，黑板的左右两边也与地面垂直. 2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD. 【问题】　通过上述实例，你能总结出面面垂直的一条性质吗？ 　　 　　 　　 知识点　平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的　交线　，那么这条直线与另一个平面　垂直　 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，　a⊂α　，　a⊥l　⇒a⊥β 图形语言 提醒　（1）定理成立的条件有三个：①两个平面互相垂直；②直线在其中一个平面内；③直线与两平面的交线垂直；（2）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直；（3）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直. 【想一想】 如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线，正确吗？ 提示：正确. 1.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（　　） A.α∥γ B.α⊥γ C.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能 解析：D　在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D. 2.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，在平面ABB1A1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则（　　） A.ME⊥平面ABCD B.ME⊂平面ABCD C.ME∥平面ABCD D.以上都有可能 解析：A　∵M∈平面ABB1A1，E∈AB，即E∈平面ABB1A1，∴ME⊂平面ABB1A1，又平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，ME⊥AB，∴ME⊥平面ABCD.故选A. 3.平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是平行. 解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n. 题型一 垂直关系的相互转化 【例1】　已知m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题： ①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β； ②若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m； ③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β. 其中正确的命题为（　　） A.①② B.③ C.②③ D.①②③ 解析：B　对于①，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不能得到n⊥β，故①不正确；对于②，如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，平面DCC'D'⊥平面ABCD，平面ABC'D'与平面DCC'D'的交线为C'D'，与平面ABCD的交线为AB，但C'D'∥AB，故②不正确；对于③，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β，故③正确. 通性通法 垂直关系的转化 　　空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的，它们之间的转化关系如下： 【跟踪训练】 （多选）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　） A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β D.若α⊥γ，α∥β，则β⊥γ 解析：CD　由线面平行、垂直的有关知识可排除A、B；对于C，因为m∥α，过m作平面γ交α于m'，则m'∥m，由于m⊥β，故m'⊥β，又m'⊂α，则α⊥β，所以C正确，对于D显然正确，故选C、D. 题型二 平面与平面垂直的性质及应用 【例2】　（2024·信阳月考）如图，点P为四边形ABCD所在平面外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点. 求证：（1）PE⊥平面ABCD； 证明：因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD， 所以PE⊥平面ABCD. （2）平面PBE⊥平面ABCD. 证明：由（1）知PE⊥平面ABCD， 又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD. 通性通法 1.面面垂直线面垂直线线垂直. 由面面垂直证明线面垂直，一定注意两点：①直线必须在其中一个平面内；②直线必须垂直两平面交线. 2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线. 【跟踪训练】 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1. 证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1为平行四边形， 因为BC＝CC1，所以四边形BCC1B1为菱形， 所以B1C⊥BC1， 又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1，B1C⊂平面BCC1B1， 所以B1C⊥平面A1BC1， 因为B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1. 题型三 空间垂直关系的综合应用 【例3】　如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，点E，F分别是CD，PC的中点. 求证：（1）PA⊥平面ABCD； 证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥平面ABCD. （2）BE∥平面PAD； 证明：因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD. 又BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD. （3）平面BEF⊥平面PCD. 证明：由（2）知四边形ABED为平行四边形，因为AB⊥AD， 所以四边形ABED为矩形，所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由（1）知PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD. 因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD. 因为点E，F分别是CD，PC的中点，所以PD∥EF， 所以CD⊥EF，又EF∩BE＝E， 所以CD⊥平面BEF. 因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD. 通性通法 1.熟练掌握垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路. 2.垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，再利用线线垂直证明. 【跟踪训练】 如图，边长为2的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC. （1）求证：AM⊥平面EBC； 解：证明：因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACDE. 又AM⊂平面ACDE，所以BC⊥AM. 因为四边形ACDE是正方形，所以AM⊥CE.又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC. （2）求直线EC与平面ABE所成角的正切值. 解：取AB的中点F，连接CF，EF. 因为EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC， 平面ACDE∩平面ABC＝AC， 所以EA⊥平面ABC， 因为CF⊂平面ABC， 所以EA⊥CF. 又AC＝BC，所以CF⊥AB. 因为EA∩AB＝A，所以CF⊥平面AEB， 所以∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角. 在Rt△CFE中，CF＝，FE＝， tan∠CEF＝＝＝. 1.下列命题中错误的是（　　） A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 解析：D　如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D中命题错误. 2.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1（　　） A.平行 B.共面 C.垂直 D.不垂直 解析：C　如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1.故选C. 3.如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是45°. 解析：如图，过A作AO⊥BD于点O，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°. 4.如图，在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC. 证明：因为平面PAC⊥平面ABC， 平面PAC∩平面ABC＝AC， PA⊂平面PAC，∠PAC＝90°即PA⊥AC， 所以PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC. 因为∠ABC＝90°即AB⊥BC，AB∩PA＝A， AB，PA⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC， 所以平面PAB⊥平面PBC. 1.已知直线l⊥平面α，则“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　①当l∥β时，又∵l⊥α，则α⊥β，∴“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分条件；②当α⊥β时，又∵l⊥α，则l∥β或l⊂β，∴“直线l∥平面β”不是“平面α⊥平面β ”的必要条件.故选A. 2.设α-l-β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a，b与l均不垂直，则（　　） A.a与b可能垂直，但不可能平行 B.a与b可能垂直也可能平行 C.a与b不可能垂直，但可能平行 D.a与b不可能垂直，也不可能平行 解析：C　∵α-l-β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a，b与l均不垂直，∴当a∥l，且b∥l时，由平行公理得a∥b，即a，b可能平行，故A与D错误；当a，b垂直时，若二面角是直二面角，则a⊥l，与已知矛盾，∴a与b不可能垂直，但可能平行.故选C. 3.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影点H必在（　　） A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 解析：A　连接AC1（图略）.∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A. 4.已知在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD是边长为3的等边三角形，BD＝CD，BD⊥CD，则四面体ABCD的体积为（　　） A.　　　B. C.　　　D. 解析：C　∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BD⊥CD，CD⊂平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又等边△ABD边长为3，则S△ABD＝AB·AD·sin 60°＝，又BD＝CD＝3，故V四面体ABCD＝CD·S△ABD＝.故选C. 5.（多选）已知平面α，β，γ和直线l，下列命题中正确的是（　　） A.若α⊥β，β∥γ，则α⊥γ B.若α⊥β，则存在l⊂α，使得l∥β C.若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ D.若α⊥β，l∥α，则l⊥β 解析：ABC　对选项A，因为α⊥β，所以存在直线a⊂α，使得a⊥β，又因为β∥γ，所以a⊥γ，又因为a⊂α，所以α⊥γ，故A正确；对选项B，如图①所示：在长方体中，满足α⊥β，存在这样的直线l⊂α，使得l∥β，故B正确；对选项C，过直线l上任意一点作直线m⊥γ，根据面面垂直的性质可知：m⊂α，m⊂β，所以m与直线l重合，所以l⊥γ，故C正确；对选项D，如图②所示：在长方体中，满足α⊥β，l∥α，此时l∥β，故D错误.故选A、B、C. 　 6.（多选）（2024·温州月考）如图，在四面体P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是（　　） A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDF⊥平面ABC 解析：ABC　因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立；又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立；又DF⊂平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立；要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，D不一定成立.故选A、B、C. 7.已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则直线a与平面α的位置关系是a⊂α或a∥α. 解析：因为平面α⊥平面β，所以存在b⊂α，使b⊥β，又a⊥β，所以a∥b，即a⊂α或a∥α. 8.如图所示，在三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝. 解析：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，即PA⊥AC，PA⊂平面PAC，所以PA⊥平面ABC.又AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝＝. 9.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'，B'，则＝2. 解析：由已知条件可知∠BAB'＝，∠ABA'＝，设AB＝2a，则BB'＝2asin＝a，A'B＝2acos＝a，∴在Rt△BB'A'中，得A'B'＝a，∴AB∶A'B'＝2. 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.求证：平面PAB⊥平面PBD. 证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD. 又PD⊂平面PAD，所以PD⊥AB. 因为PA＝PD＝AD，所以PA2＋PD2＝AD2， 所以PA⊥PD. 又PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB. 因为PD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD. 11.如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（　　） A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆，但要去掉两个点 解析：D　因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，所以AC⊥平面PBC.又因为BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.故选D. 12.（多选）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中正确的是（　　） A.平面PAB⊥平面PAD B.平面PAD⊥平面PDC C.AB⊥PD D.平面PAD⊥平面PBC 解析：ABC　∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥AB.∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，故C中说法正确；又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD，故A中说法正确；同理可证平面PAD⊥平面PDC，故B中说法正确；假设平面PAD⊥平面PBC，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥AD，与BC∥AD矛盾，故D中说法错误.故选A、B、C. 13.（2024·泉州月考）如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，M是四边形D1DCC1内异于C，D的动点，平面AMD⊥平面BMC.则M点的轨迹的长度为π. 解析：因为DM⊂平面D1DCC1，BC⊥平面D1DCC1，故DM⊥BC，又因为平面AMD⊥平面BMC，故要满足题意，只需DM⊥MC即可.又点M在平面D1DCC1内，故点M的轨迹是平面D1DCC1内，以DC为直径的半圆（不包含D，C）.又正方体棱长为2，故该半圆的半径为1，故其轨迹长度为＝π. 14.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点.求证： （1）BG⊥平面PAD； 证明：因为四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， 所以△ABD是正三角形，因为G为AD的中点， 所以BG⊥AD. 又平面PAD∩平面ABD＝AD， 平面PAD⊥平面ABD，BG⊂平面ABD， 所以BG⊥平面PAD. （2）AD⊥PB. 证明：由（1）可知BG⊥AD，又△PAD为正三角形， 所以PG⊥AD. 因为BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PBG， 所以AD⊥平面PBG. 又PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB. 15.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，若PA＝AD＝AB＝kBC（0＜k＜1），则（　　） A.当k＝时，平面BPC⊥平面PCD B.当k＝时，平面APD⊥平面PCD C.对任意k∈（0，1），直线PA与底面ABCD都不垂直 D.存在k∈（0，1），使直线PD与直线AC垂直 解析：A　当k＝时，取PB，PC的中点，分别为M，N，连接MN，AM，DN（图略）.由平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AM.又M为PB的中点，PA＝AB，∴AM⊥PB，可得AM⊥平面PBC，而AD∥BC且AD＝BC，MN∥BC且MN＝BC，∴AD∥MN且AD＝MN，则四边形ADNM为平行四边形，可得AM∥DN，则DN⊥平面BPC.又DN⊂平面PCD，∴平面BPC⊥平面PCD.故选A. 16.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2.∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点. （1）求证：EF⊥平面BCG； 解：证明：∵AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°， ∴△ABC≌△DBC，∴AC＝DC. ∵G为AD的中点，∴CG⊥AD，同理BG⊥AD. ∵CG∩BG＝G，CG，BG⊂平面BGC，∴AD⊥平面BGC. 又E，F分别是AC，CD的中点， ∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG. （2）求三棱锥D-BCG的体积. 解：在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O， ∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，平面ABC∩平面BCD＝BC，且AO⊂平面ABC， ∴AO⊥平面BCD. ∵G为AD的中点，∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半. 在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝， ∴h＝. 在△BCD中，BF＝BD·cos 60°＝2×＝1， DF＝BD·sin 60°＝，∴DC＝2， 故S△DCB＝BF·DC＝×1×2＝， ∴VD-BCG＝VG-BCD＝S△DCB·h＝××＝. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $