8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦平面与平面垂直的判定，涵盖二面角概念、面面垂直定义及判定定理。通过笔记本电脑开合的面面“夹角”问题导入，衔接线面垂直知识，搭建认知支架。 以数学抽象、逻辑推理为核心素养导向，“想一想”环节深化概念理解，结合正方体、正四面体实例的证明题培养推理能力。直观感知与逻辑论证结合的教学方法，助力学生提升空间观念，为教师提供清晰教学路径与丰富例题。

8.6.3　平面与平面垂直 第1课时　平面与平面垂直的判定 新课程标准解读 核心素养 1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系 数学抽象 2.了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义 逻辑推理 3.归纳出平面与平面垂直的判定定理 数学运算 　　如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉. 【问题】　你认为应该怎样刻画不同的面面“夹角”呢？ 　　 　　 　　 　　 知识点一　二面角 1.定义：从一条直线出发的两个　半平面　所组成的图形叫做二面角. 2.相关概念 二面角的棱 二面角的面 记法 AB（l） α，β 二面角α-AB-β； 二面角α-l-β； 二面角P-l-Q； 二面角P-AB-Q 3.二面角的平面角 （1）定义：在二面角α-l-β的棱l上　任取一点O　，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作　垂直　于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角； （2）范围：　0°≤∠AOB≤180°　； （3）直二面角：平面角是直角的二面角. 【想一想】 二面角与平面几何中的角有什么区别？ 提示：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 知识点二　平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义 （1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是　直二面角　，就说这两个平面互相垂直； （2）画法： （3）记作：　α⊥β　. 2.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的　垂线　，那么这两个平面垂直 符号语言 a⊂α，a⊥β⇒α⊥β 图形语言 提醒　判定定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线. 【想一想】 　“过平面外一点，有且只有一个与已知平面垂直的平面”对吗？ 提示：不止一个，事实上有无数个，过平面外一点可以作平面的一条垂线，过该垂线可以作出无数个平面，由平面与平面垂直的判定定理可知这些平面都与已知平面垂直，所以过平面外一点，可以作无数个与已知平面垂直的平面. 1.如图所示的二面角可记为（　　） A.α-β-l B.M-l-N C.l-M-N D.l-β-α 解析：B　根据二面角的记法规则可知B正确.故选B. 2.在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是（　　） A.AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β B.AO⊥l，BO⊥l C.AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D.AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β 答案：D 3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1所有经过四个顶点的平面中，垂直于平面ABC1D1的平面有平面A1B1CD，平面BCC1B1，平面ADD1A1. 解析：连接B1C，A1D（图略），在正方体ABCD-A1B1C1D1中有AB⊥平面BCC1B1，又AB⊂平面ABC1D1，所以平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，同理有平面ABC1D1⊥平面ADD1A1，又BC1⊥B1C，BC1⊂平面ABC1D1，B1C⊂平面A1B1CD，所以平面ABC1D1⊥平面A1B1CD. 题型一 二面角的计算 【例1】　如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB. （1）求二面角A-PD-C的大小； 解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD. 又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD. ∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD. 又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD. ∴二面角A-PD-C的大小为90°. （2）求二面角B-PA-C的大小. 解：∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA. ∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角. 又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°. 即二面角B-PA-C的大小为45°. 通性通法 求二面角大小的步骤 　　简称为“一作二证三求”. 提醒　作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要，选择特殊点做平面角的顶点. 【跟踪训练】 （2024·宁波质检）在正四面体A-BCD中，二面角A-CD-B的平面角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 解析：B　由A-BCD为正四面体，取CD的中点E，连接AE，BE（如图），则AE⊥CD，BE⊥CD，AE∩BE＝E，∴CD⊥平面ABE，∠AEB为二面角A-CD-B的平面角，设正四面体的棱长为1，则AE＝BE＝，AB＝1，在△ABE中，作AH⊥BE于H，则cos∠AEB＝，由AB2－BH2＝AE2－HE2且BH＝BE－HE，可得HE＝，∴cos∠AEB＝.故选B. 题型二 平面与平面垂直的证明 【例2】　如图所示，在四面体A-BCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC. 证明：法一（定义法）　因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， 所以△ASB和△ASC是等边三角形， 则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a， 则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形. 取BC的中点D，连接AD，SD，如图所示，则AD⊥BC，SD⊥BC， 所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角. 在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a， 所以SD＝a，BD＝＝a. 在Rt△ABD中，AD＝a， 在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2， 所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角， 故平面ABC⊥平面SBC. 法二（判定定理法）　因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°， 所以SA＝AB＝AC， 所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心. 因为△SBC为直角三角形， 所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点， 所以AD⊥平面SBC. 又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC. 通性通法 证明面面垂直常用的方法 （1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角； （2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”； （3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面. 【跟踪训练】 1.如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC. 证明：∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD. ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， 又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC. ∵BD⊂平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC. 2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AA1＝3，M，N分别是棱A1C1，AC的中点，E在侧棱AA1上，且A1E＝2EA，求证：平面MEB⊥平面BEN. 证明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN⊂平面ABC，则AA1⊥BN. 因为N是棱AC的中点，△ABC为正三角形，则BN⊥AC. 因为AA1∩AC＝A，所以BN⊥平面AA1C1C，ME⊂平面AA1C1C，BN⊥ME. 又AB＝4，AA1＝3，A1E＝2EA，所以EA＝，A1E＝2， 因为＝＝，∠NAE＝∠EA1M＝90°， 所以Rt△A1EM∽Rt△ANE，故∠A1EM＝∠ANE，∠A1EM＋∠AEN＝∠ANE＋∠AEN＝90°，则有∠MEN＝90°，故EN⊥ME. 因为EN∩BN＝N，所以ME⊥平面BEN，又ME⊂平面MEB，所以平面MEB⊥平面BEN. 1.下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系.其中正确的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：A　根据二面角的定义知①两个相交的半平面所组成的图形叫做二面角，故错误；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作棱的垂线所成的角，故错误；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置无关，故错误.所以①②③都不正确.故选A. 2.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（　　） A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.关系无法确定 解析：D　如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，因为二面角H-DG-F的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定. 3.（2024·江门月考）如图所示，AB是☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为45°. 解析：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是☉O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，故二面角P-BC-A的大小是45°. 4.如图①所示，已知Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高.以AD为折痕将△ABC折起，使∠BDC为直角，如图②所示，求证：平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC. 证明：易知AD⊥BD，AD⊥DC， 又BD，DC⊂平面BDC，且BD∩DC＝D， 所以AD⊥平面BDC. 又AD⊂平面ABD，AD⊂平面ACD， 所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC. 1.以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角.其中可能为钝角的有（　　） A.0个　　　B.1个 C.2个　　　D.3个 解析：B　异面直线所成的角α的范围为0°＜α≤90°，直线和平面所成的角β的范围为0°≤β≤90°，二面角的平面角θ的范围为0°≤θ≤180°，只有二面角的平面角可能为钝角. 2.下列命题中正确的是（　　） A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β B.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β C.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β D.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β 解析：C　当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确. 3.如图，三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A-BB1-C的大小是（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 解析：C　三棱台ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，则BC⊥BB1，又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面ABC，所以∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角，因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°.故选C. 4.如图，若PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则该几何体的表面中相互垂直的面有（　　） A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 解析：D　由PA⊥平面ABCD，知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD；因为PA⊥AB，AD⊥AB，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，则平面PAB⊥平面PAD；因为PA⊥BC，AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，则平面PBC⊥平面PAB；因为PA⊥DC，AD⊥DC，PA∩AD＝A，所以DC⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD.所以题图中相互垂直的面共有5对，选D. 5.（多选）已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，则下列命题中正确的是（　　） A.若α∥β，l∥β，则l∥α B.若l⊥α，l⊥β，则α∥β C.若l⊥α，l∥β，则α⊥β D.若α⊥β，l∥β，则l⊥α 解析：BC　对于A，若α∥β，l∥β，则l∥α或l⊂α，故A不正确；对于B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故B正确；对于C，如图，若l⊥α，l∥β，过l的平面γ与β相交，设交线为m，∵l∥β，l⊂γ，β∩γ＝m，则l∥m，∵l⊥α，则m⊥α，∵m⊂β，故α⊥β，故C正确；对于D，若α⊥β，l∥β，则l与α不一定垂直，故D不正确.故选B、C. 6.（多选）如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，点A到达A'的位置，此时A'C＝，构成三棱锥A'-BCD，则（　　） A.平面A'BD⊥平面BDC B.平面A'BD⊥平面A'BC C.平面A'DC⊥平面BDC D.平面A'DC⊥平面A'BC 解析：AD　在三棱锥A'-BDC中，A'D＝A'B＝1，∠BA'D＝90°，故BD＝，易知DC＝，又A'C＝，故A'C2＝A'D2＋DC2，则CD⊥A'D，又CD⊥BD，A'D∩BD＝D，所以CD⊥平面A'BD，故平面A'BD⊥平面BDC.又CD⊥平面A'BD，所以CD⊥A'B，又A'B⊥A'D，A'D∩CD＝D，所以A'B⊥平面A'DC，故平面A'DC⊥平面A'BC. 7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是垂直.（填“垂直”或“不垂直”） 解析：如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面AA1C1C.又BD⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面AA1C1C. 8.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝1. 解析：由题意知，BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC为二面角B-AD-C的平面角，由于平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°，连接BC（图略），则BC＝ ＝ ＝1. 9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2 ，CC1＝，则二面角C1-BD-C的大小为30°. 解析：如图，取BD中点O，连接OC，OC1，因为AB＝AD＝2 ，所以CO⊥BD，CO＝.因为CD＝BC，所以C1D＝C1B，所以C1O⊥BD.所以∠C1OC为二面角C1-BD-C的平面角.因为tan∠C1OC＝＝＝，所以∠C1OC＝30°，即二面角C1-BD-C的大小为30°. 10.如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2，VC＝1，求二面角V-AB-C的大小. 解：如图，取AB的中点E，连接VE，CE. 因为VA＝VB＝AC＝BC＝2， 所以由等腰三角形的性质，可得VE⊥AB，CE⊥AB， 所以∠VEC就是二面角V-AB-C的平面角. 由AB＝2， 可知EB＝AB＝. 又VB＝2，所以在Rt△VEB中，VE＝＝1，同理EC＝1， 所以VE＝EC＝VC＝1， 所以△VEC为正三角形， 所以∠VEC＝60°. 11.（2024·焦作月考）若正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1＝，D是CB延长线上一点，且BD＝BC，则二面角B1-AD-B的大小为（　　） A.　　　　B. C.　　　　D. 解析：D　由题意知：AB＝DB＝3，BB1＝AA1＝且∠ABD＝，过B作BE⊥AD于E，连接B1E，则BE＝，而BB1⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，∴AD⊥BB1，而BB1∩BE＝B，即AD⊥平面BEB1，故二面角B1-AD-B的平面角为∠BEB1，∴tan∠BEB1＝＝，而∠BEB1∈[0，π]，即∠BEB1＝. 12.（多选）如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的是（　　） A.平面EFG∥平面PBC B.平面EFG⊥平面ABC C.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角 D.∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角 解析：ABC　对于A，因为点E，F分别是AB，AP的中点，所以EF∥PB，又EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC.同理，EG∥平面PBC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面PBC，因此A中结论正确；对于B，因为PC⊥BC，PC⊥AC，BC∩AC＝C，所以PC⊥平面ABC.又FG∥PC，所以FG⊥平面ABC，又FG⊂平面FGE，所以平面FGE⊥平面ABC，因此B中结论正确；对于C，在平面PBC中，由BC⊥PC，得∠BPC为直线BC与直线PC所成的角，又EF∥BP，所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，因此C中结论正确；对于D，由于FE，GE与AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，因此D中结论不正确. 13.（2024·珠海月考）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足BM⊥PC（或DM⊥PC）时，平面MBD⊥平面PCD. 解析：易证△PAB ≌ △PAD，∴PB＝PD，易证△PDC≌△PBC，当BM⊥PC时，则有DM⊥PC，又BM∩DM ＝M，∴PC⊥平面MBD，又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 14.如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点. 求证：（1）DE＝DA； （2）平面BDM⊥平面ECA； （3）平面DEA⊥平面ECA. 证明：（1）设BD＝a，则CE＝CA＝2a.如图， 作DF∥BC交CE于点F，则CF＝DB＝a. 因为CE⊥平面ABC， 所以BC⊥CF，DF⊥EC. 因为EF＝a，BC＝2a， 所以DE＝＝a. 又BD∥CE，所以DB⊥平面ABC，DB⊥AB，所以DA＝＝a，所以DE＝DA. （2）如图所示，取CA的中点N，连接MN，BN，则MN∥CE∥DB，且MN＝CE＝DB， 所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN. 因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD. 由（1）知DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE. 因为EC∩AE＝E，EC⊂平面AEC，AE⊂平面AEC， 所以DM⊥平面AEC，又DM⊂平面BDM，所以平面BDM⊥平面ECA. （3）由（2）知DM⊥平面AEC，而DM⊂平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA. 15.在60°二面角的一个面内有一个点，若它到二面角的棱的距离是10，则该点到另一个面的距离是5. 解析：如图所示，P为二面角α-l-β的一个面α内一点，PO是它到另一个面β的距离，PH是它到棱的距离为10，∵PO⊥β，∴PO⊥l，又PH⊥l， ∴l⊥平面POH，得出l⊥OH，∴∠PHO为二面角α-l-β的平面角，∠PHO＝60°，在Rt△PHO中，PO＝PH·sin 60°＝10×＝5. 16.（2024·宁德月考）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均为正方形. （1）求证：平面ABB1A1⊥平面ABCD； （2）求二面角B1-CD-A的余弦值. 解：（1）证明：因为四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均为正方形， 所以AA1⊥AD，AA1⊥AB. 又AD∩AB＝A，所以AA1⊥平面ABCD. 因为AA1⊂平面ABB1A1， 所以平面ABB1A1⊥平面ABCD. （2）过点B作BH⊥CD于点H，连接B1H（图略）. 由（1）知BB1⊥平面ABCD，则BB1⊥CD， 又BH∩BB1＝B， 所以CD⊥平面BB1H，所以B1H⊥CD， 所以∠BHB1为二面角B1-CD-A的平面角. 由等面积法可得 BH＝1×2，即BH＝， 所以B1H＝＝， 故cos∠BHB1＝＝. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $