8.6.2 第1课时 直线与平面垂直的判定-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦直线与平面垂直的判定及线面角核心知识，以木工用曲尺检查木棒垂直板面的生活实例导入，通过问题链引导学生从直观感知过渡到数学抽象，衔接线线垂直与空间几何体知识，为后续面面垂直学习搭建支架。 资料特色在于融合数学抽象、逻辑推理与直观想象素养，如用“想一想”辨析线面垂直条件培养严谨思维，母题探究通过变式深化判定定理应用，分层练习结合正方体、三棱锥模型强化空间观念，助力学生提升空间想象与推理能力，也为教师提供系统教学资源与通性通法指导。

8.6.2　直线与平面垂直 第1课时　直线与平面垂直的判定 新课程标准解读 核心素养 1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系 数学抽象 2.归纳出直线与平面垂直的判定定理 逻辑推理 3.了解直线与平面所成角 直观想象 木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不是相反的方向）检查两次，如图.如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直. 【问题】　（1）用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？ （2）上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？ 　 　 　 　 知识点一　直线与平面垂直 1.定义：如果直线l与平面α内的　任意一条　直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作　l⊥α　. 2.相关概念 垂线 直线l叫做平面α的垂线 垂面 平面α叫做直线l的垂面 垂足 直线与平面唯一的公共点 垂线段 过一点作垂直于已知平面的直线，该点与垂足间的线段 点到平面的距离 垂线段的长度 3.性质：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 【想一想】 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？ 提示：不一定. 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，在棱AB上任取一点E，过点E作EF∥AD交CD于点F，则这样的直线能作出无数条，显然AB垂直于平面ABCD内的无数条直线，但AB⊂平面ABCD，故直线AB与平面ABCD不垂直.不仅如此，因为A1B1∥AB，所以直线A1B1也垂直于平面ABCD内的无数条直线，但是直线A1B1∥平面ABCD. 知识点二　直线与平面垂直的判定定理 文字 语言 如果一条直线与一个平面内的两条　相交　直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α，n⊂α，　m∩n　＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形语言 提醒　（1）判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语；（2）要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的. 知识点三　直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α　相交　，但不与这个平面　垂直　，这条直线叫做这个平面的斜线 斜足 斜线和平面的　交点A　叫做斜足 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引　垂线PO　，过　垂足O　和　斜足A　的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影 有关概念 对应图形 直线与平面所成的角 定义：平面的一条　斜线　和它在平面上的　射影　所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是　90°　；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是　0°　 取值范围 0°≤θ≤90° 提醒　（1）斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；（2）斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段. 1.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能（　　） A.平行　　　B.相交 C.异面　　　D.垂直 解析：A　因为l⊥α，所以l垂直于平面α内的每一条直线，又m⊂α，所以l⊥m，所以直线l与m不可能平行. 2.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是垂直. 解析：因为BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，所以BA⊥l.同理BC⊥l，又BA∩BC＝B，则l⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，l⊥AC. 3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于45°；AB1与平面ADD1A1所成的角等于45°；AB1与平面DCC1D1所成的角等于0°. 解析：∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°. 题型一 线面垂直概念的理解 【例1】　下列命题中正确的是③④（填序号）. ①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确. 通性通法 1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直. 2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b. 【跟踪训练】 （2024·南阳月考）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　） A.若l⊥m，m⊥α，则l∥α B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α C.若l∥α，m⊂α，则l∥m D.若l∥α，m∥α，则l∥m 解析：B　对于A，l∥α或l⊂α，故A错误；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面，故C错误；对于D，l，m还可能相交或异面，故D错误. 题型二 直线与平面垂直的判定 【例2】　如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.求证：直线SD⊥平面ABC. 证明：∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点， ∴SD⊥AC. 如图，连接BD，在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD， ∴△ADS≌△BDS， ∴∠ADS＝∠BDS， ∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D， ∴SD⊥平面ABC. 【母题探究】 （变条件、变设问）在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平面SAC的位置关系是什么？ 解：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点， ∴BD⊥AC. 又由例题知SD⊥BD. 于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线， 故BD⊥平面SAC. 通性通法 证明线面垂直的方法 （1）由线线垂直证明线面垂直：①定义法（不常用）；②判定定理（最常用），要着力寻找平面内的两条相交直线（有时需要作辅助线），使它们与所给直线垂直. （2）平行转化法（利用推论）：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 【跟踪训练】 如图，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. （1）求证：AN⊥平面PBM； 证明：∵AB为☉O的直径，∴AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM， ∴BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM， ∴AN⊥平面PBM. （2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 证明：由（1）知AN⊥平面PBM， 又PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ， ∴PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ. 题型三 直线与平面所成的角 【例3】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角. 解：连接BC1，设BC1与B1C相交于点O，连接A1O. 设正方体的棱长为a. 因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，B1C1，B1B⊂平面BCC1B1， 所以A1B1⊥平面BCC1B1， 所以A1B1⊥BC1. 又因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1DCB1， 所以BC1⊥平面A1DCB1， 所以A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影， ∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角. 在Rt△A1BO中，A1B＝a，BO＝a， 所以BO＝A1B. 所以∠BA1O＝30°， 所以直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°. 通性通法 求直线与平面所成的角的步骤 【跟踪训练】 如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，底面ABC是正三角形，AA'⊥底面ABC，且AB＝1，AA'＝2，求直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值. 解：如图所示，取A'B'的中点D，连接C'D，BD. 因为底面△A'B'C'是正三角形，所以C'D⊥A'B'. 因为AA'⊥底面A'B'C'，所以AA'⊥C'D. 又AA'∩A'B'＝A'，AA'，A'B'⊂平面ABB'A'，所以C'D⊥平面ABB'A'， 所以∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成的角. 因为等边三角形A'B'C'的边长为1，所以C'D＝.在Rt△BB'C'中，BC'＝＝， 所以直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为 ＝. 1.已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是（　　） A.m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B.m⊥b，b∥α C.m∩b＝A，b⊥α D.m∥b，b⊥α 解析：D　m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，则m与α可能平行或m⊂α，故A错误；m⊥b，b∥α，则m与α可能平行或相交或m⊂α，故B错误；m∩b＝A，b⊥α，则m与α可能平行或相交或m⊂α，故C错误；由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确.故选D. 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（　　） A.平面DD1C1C B.平面A1DCB1 C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB 解析：B　因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DCB1，所以AD1⊥平面A1DCB1.故选B. 3.（2024·温州月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为4. 解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形. 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，求AC1与平面ABCD所成角的正弦值. 解：如图，连接AC，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，∴∠C1AC是AC1与平面ABCD所成的角，在Rt△C1CA中，sin∠C1AC＝＝＝. 1.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（　　） A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC 解析：C　∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB⊂平面OBC，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC. 2.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（　　） A.平行 B.垂直相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直 解析：C　连接AC（图略）.因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，AC，MC⊂平面AMC，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.由题图可得，AM与BD不相交，故选C. 3.矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角的大小为（　　） A.30°　　 　B.45° C.60°　　 　D.90° 解析：A　由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.在Rt△PAC中，tan∠PCA＝＝＝，∴∠PCA＝30°，即PC与平面ABCD所成的角为30°. 4.（2024·济宁月考）已知过平面α外一点A的斜线l与平面α所成角为，斜线l交平面α于点B，若点A与平面α的距离为1，则斜线段AB在平面α上的射影所形成的图形面积是（　　） A.3π B.2π C.π D. 解析：A　如图，过点A作平面α的垂线，垂足为C，连接BC，所以线段BC为线段AB在平面α上的射影，∠ABC为斜线l与平面α所成的角，则∠ABC＝，又AC＝1，所以BC＝，故射影形成的图形为半径为的圆面，其面积为3π.故选A. 5.（多选）如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是（　　） A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 解析：ABC　对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确；由题意得，AB与SC所成的角为∠SCD，DC与SA所成的角为∠SAB，显然，∠SCD≠∠SAB，故D不正确. 6.（多选）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是（　　） A.BC⊥平面PAB B.AD⊥PC C.AD⊥平面PBC D.PB⊥平面ADC 解析：ABC　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故A判断正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C判断正确；∵PC⊂平面PBC，∴AD⊥PC，故B判断正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判断不正确. 7.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中： （1）与PC垂直的直线有AB，AC，BC； （2）与AP垂直的直线有BC. 解析：（1）因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC. （2）∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，AC，PC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为AP⊂平面PAC，所以BC⊥AP. 8.（2024·宁德月考）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均相等，且侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面ABC所成角的大小为30°. 解析：取BC的中点E，连接DE，AE（图略），则DE⊥平面ABC，故DE⊥AE，∠DAE即为AD与平面ABC所成的角，设三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为1，则DE＝，AE＝，所以tan∠DAE＝，所以∠DAE＝30°. 9.（2024·丽水质检）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是线段B1C. 解析：如图，连接AC，AB1，B1C，∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD1⊥CB1，BD1⊥AC，又CB1与AC交于点C，∴ BD1⊥平面B1AC，又知点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，∴P为B1C上任何一点时，均有AP⊥BD1. 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA＝PC，判断直线AC与平面PBD是否垂直，并说明理由. 解：AC⊥平面PBD.理由如下： 设AC∩BD＝O，连接PO， 因为底面ABCD是菱形， 则AC⊥BD，且O为AC的中点， 因为PA＝PC，则PO⊥AC， 又因为PO∩BD＝O，PO，BD⊂平面PBD， 所以AC⊥平面PBD. 11.三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的（　　） A.内心　　　　　　　　B.重心 C.外心 D.垂心 解析：C　如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC.∵三棱锥的三条侧棱两两相等，∴PA＝PB＝PC.∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心. 12.（多选）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（　　） A.BF∥CD B.DG⊥BH C.CH与BG成60°角 D.BE与平面ABCD所成角为45° 解析：BCD　由正方体的平面展开图还原正方体如图所示，由正方体的结构特征可知，BF与CD异面垂直，所以A错误；DG⊥CH，而CH为BH在平面DCGH上的射影，所以DG⊥BH，所以B正确；连接AH，由AB∥GH，AB＝GH，可得四边形ABGH为平行四边形，则AH∥BG，所以∠AHC或其补角为异面直线CH与BG所成的角，连接AC，可得△AHC为等边三角形，得CH与BG成60°角，所以C正确；因为AE⊥平面ABCD，所以∠EBA为BE与平面ABCD所成角，为45°，所以D正确.故选B、C、D. 13.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件∠A1C1B1＝90°（答案不唯一）时，有AB1⊥BC1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） 解析：如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可（或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等）. 14.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点. （1）求证：MN∥平面PAD； （2）若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD. 证明：（1）取PD的中点E，连接NE，AE，如图. 又∵N是PC的中点， ∴NE∥DC且NE＝DC. 又∵DC∥AB且DC＝AB，AM＝AB， ∴AM∥CD且AM＝CD， ∴NE∥AM，且NE＝AM， ∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE. ∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， ∴MN∥平面PAD. （2）∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， ∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD， ∵E是PD的中点，∴AE⊥PD. 又∵MN∥AE，∴MN⊥PD. ∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， ∴CD⊥平面PAD. ∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，∴CD⊥MN. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD. 15.已知三棱锥P-ABC的侧棱两两垂直，PA＝PC＝2，PB＝，Q为棱BC上的动点，AQ与侧面PBC所成角为θ，则tan θ的最大值为. 解析：如图所示，依题意可知PA⊥PB，PA⊥PC，所以PA⊥平面PBC，故∠PQA是所求直线与平面所成的角.由于tan θ＝，其中PA＝2，当PQ最小时，正切值取得最大值.当PQ⊥BC时，PQ最小，BC＝＝，在Rt△PBC中，利用等面积得××2＝××PQ，解得PQ＝.此时tan θ＝＝. 16.如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC.点P在圆O所在平面上的射影为点D，PD＝DB. （1）求证：CD⊥平面PAB； （2）求直线PC与平面PAB所成的角. 解：（1）证明：连接CO，由AD＝DB知， 点D为AO的中点. 又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB. 由 AC＝BC知，∠CAB＝60°， 所以△ACO为等边三角形，故CD⊥AO. 因为点P在圆O所在平面上的射影为点D，所以PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD， 又PD，AO⊂平面PAB，且PD∩AO＝D，所以CD⊥平面PAB. （2）由（1）知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角.又△AOC是边长为2的正三角形， 所以CD＝. 在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝， 所以tan∠CPD＝＝，又0 °≤∠CPD≤90°，所以∠CPD＝30°， 即直线PC与平面PAB所成的角为30°. 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $