8.6.1 直线与直线垂直-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦空间直线与直线垂直核心知识，通过正方体模型中异面直线实例提问导入，衔接空间直线位置关系前序内容，搭建从直观感知到定义建构的学习支架。 以正方体、三棱锥等模型为载体，通过定义推导、例题证明培养逻辑推理，借助图形观察发展直观想象，分层练习覆盖基础与综合应用，助力学生深化空间观念，为教师提供系统教学资源与素养导向教学路径。

8.6　空间直线、平面的垂直 8.6.1　直线与直线垂直 新课程标准解读 核心素养 1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系 逻辑推理 2.会求两异面直线所成的角 直观想象 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面. 【问题】　（1）直观上，你认为这两种异面有什么区别？ （2）如果要利用角的大小来区分这两种异面，你认为应该怎样做？ 　　 　　 　　 　　 知识点一　异面直线所成的角 1.已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线　a'与b'　所成的角α叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）. 2.当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°，所以空间两条直线所成角α的取值范围是　0°≤α≤90°　. 提醒　（1）两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；（2）找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角. 知识点二　直线与直线垂直 　如果两条异面直线所成的角是　直角　，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a　⊥　b. 提醒　两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形. 1.设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b（　　） A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能 解析：D　如图，若DD1＝c，D1C1＝a，A1D1＝b，则a和b相交；若DD1＝c，D1C1＝a，AD＝b，则a和b异面；若DD1＝c，D1C1＝a，DC＝b，则a和b平行，所以空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面.故选D. 2.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线（　　） A.有无数条 B.有两条 C.至多有两条 D.有一条 解析：A　过点P且与l成30°角的异面直线有无数条，并且异面直线在以P为顶点的圆锥的侧面上.故选A. 3.若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为60°. 解析：因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°. 题型一 求异面直线所成的角 【例1】　在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小. 解：如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG， 则EG∥AB且EG＝AB，GF∥CD且GF＝CD. 由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角. ∵AB与CD所成角为30°， ∴∠EGF＝30°或150°， 由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°， 当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°， 故EF与AB所成角的大小为15°或75°. 通性通法 求两异面直线所成角的一般步骤 （1）构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角； （2）计算角：求角度，常利用三角形； （3）确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角. 提醒　找异面直线所成的角，可以从如下“口诀”入手： 中点、端点定顶点，平移常用中位线； 平行四边形中见，指出成角很关键； 求角构造三角形，锐角、钝角要明辨； 平行直线若在外，补上原体在外边. 【跟踪训练】 1.（2024·龙岩月考）如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，点D，E分别为AB，PC的中点，则异面直线PD，BE所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 解析：B　如图，连接CD，取CD的中点F，连接EF，BF，则EF∥PD，∠BEF为异面直线PD，BE所成的角.由题意可知PD＝CD＝BE＝2，EF＝，BF＝＝，所以cos∠BEF＝＝.故选B. 2.如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： （1）BE与CG所成的角； （2）FO与BD所成的角. 解：（1）∵CG∥FB， ∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角. 在Rt△EFB中，EF＝FB， ∴∠EBF＝45°， ∴BE与CG所成的角为45°. （2）如图，连接FH， 易知FB＝HD，FB∥HD， ∴四边形FBDH是平行四边形， ∴BD∥FH， ∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF， 则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°， ∴FO与BD所成的角为30°. 题型二 证明直线与直线垂直 【例2】　在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF. 证明：如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G. 则OG∥B1D，EF∥A1C1. ∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角. ∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点， ∴GO⊥A1C1. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，即DB1⊥EF. 通性通法 证明空间中两条直线垂直的方法 （1）定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直； （2）平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形（等边三角形）底边的中线和底边垂直等. 【跟踪训练】 　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1. 证明：如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，则AB2＝a2＋b2. 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， 所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°， 所以B＝b2＋h2，A1B2＝a2＋b2＋h2， 所以A1B2＝A1＋B， 则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°. 又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角， 所以AC⊥BC1. 1.已知直线a，b，c，则（　　） A.若a⊥b，c⊥b，则a∥c B.若a⊥b，c⊥b，则a⊥c C.若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等 D.若a与c所成的角等于c与b所成的角，则a∥b 解析：C　由异面直线所成角的定义可知C正确. 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（　　） A.2条　　　B.4条 C.6条　　　D.8条 解析：D　在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条.故选D. 3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角大小为60°. 解析：连接BC1，A1C1（图略），∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角.在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，故异面直线A1B与AD1所成的角为60°. 4.（2024·开封月考）如图，AB是圆O的直径，C是弧的中点，D，E分别是VB，VC的中点，则异面直线DE与AB所成的角为45°. 解析：因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC.因为点C是弧的中点，所以BC＝AC，所以∠ABC＝45°.在△VBC中，因为D，E分别为VB，VC的中点，所以DE∥BC，所以∠ABC即为异面直线DE与AB所成的角.所以异面直线DE与AB所成的角为45°. 1.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（　　） A.一定平行 B.一定垂直 C.一定是异面直线 D.一定相交 解析：B　∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c. 2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是（　　） A.BC1 B.A1D C.AC D.BC 解析：C　连接BD（图略），∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故选C. 3.已知空间四边形的两条对角线相互垂直，则顺次连接四边中点的四边形一定是（　　） A.空间四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 解析：B　如图，易知四边形EFGH为平行四边形.因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.同理FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角.因为AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形. 4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 解析：C　如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE（或其补角）即为异面直线BD与AC所成的角.由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°，故选C. 5.（多选）如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论，其中正确的是（　　） A.AB与CD所在直线垂直 B.CD与EF所在直线平行 C.AB与MN所在直线成60°角 D.MN与EF所在直线异面 解析：CD　画出原正方体如图所示，连接DN，DM，由图可知A、B错误；AB∥DN，MN＝DN＝DM，所以△DMN为等边三角形，所以C中，AB与MN所在直线成60°角是正确的；显然D中，MN与EF所在直线异面是正确的.故选C、D. 6.（多选）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列结论正确的是（　　） A.AC⊥BD B.AC∥截面PQMN C.AC＝CD D.异面直线PM与BD所成的角为45° 解析：ABD　因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，PN∥QM，又MN⊂平面DAC，PQ⊄平面DAC，所以PQ∥平面DAC，又PQ⊂平面BAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，所以PQ∥AC∥MN，因为AC⊄截面PQMN，MN⊂截面PQMN，所以AC∥截面PQMN，故B正确；同理可证PN∥BD∥MQ，因为PN⊥NM，所以AC⊥BD，故A正确；又∠PMQ＝45°，所以异面直线PM与BD所成的角为45°，故D正确；AC和CD不一定相等，故C错误.故选A、B、D. 7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点，则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有2条. 解析：长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有AD，B1C1，共2条. 8.已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a与b所成的角为60°. 解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a与b所成的角为∠BAC的补角.所以直线a与b所成的角为60°. 9.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成角的正弦值为. 解析：连接B1C，取B1C的中点E，连接DE，BE， ∵D是AC的中点，∴DE是△ACB1的中位线，∴AB1∥DE，∴∠EDB（或其补角）为异面直线AB1与BD所成的角.设AB＝m（m＞0），则BD＝m，BB1＝m，由勾股定理得AB1＝B1C＝m，∴DE＝BE＝m，∴△BDE为等边三角形，∴∠EDB＝，∴sin∠EDB＝. 10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点. （1）求证：MN∥A1C1； （2）求异面直线MN与BC1所成角的余弦值. 解：（1）证明：连接AC，∵M，N分别为AD，DC的中点，∴MN∥AC且AC∥A1C1，∴MN∥ A1C1. （2）连接A1B，由（1）知∠A1C1B或其补角为所求角， ∵A1B＝A1C1＝，BC1＝， ∴由余弦定理得cos∠A1C1B＝＝. 故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为. 11.（2024·湛江月考）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA'P处，如图所示，若M为线段A'C的中点，则异面直线BM与PA'所成角的正切值为（　　） A.　　　　B.2 C.　　　　D.4 解析：A　取A'D的中点N，连接PN，MN（图略）.因为M是A'C的中点，所以MN∥CD∥PB，且MN＝PB，所以四边形PBMN为平行四边形，所以MB∥PN，所以∠A'PN为异面直线BM与PA'所成的角.在Rt△NA'P中，tan∠A'PN＝＝，故选A. 12.（多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，A1D1的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列说法正确的是（　　） A.直线EF，AO共面 B.直线EF，BB1是相交直线 C.直线EF与BC1所成的角为30° D.直线EF与BB1所成角的余弦值为 解析：AC　连接OF（图略），∵O为正方形A1B1C1D1的中心，F是A1D1的中点，∴OF∥A1B1∥AB，即OF，AE共面，从而EF，AO共面，A中说法正确；连接B1E，∵F∉平面BEB1，BB1⊂平面BEB1，E∉BB1，E∈平面BEB1，∴EF，BB1是异面直线，B中说法错误；连接OB，易得FO∥EB，且FO＝EB，∴四边形EFOB是平行四边形，∴EF∥BO，∴∠OBC1（或其补角）是异面直线EF与BC1所成的角.连接OC1，设正方体的棱长为1，在△BC1O中，BC1＝，OC1＝，BO＝EF＝＝，∴cos∠OBC1＝＝，∴∠OBC1＝30°，C中说法正确；同理得∠OBB1（或其补角）是EF与BB1所成的角，连接OB1，在Rt△OBB1中，易得cos∠OBB1＝＝＝，D中说法错误.故选A、C. 13.（2024·珠海质检）在四面体A-BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长度为或. 解析：如图，取BC中点O，连接OE，OF.∴OE∥AC，OF∥BD，∴∠EOF（或其补角）即为AC与BD所成的角.而AC，BD所成的角为60°，∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝；当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×＝. 14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点.求证：CD1⊥EF. 证明：如图，取CD1的中点G，连接EG，DG. ∵E是BD1的中点， ∴EG∥BC，EG＝BC， ∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC， ∴DF∥BC，DF＝BC， ∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形， ∴EF∥DG， ∴∠DGD1（或其补角）是异面直线CD1与EF所成的角. 又∵A1A＝AB， ∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形， 又G为CD1的中点， ∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°， ∴异面直线CD1与EF所成的角为90°， ∴CD1⊥EF. 15.当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围为［，］. 解析：设正方体棱长为1，DP＝x，则x∈[0，1]，连接AD1，AP，由正方体的性质可知AD1∥BC1，∴∠AD1P即为异面直线D1P与BC1所成角，在△AD1P中，AD1＝，AP＝D1P＝，故cos∠AD1P＝，又∵x∈[0，1]，∴cos∠AD1P＝∈［，］，又y＝cos x在（0，π）为减函数，∴∠AD1P∈［，］. 16.如图，已知点P在圆柱OO1的底面☉O上，AA1⊥AB，BP⊥A1P，AB，A1B1分别为☉O，☉O1的直径，且AB∥A1B1.若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°. （1）求三棱锥A1-APB的体积； （2）在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 解：（1）由题意，得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3. 由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝2， ∴S△PAB＝×2×2＝2， ∴＝S△PAB·AA1＝×2×3＝2. （2）当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成角的余弦值为. 证明如下： ∵O，M分别为AB，AP的中点，∴OM∥BP， ∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角. ∵AA1＝3，AB＝4，AA1⊥AB，∴A1B＝5. 又BP⊥A1P，∴cos∠A1BP＝＝， ∴当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成角的余弦值为. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $