8.5.2 第2课时 直线与平面垂直的性质-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦直线与平面垂直的性质定理及空间距离，通过“线面垂直与线线平行关系”“线面距与面面距”两个问题导入，引导学生猜想论证，衔接线面垂直的定义与判定，搭建完整知识支架。 以问题驱动结合直观模型，借助长方体、正方体等几何体培养直观想象，通过例题推理与通性通法总结提升逻辑推理，助力学生构建空间观念，为教师提供结构化教学资源，高效落实核心素养。

第2课时　直线与平面垂直的性质 新课程标准解读 核心素养 1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系 数学抽象 2.归纳出直线与平面垂直的性质定理 逻辑推理 3.了解直线与平面、平面与平面的距离 直观想象 【问题】　（1）如果直线a垂直于一个平面α，直线b与直线a平行，那么直线b与平面α是否垂直？猜测结果并说明理由； （2）如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位置关系？猜测结果并说明理由. 　　 　　 　　 　　 知识点一　直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线　平行　 符号语言 ⇒　a∥b　 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行；②作平行线 【想一想】 在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'所在直线与平面ABCD位置关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？ 提示：棱AA'，BB'所在直线都与平面ABCD垂直；这两条直线互相平行. 知识点二　线面距与面面距 1.直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上　任意一点　到这个平面的距离. 2.平面与平面的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的　任意一点　到另一个平面的距离都相等. 【想一想】 　是不是任意的直线与平面、平面与平面间都有距离？ 提示：不是.只有当直线与平面平行、平面与平面平行时才涉及距离问题. 1.△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是（　　） A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定 解析：C　∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，∴l∥m. 2.如图，平行四边形ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝（　　） A.2　　　　B.3 C.　　　　D. 解析：D　因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE，且AF＝DE.因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD，所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝＝＝.故选D. 3.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则直线B1C1到平面ABCD的距离是1. 解析：由正方体的性质可知，B1C1∥平面ABCD，所以直线B1C1到平面ABCD的距离即为B1到平面ABCD的距离，由正方体的性质知B1到平面ABCD的距离为1，即直线B1C1到平面ABCD的距离为1. 题型一 线面垂直有关性质的理解 【例1】　已知直线m，n和平面α，若n⊥α，则“m⊂α”是“n⊥m”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　若n⊥α，m⊂α，则n⊥m，故充分性成立，若n⊥m，n⊥α，则m⊂α或m∥α，故必要性不成立，故“m⊂α”是“n⊥m”的充分不必要条件.故选A. 通性通法 1.线面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”这两种特殊位置关系之间的转化. 2.常用的线面垂直的性质还有：①a⊥α，b∥a⇒b⊥α；②a⊥α，a⊥β⇒α∥β. 【跟踪训练】 （多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，则下列选项正确的是（　　） A.AD1与平面A1DC相交 B.AD1⊥平面A1DC C.AD1与MN异面 D.AD1∥MN 解析：ABD　因为AD1∩A1D＝O，则点O∈平面A1DC且点A∉平面A1DC，A正确；因为AD1⊥A1D，AD1⊥CD，且CD∩A1D＝D，所以AD1⊥平面A1DC，B正确；又因MN⊥平面A1DC，则AD1∥MN即D正确，C错误.故选A、B、D. 题型二 直线与平面垂直的性质的应用 【例2】　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1. 证明：如图所示，连接A1C1，C1D，B1D1，BD. ∵AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1. 又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1， ∴EF⊥平面A1C1D，　① ∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1. ∵四边形A1B1C1D1为正方形， ∴A1C1⊥B1D1， 又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D， 而BD1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1. 又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D，　② 由①②可知EF∥BD1. 通性通法 证明线线平行常用的方法 （1）利用线线平行定义：证共面且无公共点； （2）利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线； （3）利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行； （4）利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直； （5）利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行. 【跟踪训练】 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 证明：因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD. 因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD. 因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD. 又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， 所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN. 题型三 空间中的距离问题 【例3】　如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中求出下列距离： （1）点A到平面BB1D1D的距离； 解：连接AC（图略），易证AC⊥平面BB1D1D， 所以点A到平面BB1D1D的距离为面对角线AC的，即a. （2）点C到平面BDC1的距离. 解：设点C到平面BDC1的距离为h，三棱锥C-BDC1的体积为V， 在△BDC1中，BD＝DC1＝BC1＝a，则△BDC1的面积为×（a）2＝a2， 由等体积法可得V＝××a×a×a＝×a2×h， 解得h＝a.所以点C到平面BDC1的距离为a. 通性通法 求点到平面的距离的两种方法 （1）构造法：根据定义构造垂直于平面的直线，确定垂足位置，将所求线段化归到三角形中求解； （2）等积变换法：将所求距离看作某个几何体（多为棱锥）的高，利用体积相等建立方程求解. 无论是求直线与平面的距离还是求平面与平面的距离，最终都转化为点到平面的距离. 【跟踪训练】 （2024·济南月考）如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，求AD到平面PBC的距离. 解：因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC， 所以AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离， 因为侧棱PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC，因为∠ABC＝90°，即AB⊥BC， 因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB， 因为PA＝AB＝BC＝2，所以PB＝2， 设点A到平面PBC的距离为d，则由V三棱锥P-ABC＝V三棱锥A-PBC得PA·S△ABC＝d·S△PBC， 所以×2××2×2＝d××2×2，得d＝，所以AD到平面PBC的距离为. 1.在空间中，到一圆周上各点距离相等的点的集合表示的图形是（　　） A.一个点 B.一条直线 C.一个平面 D.一个球面 解析：B　过圆的圆心作此圆所在平面的垂线，则垂线上的点到圆周的各点距离相等，所以到一圆周上各点距离相等的点的集合是一条直线.故选B. 2.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是（　　） A.α∥β，且m⊂α B.m∥n，且n⊥β C.m⊥n，且n⊂β D.m⊥n，且n∥β 解析：B　A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β，不符合题意；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C、D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意.故选B. 3.在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，若点A1到平面ABCD的距离为4，则平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离为4. 解析：平面ABCD∥平面A1B1C1D1且点A1到平面ABCD的距离为4，所以所求距离为4. 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.求证：l∥AE. 证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD， 又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD. 因为AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE. 又因为AE⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD. 因为l⊥平面PCD，所以l∥AE. 1.已知平面α与两条直线l，m，l⊥α，则“m∥l”是“m⊥α”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C　根据线面垂直的性质定理可知，“m∥l”是“m⊥α”的充要条件. 2.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　） A.α∥β，且l∥α B.α⊥β，且l⊥β C.α与β相交，且交线垂直于l D.α与β相交，且交线平行于l 解析：D　由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D. 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为，平面AB1D1到平面BC1D的距离为（　　） A. B. C. D. 解析：C　因为两平面平行，所以原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h，由等体积法可得＝，即h×××22×sin 60°＝××××，解得h＝，即平面AB1D1到平面BC1D的距离为. 4.已知Rt△EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6 cm，EF，EG与平面α分别成30°和45°角，则FG到平面α的距离是（　　） A. cm B. cm C.2 cm D.2 cm 解析：B　如图所示，过F，G分别作FA⊥α，GB⊥α，A，B分别为垂足，连接AE，EB，在Rt△FAE中，FE＝2FA，在Rt△GBE中，EG＝BG.设FG到平面α的距离为d，则d＝FA＝GB.在Rt△FEG中，EF2＋EG2＝36，即4d2＋2d2＝36，d2＝6，所以d＝ cm. 5.（多选）（2024·潮州月考）如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（　　） A.PB⊥BC B.PD⊥CD C.PD⊥BD D.PA⊥BD 解析：ABD　∵PA⊥矩形ABCD，BD⊂矩形ABCD，∴PA⊥BD，故D正确；若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，故PD⊥BD不正确，故C不正确；∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥CD，AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴PD⊥CD，故B正确；∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥BC，又在矩形ABCD中，AB⊥BC，又PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，∴PB⊥BC，故A正确.故选A、B、D. 6.（多选）如图，ABCD是矩形，沿对角线BD将△ABD折起到△A'BD，且A'在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是（　　） A.A'C⊥BD B.A'D⊥BC C.A'C⊥BC D.A'D⊥A'B 解析：BCD　∵ABCD是矩形，且A'在平面BCD上的射影O恰好在CD上，∴A'O⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，∴BC⊥A'O，又BC⊥CD，且DC∩A'O＝O，∴BC⊥平面A'CD，从而BC⊥A'D，BC⊥A'C.显然，由矩形ABCD，易知A'B⊥A'D.故B、C、D正确. 7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E∈BD，F∈B1D1，且EF⊥AB，则EF与AA1的位置关系是平行. 解析：如图，因为AB⊥BB1，AB⊥EF，且AB不垂直于平面BB1D1D，所以EF与BB1不相交，所以EF∥BB1，又AA1∥BB1，所以EF∥AA1. 8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2.则直线AB到平面A1B1C1D1的距离为2；平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离为4. 解析：如图，在长方体中，因为AB∥平面A1B1C1D1，点A到平面A1B1C1D1的距离就是AB到平面A1B1C1D1的距离，因为AA1⊥平面A1B1C1D1，所以所求距离为AA1＝2；AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1，所以平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以所求距离为AB＝4. 9.一条与平面α相交的线段，其长度为10 cm，两端点到平面α的距离分别是2 cm，3 cm，则这条线段与平面α所成角的大小是30°. 解析：如图，作出AC⊥α，BD⊥α，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O，AB＝10，AC＝3，BD＝2，则AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD＝30°. 10.斜边为AB的Rt△ABC，PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足，如图. （1）求证：EF⊥PB； （2）若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l. 证明：（1）因为PA⊥平面ABC， 所以PA⊥BC. 又因为△ABC为直角三角形，所以BC⊥AC，PA∩AC＝A， 所以BC⊥平面PAC. 又因为AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF. 又AF⊥PC，且PC∩BC＝C， 所以AF⊥平面PBC. 又PB⊂平面PBC，所以AF⊥BP. 又AE⊥PB，且AE∩AF＝A， 所以PB⊥平面AEF. 又EF⊂平面AEF，所以EF⊥PB. （2）由（1）知，PB⊥平面AEF， 而l⊥平面AEF，所以PB∥l. 11.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是（　　） A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH 解析：B　因为EG⊥平面α，FH⊥平面α，所以E，F，H，G四点共面.又PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG∩EF＝E，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B. 12.（多选）如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿AD把△ABC折起来，则（　　） A.在折起的过程中始终有AD⊥平面DB'C B.三棱锥A-DB'C的体积的最大值为 C.当∠B'DC＝60°时，点A到B'C的距离为 D.当∠B'DC＝90°时，点C到平面ADB'的距离为 解析：ABC　因为AD⊥DC，AD⊥DB'，且DC∩DB'＝D，DC，DB'⊂平面DB'C，所以AD⊥平面DB'C，故A正确；当DB'⊥DC时，△DB'C的面积最大，此时三棱锥A-DB'C的体积也最大，最大值为××××＝，故B正确；当∠B'DC＝60°时，△DB'C是等边三角形，设B'C的中点为E，连接AE，则AE⊥B'C，即AE为点A到B'C的距离，AE＝＝，故C正确；当∠B'DC＝90°时，CD⊥DB'，CD⊥AD，故CD⊥平面ADB'，则CD就是点C到平面ADB'的距离，CD＝，故D不正确. 13.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝a，PD⊥平面ABCD，若边AB上存在点M，使得PM⊥CM，则实数a的取值范围是（0，1]. 解析：连接DM，如图，因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CM.又PM⊥CM，且PD∩PM＝P，所以CM⊥平面PDM，所以CM⊥DM，所以以DC为直径的圆与AB有交点，所以0＜a≤1. 14.如图，已知AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为的中点，点P为圆柱上底面圆O1上一点，PA⊥平面ABC，PA＝AB，过点A作AE⊥PC，交PC于点E. （1）求证：AE⊥PB； （2）若点C到平面PAB的距离为1，求圆柱OO1的表面积. 解：（1）证明：因为AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为的中点，所以BC⊥AC， 因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC， 又因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC， 因为AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE， 又因为AE⊥PC，且PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC， 因为PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB. （2）因为点C到平面PAB的距离为1且C为的中点，所以PA＝AB＝2，所以圆柱OO1的表面积为S＝2×π×12＋2π×1×2＝6π. 15.（2024·杭州月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（　　） A.2 B.7 C. D. 解析：A　如图所示，因为PC⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以PC⊥CM，则△PCM是直角三角形，故PM2＝PC2＋CM2，所以当CM⊥AB时，CM最小，此时PM也最小.由条件知AC＝4，BC＝4，故CM的最小值为2，又PC＝4，则PM的最小值为＝2. 16.如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝1，BC＝，AC＝2. （1）证明：BC⊥平面PAB； （2）在线段PC上是否存在点D，使得AC⊥BD？若存在，求出PD的值，若不存在，请说明理由. 解：（1）证明：由题知AB＝1，BC＝，AC＝2. 则AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC， 又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC， 因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB. （2）在线段PC上存在点D，当PD＝时，使得AC⊥BD. 理由如下：如图，在平面ABC内，过点B作BE⊥AC，垂足为E，在平面PAC内，过点E作DE∥PA，交PC于点D，连接BD，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC， 所以DE⊥AC，所以AC⊥平面DBE， 又因为BD⊂平面DBE， 所以AC⊥BD， 在△ABC中，BE＝＝， 所以AE＝，CE＝， 所以＝，所以CD＝，PD＝. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $