8.5.1 直线与直线平行-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦空间直线与直线平行，核心知识点为基本事实4及等角定理。通过折纸实验导入，联系初中平面平行知识，搭建从平面到空间的学习支架，引导学生探究空间平行关系。 特色在于情境化导入激发兴趣，例题分层设计（如空间四边形中点连线证明）与通性通法总结（如用基本事实4证平行），培养逻辑推理与直观想象。助力学生构建空间观念，教师可系统落实课标，提升教学效率。

8.5　空间直线、平面的平行 8.5.1　直线与直线平行 新课程标准解读 核心素养 1.借助长方体，通过直观感知、了解空间中直线与直线平行的关系 逻辑推理 2.了解基本事实4及等角定理 直观想象 把一张长方形的纸对折两次，打开以后如图所示. 【问题】　（1）为什么这些折痕互相平行？ （2）初中所学的结论“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，如果去掉条件“在同一平面内”，结论是否仍成立？ 　　 　　 　　 知识点一　基本事实4 　平行于同一条直线的两条直线　平行　. 知识点二　等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角　相等　或　互补　 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 提醒　对等角定理的两点认识：①等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用；②当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补.因此等角定理用来证明两个角相等或互补. 1.已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b（　　） A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 解析：C　假设c与b平行，由于c∥a，根据基本事实4可知a∥b ，与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能是平行直线.故选C. 2.已知∠BAC＝30°，AB∥A'B'，AC∥A'C'，则∠B'A'C'＝（　　） A.30° B.150° C.30°或150° D.大小无法确定 解析：C　当∠B'A'C'与∠BAC的两边方向分别相同或相反时，∠B'A'C'＝30°，否则，∠B'A'C'＝150°.故选C. 3.如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，与棱AB平行的棱有3条，分别是CD，A1B1，C1D1. 解析：因为正四棱台中两底面都是正方形，侧面ABB1A1是等腰梯形，所以AB∥CD，A1B1∥C1D1，AB∥A1B1.所以AB∥C1D1.故与棱AB平行的棱为CD，A1B1，C1D1，共3条. 题型一 证明直线与直线平行 【例1】　如图所示，在空间四边形ABCD（不共面的四边形称为空间四边形）中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点. （1）求证：四边形EFGH是平行四边形； 证明：因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点， 所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC， 所以EF∥HG，EF＝HG， 所以四边形EFGH是平行四边形. （2）如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形. 证明：因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EH∥BD，EH＝BD. 因为EF＝AC，AC＝BD，所以EH＝EF. 又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形. 通性通法 证明空间两条直线平行的方法 （1）平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等； （2）定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面，一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点； （3）基本事实4：用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，即可得到a∥c. 【跟踪训练】 　已知棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中，M，N分别为CD，AD的中点.求证：四边形MNA'C'是梯形. 证明：如图所示，连接AC， 由正方体的性质可知AA'＝CC'，AA'∥CC'， ∴四边形AA'C'C为平行四边形，∴A'C'＝AC，A'C'∥AC， 又∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN∥AC，且MN＝AC， ∴MN∥A'C'，且MN≠A'C'.∴四边形MNA'C'是梯形. 题型二 等角定理及应用 【例2】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E. 证明：因为F为BB1的中点，所以BF＝BB1， 因为G为DD1的中点，所以D1G＝DD1. 又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G. 所以四边形D1GBF为平行四边形. 所以D1F∥GB，同理D1E∥GC. 又∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同， 所以∠BGC＝∠FD1E. 通性通法 关于等角定理的应用 （1）根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行，即先证明线线平行； （2）根据角的两边的方向判定两角相等或互补. 【跟踪训练】 如图所示，点A1，B1，C1分别是不共面的三条射线OA，OB，OC上的点，且 ＝＝.求证：△A1B1C1∽△ABC. 证明：在△OAB中，因为 ＝， 所以A1B1∥AB.同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC. 所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC. 所以△A1B1C1∽△ABC. 题型三 利用线线平行判断共面 【例3】　如图，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC􀰿AD，BE􀰿AF，G，H分别是FA，FD的中点. （1）证明：四边形BCHG是平行四边形； 解：证明：由题意知，FG＝GA，FH＝HD， 所以GH􀰿AD，又BC􀰿AD，故GH􀰿BC， 所以四边形BCHG是平行四边形. （2）C，D，E，F四点是否共面？为什么？ 解：C，D，F，E四点共面. 理由如下：由BE􀰿AF，G是FA的中点知，有BE􀰿GF， 所以四边形BEFG是平行四边形，所以EF∥BG， 由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EF，CH共面. 又点D在直线FH上， 所以C，D，E，F四点共面. 通性通法 　　根据两平行直线确定一个平面，可以证明共面问题，其实质是证明直线平行. 【跟踪训练】 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，H，G分别是AD，CD上的点，满足＝. （1）求证：E，F，G，H四点共面； 证明：如图，连接AC， ∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC. 在△ADC中，∵＝，∴GH∥AC，∴EF∥GH， ∴E，F，G，H四点共面. （2）设EH与FG交于点P，求证：B，D，P三点共线. 证明：∵EH∩FG＝P，∴P∈EH，又∵EH⊂平面ABD，∴P∈平面ABD， 同理P∈平面BCD，∴P为平面ABD与平面BCD的一个公共点. 又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，即P，B，D三点共线. 1.已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（　　） A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 解析：A　∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.故选A. 2.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（　　） A.3条 B.4条 C.5条 D.6条 解析：B　EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1. 3.两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（　　） A.全等 B.不相似 C.仅有一个角相等 D.相似 解析：D　由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D. 4.空间中有两个角α，β，且角α，β的两边分别平行.若α＝60°，则β＝60°或120°. 解析：因为角α与β两边对应平行，但方向不确定，所以α与β相等或互补，故β＝60°或120°. 1.空间中两条互相平行的直线指的是（　　） A.空间中没有公共点的两条直线 B.分别在两个平面内的两条直线 C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D.在同一平面内且没有公共点的两条直线 答案：D 2.如图所示，在三棱锥S -MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是（　　） A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 解析：A　∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.故选A. 3.空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（　　） A.平行 B.异面 C.相交或平行 D.平行或异面或相交均有可能 解析：D　如图可知AB，CD有平行，异面，相交三种情况，故选D. 4.在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（　　） A.2　　　　B.3 C.4　　　　D.5 解析：D　如图，连接CF，C1F1，与棱AB平行的有ED，CF，A1B1，C1F1，E1D1，共有5条，故选D. 5.（多选）（2024·韶关月考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线l⊂平面A1B1C1D1，且直线l与直线B1C1不平行，则下列说法可能成立的是（　　） A.l与AD平行 B.l与AD不平行 C.l与AC平行 D.l与BD平行 解析：BCD　假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与直线l与直线B1C1不平行矛盾，所以直线l与直线AD不平行，故A项不可能成立，易知B、C、D项均可能成立，故选B、C、D. 6.（多选）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则（　　） A.PQ＝MN B.PQ∥MN C.M，N，P，Q四点共面 D.四边形MNPQ是梯形 解析：BCD　由题意知PQ＝DE，且DE≠MN，所以PQ≠MN，故A不正确；又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又PQ≠MN，所以B、C、D正确. 7.在四棱锥P-ABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC的中点，若EF＝2，则GH＝2. 解析：由题意知EF􀰿AC，GH􀰿AC，故EF􀰿GH，故GH＝2. 8.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B. 解析：因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥DD1，AB∥DC，所以∠A1AB与∠D1DC相等.又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等. 9.如图所示，△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交于同一点O，且＝＝＝，则＝. 解析：由＝＝＝，可知AB∥A'B'，AC∥A'C'，BC∥B'C'.由等角定理得∠CAB＝∠C'A'B'，∠ACB＝∠A'C'B'，∴△ABC∽△A'B'C'，∴＝，∴＝×＝. 10.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由. 解：如图所示，在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求. 理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1， 所以EF∥BC. 11.（多选）如图，棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1上的一点且A1E＝2EA，设过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF，则下列结论正确的为（　　） A.EF∥D1C B.EF＝a C.CF＝a D.三棱锥A-EFC的体积为a3 解析：AD　如图，设BF＝2FA，连接EF，A1B，CF，AC，因为A1E＝2EA，所以EF∥A1B.又易知A1B∥D1C，所以EF∥D1C.故EF＝A1B＝a，CF＝＝a，V三棱锥A-EFC＝V三棱锥E-AFC＝×a××a×a＝a3.因此，A、D正确. 12.（2024·江门质检）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，若BD＝6，四边形EFGH的面积为28，则直线EH，FG之间的距离为8. 解析：由题意得EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD且EH＝BD＝3，又∵＝＝，∴GF∥BD且GF＝BD＝4，由基本事实4知，EH∥GF，∴四边形EFGH是梯形，而直线EH，FG之间的距离就是梯形EFGH的高，设为h，即＝28，得h＝8. 13.如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为平行. 解析：由题意，将正方体的表面展开图还原构造成正方体，如图所示.分别取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，由正方体的结构特征可得EF∥PQ，又因为点Q，P，H，G分别是AB，AA1，A1B1，BB1的中点，故PQ∥A1B，HG∥A1B，故PQ∥HG，所以EF∥GH. 14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点. 求证：（1）D1E∥BF； （2）∠B1BF＝∠A1ED1. 证明：（1）如图，取BB1的中点M，连接EM，C1M. 在矩形ABB1A1中，易得EM∥A1B1，EM＝A1B1， 因为A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EM∥C1D1，EM＝C1D1， 所以四边形EMC1D1为平行四边形，所以D1E∥MC1. 在矩形BCC1B1中，易得MB∥C1F，MB＝C1F. 所以四边形MBFC1为平行四边形，所以BF∥MC1，所以D1E∥BF. （2）因为D1E∥BF，BB1∥EA1， 又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，所以∠B1BF＝∠A1ED1. 15.已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则（　　） A.1＜MN＜5 B.2＜MN＜10 C.1≤MN≤5 D.2＜MN＜5 解析：A　取AD的中点H，连接MH，NH（图略），则MH∥BD，且MH＝BD，NH∥AC，且NH＝AC，且M，N，H三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH－NH＜MN＜MH＋NH，即1＜MN＜5.故选A. 16.如图①所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD到达C'D'的位置（如图②），G，H分别为AD'，BC'的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形. 证明：在题图①中，∵四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点， ∴EF∥AB且EF＝（AB＋CD）. 在题图②中，易知C'D'∥EF∥AB.∵G，H分别为AD'，BC'的中点， ∴GH∥AB且GH＝（AB＋C'D'）＝（AB＋CD）， ∴GH∥EF，且GH＝EF， ∴四边形EFGH为平行四边形. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $