8.4.1 平面-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该高中数学教案聚焦平面的概念、画法表示、符号关系及基本事实推论。通过生活实例如门固定、桌面检查导入，从直观到抽象梳理点线面关系，搭建从具体到数学抽象的学习支架。 亮点在于生活实例导入培养直观想象，符号语言与图形结合强化数学抽象，题型分类及通性通法总结提升逻辑推理。如门固定原理对应基本事实3，帮助学生理解抽象概念，教师可直接使用题型示例和练习，提升教学效率。

第八章　立体几何初步 8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1　平面 新课程标准解读 核心素养 1.借助日常生活中的实物，在直观认识空间点、直线、平面的基础上，抽象出空间点、直线、平面的概念 数学抽象、直观想象 2.了解基本事实和确定平面的推论 逻辑推理 　　在生活中，用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整. 【问题】　你知道如此做的原理吗？ 　 　 　 　 　 　 　 　 知识点一　平面的画法与表示 1.平面的画法 画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向 图示 2.平面的表示方法 （1）用希腊字母表示，如平面α、平面β、平面γ等； （2）用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD； （3）用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC，平面BD. 提醒　（1）平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；（2）平面无厚薄、无大小，类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分. 知识点二　点、直线、平面之间的基本关系的符号表示 文字语言 符号语言 点A在直线l上 A　∈　l 点A在直线l外 A　∉　l 点A在平面α内 A　∈　α 点A在平面α外 A　∉　α 直线l在平面α内 l　⊂　α 直线l在平面α外 l　⊄　α 平面α，β相交于l α　∩　β＝l 提醒　（1）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；（2）平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；（3）直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示. 知识点三　平面的基本事实及推论 1.与平面有关的三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 基本事实1 过　不在一条直线上　的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 基本事实 内容 图形 符号 基本事实2 如果一条直线上的　两个点　在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条　过该点的公共直线　 　P∈α　，且　P∈β　⇒α∩β＝l，且P∈l 2.基本事实1、2的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平 面的依据 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 【想一想】 1.如何理解基本事实1中的“有且只有一个”？ 提示：这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，基本事实1强调的是存在性和唯一性两个方面，因此“有且只有一个”，必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”，否则就没有表达存在性. 2.如果两个不重合的平面有无数个公共点，那么这些公共点有什么特点？ 提示：这些公共点落在同一条直线上. 1.用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，正确的是（　　） A.A∉m，m⊂α B.A∉m，m∈α C.A⊄m，m⊂α D.A⊄m，m∈α 解析：A　由题意用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，即A∉m，m⊂α，故选A. 2.下列几何元素可以确定唯一平面的是（　　） A.三个点 B.圆心和圆上两点 C.梯形的两条边 D.一个点和一条直线 解析：C　对A，三个不共线的点才能确定唯一平面，A错误；对B，当圆上的两点和圆心共线时，三个点不能确定唯一平面，B错误；对C，梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面，所以确定的平面唯一，C正确；对D，当点在直线上时，这个点和直线不能确定唯一平面，D错误，故选C. 3.（2024·宁德月考）生活经验：“两个轮子的自行车在停止运动后要加上一个支撑脚才稳定”，可以解释该经验的数学公理是不共线的三点确定一个平面. 解析：类比三脚架知，支撑点形成一个平面才会保持稳定，因此加上一个支撑脚后，两个轮子加支撑脚与地面接触点形成了不共线的三点，确定了一个平面. 题型一 立体几何三种语言的相互转化 【例1】　用符号表示下列语句，并画出图形： （1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B； 解：用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图. （2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上. 解：用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图. 通性通法 三种语言的转换方法 （1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示； （2）要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”. 提醒　根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别. 【跟踪训练】 　画图表示下列语句（其中P，M表示点，l，m表示直线，α，β表示平面）： （1）P∈l，P∉α，l∩α＝M； （2）α∩β＝m，P∈α，P∉m； （3）P∈α，P∈β，α∩β＝m. 解：如图所示. 题型二 点、线共面问题 【例2】　如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c和l共面. 证明：法一（辅助平面法）　因为a∥b，所以a，b确定一个平面α. 因为A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α. 又A∈l，B∈l，所以l⊂α. 因为C∈l，所以C∈α，所以直线a与点C同在平面α内. 因为a∥c，所以直线a，c确定一个平面β. 因为C∈c，c⊂β，所以C∈β，即直线a与点C同在平面β内. 由推论1，可得平面α和平面β重合，则c⊂α. 所以a，b，c，l共面. 法二（纳入平面法）　因为a∥b，所以a，b确定一个平面α. 因为A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α. 又A∈l，B∈l，所以l⊂α. 则a，b，l都在平面α内，即b在a，l确定的平面内. 同理可证c在a，l确定的平面内. 因为过a与l只能确定一个平面， 所以a，b，c，l共面于a，l确定的平面. 通性通法 证明点、线共面的方法 　　证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法有： （1）辅助平面法，先证明有关点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合； （2）纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内. 【跟踪训练】 已知A∈l，B∈l，C∈l，D∉l，如图.求证：直线AD，BD，CD共面. 证明：因为D∉l，所以l与D可以确定平面α. 因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD⊂α. 同理，BD⊂α，CD⊂α，所以AD，BD，CD在同一平面α内，即它们共面. 题型三 点共线、线共点问题 【例3】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M.求证：点D，A，M三点共线. 证明：因为D1F∩CE＝M， 且D1F⊂平面A1D1DA， 所以M∈平面A1D1DA. 同理M∈平面ABCD， 从而M在两个平面的交线上， 因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD， 所以M∈AD成立. 所以点D，A，M三点共线. 通性通法 1.证明三点共线的方法 2.证明三线共点的步骤 【跟踪训练】 　已知三个平面α，β，γ两两相交，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a，b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点. 证明：因为α∩γ＝b，β∩γ＝a，所以a⊂γ，b⊂γ. 因为直线a与直线b不平行， 所以a，b必相交. 如图所示，设a∩b＝P，则P∈a，P∈b. 因为a⊂β，b⊂α，所以P∈β，P∈α. 又因为α∩β＝c，所以P∈c，即交线c也经过点P， 所以，a，b，c三条直线必过同一点. 1.若一直线a在平面α内，则正确的作图是（　　） 解析：A　B中直线a不应超出平面α；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交. 2.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则（　　） A.l⊂α B.l⊄α C.l∩α＝M D.l∩α＝N 解析：A　∵M∈a，a⊂α，∴M∈α，又∵N∈b，b⊂α，∴N∈α，又M，N∈l，∴l⊂α. 3.若点Q在直线b上，b在平面α内，则Q，b，α之间的关系可记作Q∈b⊂α. 解析：因为点Q（元素）在直线b（集合）上，所以Q∈b.又因为直线b（集合）在平面α（集合）内，所以b⊂α.所以Q∈b⊂α. 4.（2024·洛阳质检）如图所示，△ABC的三个顶点在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示.求证：P，Q，R三点共线. 证明：因为AP∩AR＝A，所以直线AP与直线AR确定平面APR. 又因为AB∩α＝P，AC∩α＝R， 所以平面APR∩平面α＝PR. 因为B∈平面APR，C∈平面APR， 所以BC⊂平面APR. 因为Q∈BC，所以Q∈平面APR，又Q∈α， 所以Q∈PR，所以P，Q，R三点共线. 1.下列图形中不一定是平面图形的是（　　） A.三角形 B.菱形 C.圆 D.四边相等的四边形 答案：D　 2.如图所示，用符号语言可表示为（　　） A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 解析：A　由图可知平面α，β相交于直线m，直线n在平面α内，两直线m，n交于点A，所以用符号语言可表示为α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A，故选A. 3.若直线l上有两个点在平面α外，则下列说法正确的是（　　） A.直线l上至少有一个点在平面α内 B.直线l上有无穷多个点在平面α内 C.直线l上所有点都在平面α外 D.直线l上至多有一个点在平面α内 解析：D　由已知得直线l⊄α，故直线l上至多有一个点在平面α内. 4.空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　空间四个点中，有三个点共线，根据“一条直线与直线外一点可以确定一个平面”得到这四个点共面，前者可以推出后者；当四个点共面时，不一定有三点共线，后者不一定推出前者；所以空间四个点中，三点共线是这四个点共面的充分不必要条件. 5.（多选）下列命题中正确的有（　　） A.一条直线和一个点可以确定一个平面 B.经过两条相交直线，有且只有一个平面 C.经过两条平行直线，有且只有一个平面 D.分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点一定在两个平面的交线上 解析：BCD　对于A选项，当这个点在直线上时，无法确定一个平面，故A错误；对于B、C选项，均为基本事实1的推论，故B、C正确；对于D选项，交点分别含于两条直线，也分别含于两个平面，必然在交线上，故D正确.故选B、C、D. 6.（多选）已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理正确的是（　　） A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN C.A∈α，A∈β⇒α∩β＝A D.A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合 解析：ABD　对于A，由基本事实2可知，a⊂β，A正确；对于B，∵M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，由基本事实2可知，直线MN⊂α，MN⊂β，∴α∩β＝MN，B正确；对于C，∵A∈α，A∈β，∴A∈（α∩β）.由基本事实3可知α∩β为经过A的一条直线而不是点A.故C错误；对于D，∵A，B，M不共线，由基本事实1可知，过A，B，M有且只有一个平面，故α，β重合.故选A、B、D. 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中回答下列问题： （1）平面AB1∩平面A1C1＝A1B1； （2）平面A1C1CA∩平面AC＝AC. 8.（2024·郑州月考）互相平行的四条直线，每两条确定一个平面，最多可确定6个平面. 解析：当四条直线中任意三条直线都不共面时，每两条确定一个平面，平面最多，如正方体的四条侧棱，所以最多可确定6个平面. 9.若直线l与平面α交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求证：O，C，D三点共线. 证明：如图，∵AC∥BD， ∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD. ∵l∩α＝O，∴O∈α. 又∵O∈AB，AB⊂β， ∴O∈β， ∴O∈直线CD， ∴O，C，D三点共线. 10.如图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求证：AA1，BB1，CC1三线共点. 证明：不妨设AB≠A1B1，则四边形AA1B1B为梯形， ∴AA1与BB1相交，设其交点为S，则S∈AA1，S∈BB1. ∵BB1⊂平面BCC1B1，∴S∈平面BCC1B1. 同理可证，S∈平面ACC1A1， ∴点S在平面BCC1B1与平面ACC1A1的交线上， 即S∈CC1， ∴AA1，BB1，CC1三线共点. 11.空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中（　　） A.必有三点共线 B.必有三点不共线 C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线 解析：B　如图①②所示，A、C、D均不正确，只有B正确. 12.（多选）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（　　） A.C1，M，O三点共线 B.C1，M，O，C四点共面 C.C1，O，A，M四点共面 D.D1，D，O，M四点共面 解析：ABC　在题图中，连接A1C1，AC（图略），则AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M.∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴A、B、C均正确，D不正确. 13.（2024·莱芜质检）一个正三棱柱各面所在的平面将空间分成21部分. 解析：三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上将空间分成3大部分，故三棱柱各面所在的平面将空间分成3×7＝21部分. 14.如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB＞CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线. 解：很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在平面SBD和平面SAC的交线上. 由于AB＞CD，则分别延长AC和BD交于点E， 如图所示， ∵E∈AC，AC⊂平面SAC， ∴E∈平面SAC. 同理，可证E∈平面SBD. ∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线. 15.如图，空间四边形ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝m，则MN＝m. 解析：如图，连接AM并延长交BC于E，连接AN并延长交CD于F，连接MN，EF，∴BE＝EC，CF＝FD，∴EF＝BD＝m，又∵AM＝AE，AN＝AF，∴MN＝EF＝m. 16.定线段AB所在的直线与定平面α相交，交点为O，P为定直线外一点，P∉直线AB，P∉α，若直线AP，BP与平面α分别相交于A'，B'.试问，如果点P任意移动，直线A'B'是否恒过一定点？请说明理由. 解：随着点P移动，直线A'B'恒过定点O.理由如下： 由直线AB和直线外一点P可确定平面β， 因为AP∩α＝A'，BP∩α＝B'， 所以α∩β＝A'B'，而AB∩α＝O，所以O一定在交线A'B'上，即直线A'B'恒过定点O. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $