8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦棱柱、棱锥、棱台的结构特征，通过展示金字塔、国家大剧院等现实建筑图片导入，衔接平面几何到空间几何体的过渡，搭建实物观察、概念辨析、例题解析的学习支架。 资料以直观想象为核心，结合数学抽象，通过多面体与旋转体对比、棱柱分类等实例，总结结构特征判断方法，助力学生建立空间观念，教师可直接使用结构化题型训练，提升教学效率与学生抽象思维。

第八章　立体几何初步 8.1　基本立体图形 第1课时　棱柱、棱锥、棱台 新课程标准解读 核心素养 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征 直观想象 2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 数学抽象 　　观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧.小到精巧的家居装饰，大到宏伟庞大的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美. 【问题】　你知道设计师是如何设计这些建筑物的吗？应用到哪些数学知识？ 　 　 　 　 　 　 知识点一　空间几何体 1.空间几何体：如果只考虑物体的　形状　和　大小　，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. 2.多面体、旋转体 类别 多面体 旋转体 定义 一般地，由若干个　平面多边形　围成的几何体叫做多面体 一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的　一条定直线　旋转所形成的曲面叫做　旋转面　，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 类别 多面体 旋转体 图形 相关 概念 面：围成多面体的各个　多边形　； 棱：两个面的　公共边　； 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线 知识点二　棱柱、棱锥、棱台的结构特征 多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形 棱 柱 有两个面互相　平行　，其余各面都是　四边形　，并且相邻两个四边形的公共边都　互相平行　，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 记作：棱柱 ABCDEF- A'B'C'D'E'F' 底面（底）：两个互相　平行　的面； 侧面：除底面外，其余各面； 侧棱：相邻侧面的　公共边　； 顶点：侧面与底面的　公共顶点　 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱； 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱； 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形 棱 锥 有一个面是　多边形　，其余各面都是有一个公共顶点的　三角形　，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 记作：棱锥 S-ABCD 底面（底）：多边形面； 侧面：有公共顶点的各个三角形面； 侧棱：相邻侧面的　公共边　； 顶点：各侧面的　公共顶点　 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥 多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形 棱 台 用一个　平行于棱锥底面　的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 记作：棱台 ABCD-A'B'C'D' 上底面：原棱锥的　截面　； 下底面：原棱锥的　底面　； 侧面：除上、下底面外，其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点 提醒　（1）棱柱、棱锥、棱台的关系（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例） （2）常见的几种四棱柱之间的转化关系 1.下列几何体不属于棱柱的是（　　） 解析：D　根据棱柱的定义可知A为三棱柱，B为四棱柱，C为五棱柱，不属于棱柱的图形只有D选项，故选D. 2.如图所示，在三棱台ABC-A1B1C1中，沿平面A1C1B截去三棱锥B1-A1C1B，则剩余的部分是（　　） A.三棱锥　　　　　 B.四棱锥 C.三棱柱 D.四棱柱 解析：B　截去三棱锥B1-A1C1B，则剩余的部分B-ACC1A1是四棱锥，故选B. 3.一个多面体最少有4个面，此时这个多面体是三棱锥（四面体）. 解析：根据多面体的定义可知，一个多面体最少有4个面，每个面都是三角形，它的名称是三棱锥或四面体. 题型一 棱柱的结构特征 【例1】　如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1. （1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ 解：是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义. （2）用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 解：是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1. 通性通法 棱柱结构特征的辨析方法 　　判断一个几何体是不是棱柱，关键看它是否具备棱柱的三个本质特征： （1）有两个面互相平行； （2）其余各面都是平行四边形； （3）每相邻两个四边形的公共边都互相平行. 提醒　①以上三个本质特征缺一不可；②在概念辨析时，也可用举反例法直接判断（否定）. 【跟踪训练】 （多选）下列关于棱柱的说法正确的有（　　） A.所有的面都是平行四边形 B.每一个面都不会是三角形 C.两底面平行，并且各侧棱也平行 D.被平面截成的两部分可以都是棱柱 解析：CD　A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；B错误，棱柱的底面可以是三角形；C正确，由棱柱的定义易知；D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱. 题型二 棱锥的结构特征 【例2】　（多选）下列说法中正确的有（　　） A.棱锥的各个侧面都是三角形 B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 C.棱锥的侧棱平行 D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 解析：AB　由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错；棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错. 通性通法 棱锥的结构特征 （1）有一个面是多边形； （2）其余各面都是有一个公共顶点的三角形. 提醒　注意棱锥的“棱”与“侧棱”的区别. 【跟踪训练】 在①有一个面是正方形，其余各面都是具有公共顶点且全等的四个等腰三角形的几何体是正四棱锥；②正棱锥的侧面是等边三角形；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥，中说法正确的是①（填序号）. 解析：①中说法正确，由棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.由定义知，该几何体为四棱锥，又因底面为正方形，侧面是四个全等的等腰三角形，则各侧棱长相等，顶点在底面上的投影为正方形的中心，故该棱锥为正四棱锥；②中说法错误，正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形；③中说法错误，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥. 题型三 棱台的结构特征 【例3】　下列说法中正确的是（　　） A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D.棱台的侧棱延长后必交于一点 解析：D　A中的平面不一定平行于底面，故A错；由棱台的定义知，D正确；B、C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B、C错. 通性通法 判断棱台形状的两个方法 （1）举反例法：结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某些说法不正确； （2）直接法：①定底面，两个互相平行的面，即为底面（两多边形相似）；②看侧棱，延长后相交于一点. 【跟踪训练】 下面四个几何体中为棱台的是（　　） 解析：C　A项中的几何体的两个底面不平行，不是棱台；B项中的几何体是棱锥；C项中的几何体符合棱台的定义，是棱台；D项中的几何体的棱AA'，BB'，CC'，DD'的延长线没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台. 1.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为（　　） A.四棱柱 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱锥 解析：B　根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥. 2.下列几何体中，棱的条数最少的是（　　） A.四面体 B.四棱锥 C.四棱柱 D.四棱台 解析：A　四面体有6条棱，四棱锥有8条棱，四棱柱和四棱台都有12条棱.故选A. 3.下列命题中正确的是（　　） A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 解析：D　A项，如图，满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确；B项，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，故B不正确；C项，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确；由棱柱的定义知D正确. 4.下列几何体中，①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台（仅填相应序号）. 1.下面图形中为棱锥的是（　　） A.①③ B.①③④ C.①②④ D.①② 解析：C　根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②④是棱锥，③不是棱锥.故选C. 2.下列说法正确的是（　　） A.棱台的两个底面相似 B.棱台的侧棱长都相等 C.棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 解析：A　由棱台的定义知A正确，B、C不正确；棱柱的侧棱都相等且相互平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确. 3.一个正棱锥有6个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 解析：D　因为此正棱锥有6个顶点，所以此正棱锥为正五棱锥.又正棱锥的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60，可知每条侧棱长为12. 4.设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是（　　） A.P⫋N⫋M⫋Q B.Q⫋M⫋N⫋P C.P⫋M⫋N⫋Q D.Q⫋N⫋M⫋P 解析：B　根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体}⫋{正四棱柱}⫋{长方体}⫋{直四棱柱}，故选B. 5.（多选）下列说法正确的是（　　） A.正三棱锥就是正四面体 B.底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥 C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D.如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体 解析：BD　正四面体是正三棱锥，但正三棱锥不一定就是正四面体，故A错误；根据正棱锥的概念知，B正确；六棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确. 6.（多选）关于简单几何体的结构特征，下列说法正确的是（　　 ） A.任何棱柱的两个底面都全等 B.棱锥的侧棱长都相等 C.三棱台的上底面和下底面是相似三角形 D.有的棱台的侧棱长都相等 解析：ACD　根据棱柱的几何性质可得，棱柱的两个底面都全等，故选项A正确；根据棱锥的定义可知，只有正棱锥的侧棱长都相等，故选项B错误；根据棱台的定义可知，棱台的上底面和下底面是相似多边形，有的棱台的侧棱长都相等，故选项C、D正确.故选A、C、D. 7.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是1∶4. 解析：由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积之比为对应边之比的平方. 8.如图所示的几何体，下列描述正确的有①③④⑤（填序号）. ①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到. 解析：①正确，因为有六个面，属于六面体；②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；③正确，如果把几何体中两个梯形作为底面就会发现是一个四棱柱；④⑤都正确，如图（1）（2）. 9.（2024·舟山月考）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是北. 10.根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称： （1）由6个平行四边形围成的几何体； （2）由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形； （3）由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点. 解：（1）这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱. （2）这是一个六棱锥. （3）这是一个三棱台. 11.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（　　） A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4 B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3 C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4 D.AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1 解析：C　选项A中≠，故A不符合题意；选项B中≠，故B不符合题意；选项C中＝＝，故C符合题意；选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不可能是三棱台. 12.（多选）用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是（　　） A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.不可能为四边形 解析：AB　按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形.故选A、B. 13.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，若AB⊥AD且AB＝3，AD＝4，AA1＝5，则BD1的长为5. 解析：依题意得，B＝AB2＋AD2＋A＝32＋42＋52＝50，∴BD1＝5. 14.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来. （1）只有一个面是等边三角形的三棱锥； （2）四个面都是等边三角形的三棱锥； （3）三棱柱. 解：（1）如图①所示，三棱锥A1-AB1D1（答案不唯一）. （2）如图②所示，三棱锥B1-ACD1（答案不唯一）. （3）如图③所示，三棱柱A1B1D1-ABD（答案不唯一）. 15.如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，则△AEF周长的最小值为4 . 解析：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.因为∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，所以∠AVA1＝90°，又VA＝VA1＝4，所以AA1＝4 .所以△AEF周长的最小值为4 . 16.如图，在一个长方体的容器中装有部分水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中： （1）水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？ （2）水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？ （3）如果倾斜时不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第（1）题和第（2）题对不对？ 解：（1）不对.水面的形状就是用一个与棱（将长方体倾斜时固定不动的棱）平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是非矩形的平行四边形. （2）不对.水的形状就是用与棱（将长方体倾斜时固定不动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥. （3）用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，因而水面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，水的形状可以是棱锥、棱柱，但不可能是棱台，故此时（1）对，（2）不对. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $