7.3 复数的三角表示-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦“复数的三角表示”核心知识点，通过复平面内复数z=1+i对应的点与向量，引导学生探究模r、辐角θ与实部、虚部的关系，衔接复数代数形式与三角形式，搭建知识转化的学习支架。 资料以新课标核心素养为导向，通过问题链驱动探究，题型涵盖代数与三角形式互化、乘除运算及几何意义，如例4结合向量旋转理解运算几何意义，培养数学抽象与运算能力，助力学生深化概念理解，提升教师教学针对性与课堂效率。

7.3*复数的三角表示 新课程标准解读 核心素养 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系 数学抽象 2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 数学运算 设复数z＝1＋i在复平面内对应的点为Z. 【问题】　（1）写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量； （2）记r为向量的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1＋i的实部、虚部之间的关系. 　 　 　 　 　 　 知识点一　复数的三角形式 1.定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成　r（cos θ＋isin θ）　的形式.其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的　辐角　.　r（cos θ＋isin θ）　叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式. 2.辐角的主值：规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作arg z，即0≤arg z＜2π. 提醒　辐角和辐角主值的区别与联系：区别：辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量所在射线（射线OZ）为终边的角，显然辐角有无数个，而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个；联系：θ＝2kπ＋arg z，k∈Z. 知识点二　复数三角形式的乘、除运算 1.乘法运算法则 设z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2），则z1z2＝　r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]　. 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的　积　，积的辐角等于各复数的辐角的　和　. 2.除法运算法则 设z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2），且z2≠0，则＝　[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）]　. 即：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的　商　，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的　差　. 1.复数1＋i的辐角主值为（　　） A. B. C. D. 解析：C　因为复数1＋i对应的点在第一象限，所以arg（1＋i）＝. 2.将复数i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（　　） A.＋i B.－＋i C.－－i D.－i 解析：B　i＝cos＋isin，将绕原点按逆时针方向旋转得到对应的复数为cos＋isin＝－＋i. 3.计算（cos π＋isin π）÷（cos＋isin）＝－＋i. 解析：（cos π＋isin π）÷（cos＋isin）＝cos＋isin＝－＋i. 题型一 复数的代数形式化为三角形式 【例1】　将下列复数的代数形式化成三角形式： （1）＋i； 解：r＝＝2，所以cos θ＝， 因为对应的点在第一象限，所以arg（＋i）＝， 故＋i＝2. （2）1－i. 解：r＝＝，所以cos θ＝， 因为对应的点在第四象限，所以arg（1－i）＝， 故1－i＝. 通性通法 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤 （1）求复数的模； （2）确定辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角； （4）求出复数的三角形式. 【跟踪训练】 　下列复数是复数三角形式表示的是（　　） A. B.－ C. D.cosπ＋isinπ 解析：D　选项A，cos与isin之间用“－”连接，不是用“＋”连接；选项B，－＜0不符合r≥0的要求；选项C，是icosπ与sinπ用“＋”连接而不是cosπ＋isinπ的形式.故A、B、C均不是复数的三角形式.故选D. 题型二 复数的三角形式化为代数形式 【例2】　复数z＝（cos＋isin）化为代数形式为（　　） A.＋i B.－＋i C.－＋i D.－i 解析：C　z＝＝cos＋（sin）i＝×（－）＋×i＝－＋i. 通性通法 　　将复数的三角形式化为代数形式的方法是：复数三角形式为z＝r（cos A＋isin A），代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos A，y＝rsin A. 【跟踪训练】 复数的代数形式为1－i. 解析：（cosπ＋isinπ）＝［cos（π＋π）＋isin（π＋π）］＝＝（－i）＝1－i. 题型三 复数三角形式的乘、除法运算 【例3】　计算： （1）2×； 解：原式＝＝2＝－2i. （2）6（cos 160°＋isin 160°）÷[（cos 25°＋isin 25°）]. 解：原式＝3[cos（160°－25°）＋isin（160°－25°）] ＝3（cos 135°＋isin 135°）＝3 ＝－3＋3i. 通性通法 　　在进行复数三角形式的乘、除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示. 【跟踪训练】 计算：2i÷. 解：2i÷ ＝2（cos 90°＋isin 90°）÷ ＝4（cos 60°＋isin 60°）＝2＋2i. 题型四 复数三角形式乘、除运算的几何意义 【例4】　在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数. 解：因为3－i＝2 ＝2. 所以2× ＝2 ＝2 ＝2＝3＋i， 2÷ ＝2 ＝2＝－2i. 故把复数3－i对应的向量按逆时针方向旋转得到的复数为3＋i，按顺时针方向旋转得到的复数为－2i. 通性通法 　　两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.即z1z2＝r1r2·[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]，当z1，z2相除时，＝·[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）]. 【跟踪训练】 在复平面内，把与复数＋i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数. 解：＋i＝， 由题意得（cos＋isin）×2（cos＋isin） ＝×2 ＝3＝3i， 即与所得向量对应的复数为3i. 1.复数z＝1＋i（i为虚数单位）的三角形式为（　　） A.z＝（sin 45°＋icos 45°） B.z＝（cos 45°＋isin 45°） C.z＝[cos（－45°）－isin（－45°）] D.z＝[cos（－45°）＋isin（－45°）] 解析：B　依题意得r＝＝，复数z＝1＋i对应的点在第一象限，且cos θ＝，因此，arg z＝45°，结合选项知B正确.故选B. 2.已知i为虚数单位，z1＝（cos 60°＋isin 60°），z2＝2（sin 30°－icos 30°），则z1·z2＝（　　） A.4（cos 90°＋isin 90°） B.4（cos 30°＋isin 30°） C.4（cos 30°－isin 30°） D.4（cos 0°＋isin 0°） 解析：D　∵z2＝2（sin 30°－icos 30°）＝2·（cos 300°＋isin 300°），∴z1·z2＝（cos 60°＋isin 60°）×2（cos 300°＋isin 300°）＝4（cos 360°＋isin 360°）.故选D. 3.若｜z｜＝2，arg z＝，则复数z＝1＋i. 解析：由题意知，z＝2＝1＋i. 4.计算＝1＋i. 解析： ＝ ＝＝ ＝2＝1＋i. 1.若a＜0，则a的三角形式为（　　） A.a（cos 0＋isin 0） B.a（cos π＋isin π） C.－a（cos π＋isin π） D.－a（cos π－isin π） 解析：C　因为a＜0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a（cos π＋isin π）.故选C. 2.复数z＝－i的三角形式为（　　） A.2 B.2 C.2 D.2 解析：D　因为r＝2，所以cos θ＝，因为z＝－i对应的点在第四象限，所以arg（－i）＝，故z＝－i＝2. 3.复数（sin 10°＋icos 10°）（sin 10°＋icos 10°）的三角形式是（　　） A.sin 30°＋icos 30° B.cos 160°＋isin 160° C.cos 30°＋isin 30° D.sin 160°＋icos 160° 解析：B　（sin 10°＋icos 10°）（sin 10°＋icos 10°）＝（cos 80°＋isin 80°）（cos 80°＋isin 80°）＝cos 160°＋isin 160°.故选B. 4.将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（　　） A.＋i B.－＋i C.－－i D.－i 解析：A　i＝cos＋isin，将绕原点按顺时针方向旋转得到对应的复数为cos＋isin＝＋i. 5.2÷2（cos 60°＋isin 60°）＝（　　） A.＋i　B.－i　C.＋i　D.－i 解析：B　2÷2（cos 60°＋isin 60°）＝2（cos 0°＋isin 0°）÷[2（cos 60°＋isin 60°）]＝cos（0°－60°）＋isin（0°－60°）＝cos（－60°）＋isin（－60°）＝－i.故选B. 6.（多选）设p：两个复数z1，z2的模与辐角分别相等，q：z1＝z2，则（　　） A.p⇒q B.p⇒/ q C.q⇒p D.q⇒/ p 解析：AD　当两个复数z1，z2的模与辐角分别相等时，z1＝z2成立；当z1＝z2时，两个复数的模相等，但辐角不一定相等，故p⇒q，q⇒/p.故选A、D. 7.复数cos＋isin的辐角主值是. 解析：原式＝cos＋isin＝cos＋isin，故其辐角主值为. 8.计算（cos 40°＋isin 40°）÷（cos 10°＋isin 10°）＝＋i. 解析：（cos 40°＋isin 40°）÷（cos 10°＋isin 10°）＝ cos（40°－10°）＋isin（40°－10°）＝cos 30°＋isin 30°＝＋i. 9.设z＝1＋i，则复数的代数形式为1－i，三角形式是. 解析：将z＝1＋i代入，得原式＝＝＝1－i＝（cos＋isin）. 10.下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式. （1）－2； （2）sin＋icos. 解：（1）不是. －2＝2 ＝2 ＝2. （2）不是. sin＋icos＝cos＋isin ＝cos＋isin＝cos＋isin. 11.如果θ∈，那么复数（1＋i）（cos θ＋isin θ）的辐角主值是（　　） A.θ＋ B.θ＋ C.θ－ D.θ＋ 解析：B　（1＋i）（cos θ＋isin θ）＝·（cos＋isin）（cos θ＋isin θ）＝［cos（θ＋）＋isin（θ＋）］，∵θ∈，∴θ＋∈，∴该复数的辐角主值是θ＋.故选B. 12.复数cos＋isin经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n＝（　　） A.3 B.12 C.6k－1（k∈Z） D.6k＋1（k∈Z） 解析：C　由题意，得（cos＋isin）n＝cos＋isin＝cos－isin，由复数相等的定义，得解得＝2kπ－（k∈Z），∴n＝6k－1（k∈Z）. 13.如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为2＋i. 解析：∵A，B所表示的复数分别是＋i和2，∴所表示的复数为－i，把逆时针旋转60°得到，对应的复数为（－i）·（cos 60°＋isin 60°）＝＋i，又＝＋，∴对应的复数为＋i＋＋i＝2＋i，即点C对应的复数是2＋i. 14.计算： （1）2×； （2）2（cos－isin）÷［（cos＋isin）］. 解：（1）原式＝2×［cos（＋π）＋isin（＋π）］＝＝－＋i. （2）原式＝2÷ ＝2 ＝2 ＝－2i. 15.棣莫弗公式（cos x＋isin x）n＝cos nx＋isin nx（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数（cos＋isin）2 024在复平面内所对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：C　由棣莫弗公式知，（cos＋isin）2 024＝cos＋isin＝cos（337π＋）＋isin（337π＋）＝cos（π＋）＋isin（π＋）＝－－i，∴复数（cos＋isin）2 024在复平面内所对应的点的坐标为（－，－），位于第三象限.故选C. 16.设复数z1＝＋i，复数z2满足｜z2｜＝2，且z1·在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈（0，π），求z2的代数形式. 解：因为z1＝＋i＝2， 设z2＝2（cos α＋isin α），α∈（0，π）， 所以z1·＝2×4（cos 2α＋isin 2α）＝8. 由题设知2α＋＝2kπ＋（k∈Z）， 所以α＝kπ＋（k∈Z）. 又α∈（0，π），所以α＝， 所以z2＝2＝－1＋i. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $