7.2.2 复数的乘、除运算-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

本高中数学教案聚焦复数的乘除运算，通过回顾实数乘法分配律及幂运算律，以“复数运算是否满足上述运算律”设问导入，搭建实数与复数运算的认知桥梁，梳理运算法则与前后知识脉络。 亮点在于问题驱动激发探究，分题型讲解乘除运算、i幂周期性及复数解方程，强调通性通法如除法分母实数化类比根式有理化，落实数学抽象与数学运算核心素养，助力学生掌握运算技巧，便于教师系统教学。

7.2.2　复数的乘、除运算 新课程标准解读 核心素养 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算 数学抽象 2.理解复数乘法的运算律 数学运算 　　我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，c∈R时，有（a＋b）c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满足aman＝am＋n，（am）n＝amn，（ab）n＝anbn，其中m，n均为正整数. 【问题】　复数的运算满足上述的运算律吗？ 　 　 　 　 　 　 知识点一　复数的乘法 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝　（ac－bd）＋（ad＋bc）i　. 2.复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝　z2z1　 结合律 （z1z2）z3＝　z1（z2z3）　 分配律 z1（z2＋z3）＝　z1z2＋z1z3　 【想一想】 1.复数的乘法与多项式乘法有何不同？ 提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并. 2.多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？ 提示：仍然成立，乘法公式也适用. 知识点二　复数的除法 　复数代数形式的除法法则 （a＋bi）÷（c＋di）＝＝　＋i　（a，b，c，d∈R，且c＋di≠0）. 提醒　对复数除法的两点说明：①实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”类似；②代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开. 1.已知i为虚数单位，复数z＝（3－i）（2＋i），则z的虚部为（　　） A.i B.1 C.7i D.7 解析：B　∵z＝（3－i）（2＋i）＝7＋i，∴z的虚部为1.故选B. 2.复数z＝－i在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：C　因为z＝－i＝－i＝－i＝－－i，所以z在复平面内对应的点为（－，－），位于第三象限.故选C. 3.（2024·烟台月考）设复数z满足（1＋i）z＝2－2i（i为虚数单位），则｜z｜＝2. 解析：由已知可得z＝＝＝－2i，因此，｜z｜＝2. 题型一 复数代数形式的乘法运算 【例1】　计算下列各题： （1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）； 解：（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i2－1＋i＝1＋i. （2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i. 解：（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i ＝（－2＋10i＋i－5i2）（3－4i）＋2i ＝（3＋11i）（3－4i）＋2i ＝（9－12i＋33i－44i2）＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i. 通性通法 复数的乘法运算法则的应用 （1）复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简； （2）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等. 【跟踪训练】 1.（2024·安阳月考）复数z＝（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：A　z＝（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i2－1＋i＝1＋i，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限. 2.若复数（1－i）（a＋i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，1） B.（－∞，－1） C.（1，＋∞） D.（－1，＋∞） 解析：B　因为（1－i）（a＋i）＝a＋1＋（1－a）i，所以它在复平面内对应的点为（a＋1，1－a），又此点在第二象限，所以解得a＜－1. 题型二 复数代数形式的除法运算 【例2】　计算： （1）（1－2i）÷（2＋i）； 解：（1－2i）÷（2＋i）＝＝＝＝－i. （2）； 解：＝＝＝－2＋i. （3）. 解：＝＝＝＝＋i. 通性通法 1.两个复数代数形式的除法运算的步骤 （1）首先将除式写为分式； （2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； （3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. 2.常用公式 （1）＝－i；（2）＝i；（3）＝－i. 【跟踪训练】 1.已知i为虚数单位，则的实部与虚部之积是（　　） A. B.－ C.i D.－i 解析：A　因为＝＝＋i，所以的实部与虚部之积是. 2.（2022·北京高考2题）若复数z满足i·z＝3－4i，则｜z｜＝（　　） A.1 B.5 C.7 D.25 解析：B　依题意可得z＝＝＝－4－3i，所以｜z｜＝＝5，故选B. 题型三 i幂值的周期性及应用 【例3】　（1）复数z＝i2 025的模是（　D　） A.i B.－1 C.0 D.1 解析：因为z＝i2 025＝i4×506＋1＝i，所以复数z的模是1.故选D. （2）计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100（i为虚数单位）的结果是1. 解析：由复数的运算法则可知：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100＝1＋（i＋i2＋i3＋i4）＋…＋（i97＋i98＋i99＋i100）＝1＋0＋…＋0＝1. 通性通法 利用i幂值的周期性解题的技巧 （1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i； （2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0. 【跟踪训练】 计算：＋. 解：∵＝＝＝i，＝＝－i，而i4＝（－i）4＝1， ∴＋＝i2 024＋（－i）2 025＝i2024＋（－i）2024·（－i）1＝1－i. 题型四 在复数范围内解方程 【例4】　在复数范围内解下列方程： （1）x2＋5＝0； 解：因为x2＋5＝0，所以x2＝－5， 又因为（i）2＝（－i）2＝－5， 所以x＝±i，所以方程x2＋5＝0的根为x＝±i. （2）x2＋4x＋6＝0. 解：法一　因为x2＋4x＋6＝0，所以（x＋2）2＝－2， 因为（i）2＝（－i）2＝－2， 所以x＋2＝i或x＋2＝－i， 即x＝－2＋i或x＝－2－i， 所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i. 法二　由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根. 在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi（a，b∈R且b≠0）， 则（a＋bi）2＋4（a＋bi）＋6＝0， 所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0， 整理得（a2－b2＋4a＋6）＋（2ab＋4b）i＝0， 所以 又因为b≠0，所以 解得a＝－2，b＝±.所以x＝－2±i， 即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i. 通性通法 　　在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求解方法 （1）求根公式法： ①当Δ≥0时，x＝； ②当Δ＜0时，x＝. （2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为x＝m＋ni（m，n∈R），代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解； （3）一元二次方程根与系数的关系仍成立，即x1＋x2＝－，x1x2＝. 【跟踪训练】 1.（2024·厦门月考）已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0（q∈R）的一个根，则该方程的另一个根为（　　） A.2i＋3 B.－2i－3 C.2i－3 D.－2i＋3 解析：B　根据题意，方程的另一个根为－6－（2i－3）＝－3－2i.故选B. 2.已知关于x的方程x2＋（k＋2i）x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值. 解：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得（＋kx0＋2）＋（2x0＋k）i＝0. 由复数相等的条件得＋kx0＋2＝2x0＋k＝0， 解得或 ∴方程的实根为x＝或－，相应的k的值为－2或2. 1.已知m∈R，i为虚数单位，若（m＋i）（2－3i）＝5－i，则m＝（　　） A.1　　　　B.－1 C.2　　　　D.－2 解析：A　由（m＋i）（2－3i）＝（2m＋3）＋（2－3m）i＝5－i，得解得m＝1. 2.（2024·深圳月考）已知复数z＝i＋2i2＋3i3＋4i4（其中i为虚数单位），则｜z｜＝（　　） A.2 B.2 C.4 D.10 解析：B　依题意，z＝i＋2×（－1）＋3（－i）＋4＝2－2i，所以｜z｜＝＝2.故选B. 3.（2024·济宁月考）若复数z满足方程i＝1－i，则z＝－1＋i. 解析：由题意可得＝＝＝－i（1－i）＝－1－i，所以z＝－1＋i. 4.计算：（1）（1＋i）2 024； （2）（－2＋3i）÷（1＋2i）. 解：（1）原式＝[（1＋i）2]1 012＝（1＋2i＋i2）1 012＝（2i）1 012＝21 012·i1 012＝21 012·i4×253＝21 012. （2）原式＝＝ ＝＝＋i. 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $